高中数学 第一章 不等关系与基本不等式 1.4(2) 放缩法 几何法与反证法课件 北师大版选修45.pptVIP

4不等式的证明 二 放缩法几何法与反证法 1 掌握放缩法证明不等式的原理 并会用其证明不等式 2 理解几何法证明不等式的原理 会用其证明不等式 3 理解反证法在证明不等式中的应用 掌握用反证法证明不等式的方法 学习目标 1 利用反证法 几何法 放缩法证明不等式 重点 2 在不等式证明中 常与数列 三角结合 将放缩法渗透其中进行考查 难点 学法指要 预习学案 1 比较法用比较法证明不等式分为两种方法 2 综合法从 出发 利用 等 经过一系列的推进 论证而得出命题成立 这种证明方法叫做综合法 又叫 求差比较法 求商比较法 已知条件 定义 公理 定理 性质 顺推证法或由因导果法 3 分析法从 出发 逐步寻求使它成立的 直至所需条件为 从而得出要证的命题成立 这种证明方法叫做分析法 这是一种 的思考和证明的方法 要证的结论 充分条件 已知条件或一个明显成立的事实 执果索因 1 有时可以通过缩小 或放大 或通过放大 或缩小 来证明不等式 这种证明不等式的方法称 2 通过构造 利用 的性质来证明不等式的方法称为 3 通过证明 不能成立 来肯定命题结论一定成立的方法称为 分式的分母 或分子 被减式 或减式 放缩法 几何图形 几何图形 几何法 命题结论的否定 反证法 具体步骤 1 做出否定结论的假设 2 进行推理 导出矛盾 3 否定假设 肯定结论 1 lg9 lg11与1的大小关系是 a lg9 lg11 1b lg9 lg11 1c lg9 lg11 1d 不能确定答案 c 2 否定 自然数a b c中恰有一个为偶数 时正确的反设为 a a b c都是奇数b a b c都是偶数c a b c中至少有两个偶数d a b c中至少有两个偶数或都是奇数解析 a b c是否是偶数 共为全不是偶数 1个偶数 2个偶数 3个偶数共四种情况 恰有一个偶数的否定为至少有2个偶数或全是奇数 答案 d 课堂讲义 思路点拨 含绝对值不等式的证明与其他不等式的证明一样 可以用分析法来探索证明途径 由 x y x y 知 x y x y 0 再由真分数性质可得证 放缩法证明不等式 思路点拨 左边是三个根式的和 平方后十分复杂 使用前面几种方法难以奏效 故考虑对根号内的式子进行配方后再用 放缩法 思路点拨 几何法证明不等式比代数法更加形象 更加直观 主要运用我们所熟悉图形的性质 比如三角形两边之和大于第三边等 用几何法证明不等式 思路点拨 结合几何图形 利用三角形有关知识解题 已知0 x 2 0 y 2 0 z 2 求证 x 2 y y 2 z z 2 x 不都大于1 思路点拨 不都大于1 即等价于 至少有一个小于或等于1 由于涉及三个式子 它们出现的情况很多 此类问题的常用方法是考虑问题的反面 即 不都 的反面为 都 可用反证法来证明 反证法证明不等式 解题过程 证法一 假设x 2 y 1且y 2 z 1且z 2 x 1均成立 则三式相乘有 xyz 2 x 2 y 2 z 1 由于0 x 2 0 x 2 x x2 2x x 1 2 1 1 同理 0 y 2 y 1 且0 z 2 z 1 三式相乘得 0 xyz 2 x 2 y 2 z 1 与 矛盾 故假设不成立 x 2 y y 2 z z 2 x 不都大于1 思路点拨 本题是以否定形式给出的命题 通常考虑用反证法 通过推理论证 得出与条件或与事实矛盾的结论 证明不等式a b成立 有时可以将它的一边放大或缩小 寻找一个中间量 如将a放大成c 即a c 后证c b 这种证法便称为放缩法 常用的放缩技巧有 1 舍掉 或加进 一些项 2 在分式中放大或缩小分子或分母 放缩法 通过构造几何图形 例如正方形 三角形 圆 利用几何图形的性质来证明不等式 这种证法便称为几何法 几何法证明不等式比代数法更加形象 更加直观 主要运用我们所熟悉图形的性质 比如三角形两边之和大于第三边 正方形 圆等利用其性质进行证明 几何法 1 要证不等式m n 先假设m n 由题设及其他性质 推出矛盾 从而肯定m n成立 凡涉及到的证明不等式为否定性命题 唯一性命题或是含 至多 至少 等字句时 可考虑使用反证法 2 反证法证明不等式的步骤是 反设 假设不等式的结论不成立 归谬 从假设出发 经过推理论证 得出矛盾 断言 由矛盾得出反设不成立 反证法一般用于直接证明难以将已知条件与特征结论进行沟通 或者直接证明缺少条件 的情形 反证法 3 反证法中的数学语言反证法适宜证明 存在性问题 唯一性问题 带有 至少有一个 或 至多有一个 等字样的问题 或者说 正难则反 直接证明有困难时 常采用反证法 下面