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逢甲大學 工業工程與系統管理學系 碩 士 論 文 P 管制圖之統計設計 A statistical design for P control chart 指 導 教 授 陳源樹 研 究 生 邱致榮 中華民國九十九年六月 P 管制圖之統計設計 ii 逢甲大學 e Thesys 98 學年度 P 管制圖之統計設計 iii 逢甲大學 e Thesys 98 學年度 P 管制圖之統計設計 i 逢甲大學 e Thesys 98 學年度 誌謝誌謝 兩年的研究所學業得以順利完成 靠的是老師的循循善誘 靠的是同儕間的 相互鼓勵 靠的是家人的支持 靠的是自己的意志力 得以克服一切壓力和來自 不同的困難 感謝關心我的人在兩年來的協助和幫忙 讓我得以順利畢業 首先感謝恩師陳源樹教授兩年來的教誨 除了在學業上以及論文上給予的指 導 更會分享人生經驗 讓初出茅廬的我可以了解社會百態 我相信有恩師的教 誨以及經驗的傳授 對未來人生路上可以獲益良多 在此對恩師陳源樹教授致予 最誠摯的敬意以及謝意 本篇論文得以順利完成 除了恩師的細心指導也承蒙兩 位口試委員盧銘勳教授 張寧群教授給予本論文的指導和建議 力求本篇論文盡 善盡美 使整體論文更加充實 在此也對兩位口試委員致上最崇高的謝意 一篇論文的完成 除了靠自己不懈怠的研究 也需要同儕間的相互鼓勵 感 謝同屆好友培培 欣劭 鴨子 鴻儒 阿鳥在課餘時間的陪伴 相互打氣 相互 支持 相互鼓勵 使我在研究所生涯得以多采多姿 順利完成學業 還有在同間 實驗室的學長姐常先 小家榆 苡宴 文良 正偉 在剛進研究室的時候帶著我 認識校園 認識研究所生態 使我能夠更快適應研究生活 另外還有實驗室的學 弟妹東東 小銘 皮皮 小凌 阿期 浩文 阿搞在碩二生活的陪伴 一起作休 閒活動 讓壓力得以正常宣洩 並且在生活細節的協助 讓我能夠專心撰寫論文 有你們大家的協助 鼓勵 支持 讓本篇論文得以順利完成 感謝你們 寫論文的辛苦由我一個人承擔 然而畢業的榮耀卻要獻給家人 感謝家人在 兩年來默默的支持 精神上的鼓勵和行動上的資助 最後我要把完成論文的榮耀 和喜悅獻給我親愛的家人 以及三年來一路鼓勵我的阿翔和德昌 有你們的支持 使我得以順利考上研究所 並且順利畢業 僅以本篇論文表達對大家的感謝 邱致榮 謹誌於 逢甲大學 工業工程與系統管理系研究所 中華民國九十九年六月 P 管制圖之統計設計 ii 逢甲大學 e Thesys 98 學年度 摘要摘要 管制圖的平均連串長度 Average run length ARL 是管制圖對異常製程的 偵測能力指標 管制圖的平均連串長度有兩種 當製程正常 管制圖判為異常的 平均抽樣次數稱為平均連串長度 ARL0 製程異常 管制圖判為異常的平均抽樣 次數稱為連串長度 ARL1 好的管制圖是 ARL0 愈大 ARL1 愈小 本論文的目 的就是找出 ARL0 最大與 ARL1 最小的 P 管制圖參數 首先使用中央合成設計配置影響 P 管制圖平均連串長度之因子 樣本數 抽 樣間隔 管制界限係數 製程異常率 製程異常偏移量 經由電腦模擬中央合成 設計的 47 種處裡組合 得 ARL0與 ARL1 再配適 ARL0與 ARL1的二階反應曲 面模式 最後利用偏微分極大化 ARL0與 ARL1之差 獲得 P 管制圖的最佳參數 關鍵字 Shewhart P 管制圖 平均連串長度 中央合成設計 二階反應曲面 P 管制圖之統計設計 iii 逢甲大學 e Thesys 98 學年度 Abstract The average run length is an index to present the ability of process diagnosis by the control chart Under the normal process the average number of sampling used to identify that the process is out of control in the control chart is called the average run length ARL0 Under the abnormal process the average number of sampling used to identify that the process is out of control in the control chart is called the average run length ARL1 The ARL0 of the control chart is the larger the better and ARL1 is the smaller the better The purpose of this paper is to look for the parameters of the P control chart that make the ARL0 largest and the ARL1 smallest The parameters of the P control chart that affect the average run length are sample size sampling intervals control limit coefficient out of control probability and shift amount of defective proportion These parameters are arranged by central composite design which includes 47 treatment combinations Computer simulation each treatment combination we get 47 pairs of ARL0 and ARL1 which use to fit the second order response surface model of ARL0 and ARL1 And finally maximize the difference between the ARL0 and ARL1 use partial differential to get the best parameter combination of the P control chart Keywords Shewhart P control chart Average run length Central composite design Second order Response Surface P 管制圖之統計設計 iv 逢甲大學 e Thesys 98 學年度 目錄目錄 誌謝誌謝 i 摘要摘要 ii Abstract iii 圖目錄圖目錄 vi 表目錄表目錄 vii 第一章第一章 緒論緒論 1 1 1 研究動機與目的 1 1 2 研究假設 2 1 3 論文架構 3 第二第二章章 文獻探討文獻探討 5 2 1 SHEWHART P 管制圖 5 2 3 平均連串長度 10 第三章第三章 研究方法研究方法 14 3 1 中央合成設計 15 3 2 電腦模擬 19 3 2 1 MATLAB 19 3 2 2 電腦模擬過程 21 3 3 反應曲面及其最佳化 25 第四章第四章 模擬數據分析模擬數據分析 28 4 1 ARL0與 ARL1反應值 28 4 2 數據分析 31 P 管制圖之統計設計 v 逢甲大學 e Thesys 98 學年度 4 2 1 ARL0變異數分析 31 4 2 2 ARL1變異數分析 34 4 3 P 管制圖參數最佳化 37 第五章第五章 結論與建議結論與建議 40 5 1 結論與建議 40 5 2 未來研究方向 40 參考文獻參考文獻 41 附錄附錄 MATLAB 模擬程式碼模擬程式碼 43 P 管制圖之統計設計 vi 逢甲大學 e Thesys 98 學年度 圖圖目錄目錄 圖 1 1 論文架構 3 圖 2 1 利用管制圖改善製程 6 圖 2 2 典型的管制圖 7 圖 2 3 管制圖運用時機 8 圖 2 4 西方電子法則示意圖 12 圖 3 1 研究架構 14 圖 3 2 電腦模擬流程圖 21 P 管制圖之統計設計 vii 逢甲大學 e Thesys 98 學年度 表目錄表目錄 表 3 1 5 因子水準值 16 表 3 2 中央合成設計因子水準處理組合 18 表 4 1 中央合成設計處理組合因子反應值 28 表 4 2 ARL0之 ANOVA 表 31 表 4 3 逐步加入變數後 ARL0模式 ANOVA 表 32 表 4 4 ARL1之 ANOVA 表 34 表 4 5 逐步加入變數後 ARL1模式 ANOVA 表 35 表 6 1 驗證程式表 43 P 管制圖之統計設計 1 逢甲大學 e Thesys 98 學年度 第一章第一章 緒論緒論 1 1 研究動機與目的研究動機與目的 1924 年貝爾電話實驗室 Bell Telephone Laboratories 的蕭華特 Walter A Shewhart 發明了管制圖 蕭華特管制圖依據最近一組樣本資料判斷製程是否異 常 當製程有較大偏移時 蕭華特管制圖的偵測效果相當敏銳 但在偵測微量製 程變動時 卻無法迅速發現製程變動 於是近年來則納入以前的樣本數據為管制 圖統計量 例如累積和管制圖與指數移動平均管制圖等 也有一些管制圖採用機 動調整抽樣間隔或者抽樣數或者管制界限係數為補救方法 實施管制圖於製程管制時 管制圖的績效指標有二 1 當製程正常 管制 圖判為異常的平均抽樣次數稱為平均連串長度 Average run length ARL ARL0 2 當製程異常 管制圖判為異常的平均抽樣次數稱為連串長度 ARL1 好的管 制圖是 ARL0 越大 ARL1 越小 而影響 ARL0 與 ARL1之管制圖參數有樣本數 抽樣間隔 管制界限係數 製程異常率 製程異常偏移量及製程異常判斷準則等 其中樣本數 抽樣間隔 管制界限係數及製程異常判斷準則等為實施管制圖於製 程管制前 必頇決定的管制圖參數 餘下的製程異常率 製程異常偏移量則為不 可控制變數 可以經驗與數據估計之 本論文以 P 管制圖的 ARL0最大化和 ARL1最小化 求得 P 管制圖最佳樣本 數 抽樣間隔 管制界限係數 由於不易導出 P 管制圖參數 樣本數 抽樣間隔 管制界限係數 製程異常率及製程異常偏移量與 ARL0 及 ARL1的理論關係 因 此以實驗設計的中央合成設計 Central composite design CCD 配置管制圖參數 再經由電腦模擬實驗 獲得 ARL0 與 ARL1 再建立 ARL0 與 ARL1的二階反應 曲面模式 最後再最佳化二階反應曲面模式 獲得 P 管制圖的最佳參數 P 管制圖之統計設計 2 逢甲大學 e Thesys 98 學年度 1 2 研究研究假設假設 基於 1 1 捷所闡述之研究動機與研究目的 其相關假設如下 1 假設正常製程為柏努力分配 Ber P P 為正常製程的製程不良率 2 假設製程異常發生點服從幾何分配 Geo q q 為製程異常率 3 假設異常製程偏移量 P 服從均勻分配 U P b P b b 為製程異常偏移量分 配參數 4 假設異常製程為柏努力分配 Ber P P P P 為異常製程的製程不良率 5 製程開始為正常製程 製程不良率 P 0 05 6 製程異常後 不再產生異常 一經管制圖偵測出 則立即轉為正常製程 P 管制圖之統計設計 3 逢甲大學 e Thesys 98 學年度 1 3 論文論文架構架構 圖 1 1 為本論文之架構 研究動機與目的 文獻探討 決定影響平均連串長度 因子與管制圖參數 中央合成設計 電腦模擬並計算平均連串長 度差建構二階反應曲面模式 最佳化P管制圖二階反 應曲面模式 結論與建議 圖 1 1 論文架構 P 管制圖之統計設計 4 逢甲大學 e Thesys 98 學年度 研究架構說明 1 研究動機與目的 本論文第一章介紹本論文之研究動機 目的 假設與研究架構 2 文獻探討 本論文第二章主要探討 Shewhart P 管制圖 平均連串長度 製程異常判斷準 則等相關文獻 3 決定影響平均連串長度之因子 主要決定出影響平均連串長度 Average run length ARL 五個因子 樣本數 n 抽樣間隔 h 管制界限系數 k 製程異常率 q 製程異常偏移量分配參數 b 以及其水準值 並且決定 P 管制圖之不良率 4 中央合成設計 本論文反應曲面模型之實驗設計採用中央合成設計 Central composite design CCD 本論文使用 CDD 中 25全因子設計實驗 並且加上軸點實驗 中心點重 複實驗 一共實驗 47 次 5 電腦模擬 根據 CCD 之因子水準值 使用 MATLAB 撰寫程式 模擬各水準值進入管 制圖所得之數據 並且加入製程異常判斷準則 記錄每段實驗之 RL0與 RL1 當 模擬一次時結束即可計算 P 管制圖之 ARL0與 ARL1值 6 最佳化 P 管制圖參數 使用 Design Expert 軟體分析 P 管制圖之 ARL0與 ARL1值 建構二階反 應曲面模型 並且使其最佳化參數 即可得 P 管制圖的最佳參數組 7 結論與建議 最後是為本論文之整體研究結果下個結論 並對於後續研究提出建議 P 管制圖之統計設計 5 逢甲大學 e Thesys 98 學年度 第二章第二章 文獻探討文獻探討 2 1 Shewhart P 管制圖管制圖 管制圖係 1924 年由美國 Shewhart 博士所發明 又被稱為 Shewhart 管 制圖 16 管制圖的橫軸為時間 縱軸為統計量 如平均值 標準差 等 圖 中畫出上管制界限 Upper control limit UCL 中心線 Central line CL 及下管制界 限 Lower control limit LCL 根據修華特博士說法 在檢測產品品質時 可將發 生變異的原因分為 機遇原因 與 非機遇原因 兩種 其定義如下 1 機遇原因 Chance Causes 戴明博士將機遇原因稱為一般原因 common causes 變異的發生是製程本身的變異 非人為因素造成的 變異發生的頻 率多 但對製程的影響相當小 要消除這 變異是相當不符合經濟原則 2 非機遇原因 Assignable Causes 戴明博士將非機遇原因稱為特殊原因 special causes 此種變異發生頻率不多 但是其影響品質的程度卻是非常 顯著 所以需要徹底調查其原因 例如原料上的差異 而我們實施統計製程 管制的目的 是要確認此種問題的存在 並加以改善 由主觀來判斷發生的原因為機遇原因或非機遇原因是相當不可靠的 但 藉由統計特性參數來分析 就可以獲得較正確的資訊 管制圖本質上是對 製程是在統計管制狀態下 的假設做檢定 一點落在管制界限外則拒絕 統計管制假設 然而假設檢定免不了誤差 error 統計學上稱為型 I 誤差 type I error 與型 II 誤差 type II error 型 I 誤差指管制狀態中存在機遇原因 但由於抽樣誤差造成管制圖產生 的假警報 故發生型 I 誤差時需要許多人力或金錢去找尋不存在的原因 往 往會增加許多成本 型 II 誤差指製程已失控存在非機遇原因 但管制圖卻回應製程仍在管 制界限內 當型 II 誤差發生時 因無法發現其製程已經失控 所以還是繼 續進行生產的動作 因此會造成可觀的不良品以及重工的成本 甚至賠上本 P 管制圖之統計設計 6 逢甲大學 e Thesys 98 學年度 身的商譽以及競爭力 為了避免型 I 誤差與縮短型 II 誤差的發生許多學者紛紛提出了不同的 製程 異常判斷準則 用以改善蕭華特管制圖對於製程微量偏移的不敏銳 對於製程 異常判斷準則將在 2 2 探討 管制圖的最大功用是在監控製程 繼之改善製程 Montgomery 15 說明 利用管制圖進行製程管制與改善製程 如圖 2 1 所示 圖 2 1 利用管制圖改善製程 Shewhart 管制圖的統計理論 設 W 表示測量品質之樣本統計量 W 之平均 數是 w 且 W 之標準差為 w 另外管制界限係數為 k 則中心線 CL 上下管 制界限 UCL LCL 為 2 1 如圖 2 2 所示 一個典型的管制圖是由中心線 CL 上管制界限 UCL 下管制 界限 LCL 以及樣本點 Sample Point 等四部分所組成 2 確認並追蹤 執行矯正行動 檢明問題的根本原因 檢測可歸屬原因 輸出 輸入 製 程 量 測 系 統 P 管制圖之統計設計 7 逢甲大學 e Thesys 98 學年度 圖 2 2 典型的管制圖 Montgomery 15 提到 建立管制圖之前 必頇考慮抽樣間隔 Sample interval h 抽樣樣本數 Sample size n 管制界限係數 Control limit coefficient k 三個 重要的參數 現場人員收集樣本資料 樣本點落在管制界限內 而且呈現隨機 散佈 則製程為管制內 In control 超出管制界限外或數據呈現非隨機性 則 表示製程在管制外 Out of control 此時必頇找出異常原因改善之 有關管制圖的相關研究如下 辜誌強 7 2008 年的論文針對 Xbar R 管制圖作統計設計 張苡宴 3 2009 年的論文針對 C 管制圖作統計設計 是利用中央合成設計配置影響管制圖平均 連串長度之因子 進行電腦模擬實驗 得到 ARL0與 ARL1反應值 再配適 ARL0 與ARL1的二次反應曲面方程式為目標函數 再利用多目標最佳化得到最大ARL0 與最小 ARL1的管制圖參數組合 王志能 1 於 2002 年的論文中對累積和管制圖 CuSum Control Chart 指 數加權移動平均管制圖 EWMA Control Chart 有詳細的說明與探討 相對於蕭華 特管制圖只考慮單一時間點的個別資訊 累積和管制圖和指數加權移動管制圖都 會將歷史資料的趨勢變動列入考慮 Amin and Miller 9 進行變動抽樣間隔管 制圖的穩健性設計 評估管制圖的好壞 可由統計與經濟兩種層面探討 而統計層面以平均連串 長度 Average run length ARL 為評估標準 經濟性層面以管制成本為評估標準 LCL UCL CL P 管制圖之統計設計 8 逢甲大學 e Thesys 98 學年度 例如 Duncan 11 提出的平均數管制圖最小成本之經濟性模式 對於樣本大小 抽樣間隔時間 管制界限係數 希望透過最佳化管制參數使製程成本最小化 Lorenzen and Vance 14 所建立的每小時期望成本函數 目的是尋找最佳 參數組合 抽樣樣本數 n 抽樣間隔時間 h 管制界限係數 k 和 EWMA 加權常數 將管理監控成本最小化 本論文並採用平均連串長度 ARL 來評估 Shewhart P 管制圖的績效 找出最 大 ARL0與最小 ARL1之管制圖參數 而影響平均連串長度之管制圖參數有樣本 數 抽樣間隔 管制界限係數 製程異常率 製程異常量及製程異常判斷準則等 當產品特徵值屬於計數值 則用產品的某些屬性或是以計算產品的不合格數 來判斷產品是否合格 此稱為計數值管制圖 計數值品質特性分為兩 1 不良 non conformity 一件產品具有達一種 含一種 以上的缺點而喪失功能 或不符合規格稱為不良 常用的有不良率管制圖 P control chart 不良數管 制圖 NP control chart 2 缺點 defect 一件產品有瑕疵或毛病導致不符合規格時稱為缺點 常用的 有缺點數管制圖 C control chart 單位缺點數管制圖 U control chart 管制圖的運用時機 以圖 2 3 表示 品質特性 計量型態資料計數型態資料 N 1 N 10 X MR 管制圖 X bar R 管制圖 X bar S 管制圖 No Yes No Yes 固定樣本數固定樣本數 運用變動 樣本數的 P管制圖 P or NP 管制圖 U管制圖 C 管制圖 No Yes No Yes 圖 2 3 管制圖運用時機 12 P 管制圖之統計設計 9 逢甲大學 e Thesys 98 學年度 由圖 2 3 知 當品質特徵屬於不良時 固定樣本下可以使用 P 管制圖或 NP 管制圖 當樣本數變動時則只能用 P 管制圖 當特性屬性為缺點時 固定樣本可 以採用 C 管制圖 變動樣本則可使用 U 管制圖 不良率管制圖 P control chart 的統計原理基礎是二項分配 Binomial distribution 亦即假設生產過程是穩定的 任何發生一件不良品的機率為 p 且 各單位的生產是相互獨立 樣本數為 n 的隨機樣本 其中 D 是不良數 則樣 本不良率為 2 2 而 D 服從二項分配 bin n p 即 D 的 p m f 為 2 3 D 的平均數為 np 變異數為 np 1 p 得知 平均數與變異數分別為 2 4 這個理論能應用到不良率管制圖的發展上 依據蕭華特管制圖公式 2 1 中心 線 CL 上下管制界限 UCL LCL 之公式 則可以得到不良率管制圖之 CL UCL 和 LCL 分別為 2 5 P 管制圖之統計設計 10 逢甲大學 e Thesys 98 學年度 對於 P 管制圖 Besterfield 10 提到其目的在於 1 決定平均品質水準 平均數的知識可視為重要基準點 此資訊提供計數值之 製程能力 2 喚起管理階層注意平均數之任何變化 一旦平均品質不良率已知 品質增減 之任何變化可能極為顯著 3 改善產品之品質 4 評估作業人員與管理人員之品質績效 5 找出使用 X bar R 管制圖之場所 P 管制圖可以找出製程困難來源 而 X bar R 管制圖可以找出其原因 6 找出產品之允收標準 不良率的知識提供管理階層是否要發出訂單的資訊 2 3 平均連串長度平均連串長度 將依序發生的隨機事件分 同一 隨機事件連續發生的次數稱為連串長度 RL Run length 連串長度的期望值稱為平均連串長度 ARL Average run length 製程正常時 管制圖判斷製程為異常的抽樣次數為連串長度 RL0 製程異常 時 管制圖判斷製程為異常的抽樣次數為連串長度 RL1 RL0與 RL1的期望值為 ARL0與 ARL1 它是有效評估管制圖績效的指標 管制圖具有越大的 ARL0和越 小的 ARL1 代表著錯誤判斷越少 是好的管制圖 本論文探討最大的 ARL0和 最小的 ARL1的不良率管制圖的設計 影響管制圖 ARL 的因子有樣本數 抽樣間隔 管制界限係數 製程異常率 製程異常偏移量與製程異常判斷準則等 6 個因子 以下說明 6 個因子對 ARL 之 影響 1 樣本數 n 樣本數越大 則管制界限越窄 犯型一誤差的機會則越大 此時 ARL0會比較小 2 抽樣間隔 h 決定抽樣間隔頇考慮抽樣成本 允許製程失控之損失與生產率 P 管制圖之統計設計 11 逢甲大學 e Thesys 98 學年度 以及製程異常發生機率等因素 一般來說 抽樣間隔越大 則管制圖偵測異 常的時間越長 影響到 ARL1值也會越大 3 管制界限係數 k 管制界限係數直接影響管制界限的寬窄 在製程正常且管 制界限越小 則犯型一誤差機會越大 ARL0值會越小 在製程異常且管制界 限係數越大 則犯型二誤差機會增加 ARL1值會越大 所以決定管制界限係 數時頇評估容許犯兩種錯誤的風險 4 製程異常率 q 製程異常率是製程發生異常的機率 例如製程異常率為 0 00005 代表平均生產 20000 件製品會發生一次製程異常 製程異常率的大小 直接影響到 ARL值的大小 依據本實驗 當製程異常率越大則 ARL1會越小 5 製程異常偏移量 P 正常製程的製程不良率為 P 製程異常時 製程不良 率為 P P P 稱為製程異常偏移量 本論文假設 P 服從均勻分配 U P b P b b 越小 則 P 偏移量越穩定 ARL1會比較小 b 越大 則 P 跳動範 圍越大 ARL1也會比較大 6 製程異常判斷準則 依據顯示在管制圖的樣本點 判斷製程是否異常的法則 稱為 製程異常判斷準則 2 1 提到統計設計則免不了抽樣誤差造成的型 I 誤差與型 II 誤差 為了避免誤差所造成的傷害 許多學者提出不同的 製程 異常判斷準則 用以改善蕭華特管制圖對於製程些微偏移的不敏感 不同的 異常判斷準則會影響 ARL0與 ARL1 一般比較常用的是由 1958 年西方電子 公司 Western electric company 所使用的連串法則 又稱西方電子法則 如圖 2 4 所示 1 一個樣本點超出管制界限之外 2 連續三個樣本點中之兩個落在中心線同一邊的 2 界限之外 3 連續五個樣本點中之四個落在中心線同一邊的 1 界限之距離處或之上 4 連續八個樣本點落在中心線的同一邊 P 管制圖之統計設計 12 逢甲大學 e Thesys 98 學年度 圖 2 4 西方電子法則示意圖 Grant alpha 值 nlow round a 1 n2 a 1 n1 2 a 計算 n 低水準 四捨五入取至整數 ncl round n2 n1 2 計算 n 中心點 四捨五入取至整數 nhi round a 1 n1 a 1 n2 2 a 計算 n 高水準 四捨五入取至整數 hlow round a 1 h2 a 1 h1 2 a 計算 h 低水準 四捨五入取至整數 hcl round h2 h1 2 計算 h 中心點 四捨五入取至整數 hhi round a 1 h1 a 1 h2 2 a 計算 h 高水準 四捨五入取至整數 klow a 1 3 2 a 1 0 8 2 a 計算 k 低水準 kcl 3 2 0 8 2 計