工程数学试题集(最终修订版).doc

填空题1. 设矢性函数和，则 ， 。2. 矢性函数的导矢代表对应的矢端曲线的 矢量，且矢量指向 增加的方向。3. 矢性函数对其矢端曲线的弧长的导数在几何上为一 矢量，且矢量恒指向 增大的一方。4. 曲线：，的切向单位矢量为 。5. 曲线，在处的单位切向矢量为 。6. 曲线，在处的单位切向矢量为 。7. 将矢性函数的起点取在坐标原点，当变化时，的终点所描绘出的曲线称为 。8. 若矢性函数，则 。9. 一矢性函数，其导矢 。10. 我们所学的梯度、散度和旋度等概念，指的是 场的梯度， 场的散度， 场的旋度，而散度、梯度、旋度本身又分别为 场、 场和 场。(数量或矢量)11. 磁场（是或不是） 有势场，静电场 有势场，感生电场 有势场。12. 有势场又称为无 场， 管形场又称为无 场，调和场又称为无 无 场。13. 在一个矢量场中，若在某点处 ，则称矢量场在该点处有源；若在某点处 ，则矢量场在该点处无源。14. 平面数量场的梯度 ，其在点M（1 , 2 , 1）处沿矢量的方向导数为 。15. 数量场在点处的梯度为 。16. 数量场在点处沿矢量方向的方向导数为 。17. 矢量场在点P（1，2，2）处的旋度为 ，A在点P处沿着矢量的环量面密度为 。18. 我们所学的散度场、梯度场、旋度场本身分别为 场、 场和 场（数量或矢量）。19. 数量场在点处的梯度为 。20. 数量场在一点处沿该点的 矢量方向的方向导数值最大。21. 矢量场、的散度分别为 和 ； 而旋度则分别为 和 。22. 设数量场和矢量场，应用哈密顿算子表示场的散度、梯度、旋度写法分别为 、 、和 。23. 已知数量场和矢量场，则 。24. 利用复数的运算规则，计算： ， ； ， ； ；若，则 。25. 利用复数的运算规则，计算： ； ； ； 、 和 ； ； ； 26. 利用复数的运算规则，计算： ， ； ； ； ； ； 。27. 利用复数的运算规则，计算： 、 、 。28. 利用复数的运算规则，计算： ； 。 29. 利用复数的运算规则，计算： ， ； 、 、 。30. 的三角表示式和指数表示式分别为 、 ；复数的实部为 ；复数的主值为 ；设，则 ； 。31. 设，则 ；的主值为 ； ；复数的模为 ；以方程的根的对应点为顶点的多边形面积为 ； 。32. 复变函数，则方程的所有根为 、 、 。33. 复变函数，则方程的所有根为 、 、 。34. 复变函数，则方程的所有根为 、 ；的主值为 。35. 复变函数，则方程的所有根为 、 。36. 复变函数，则方程的所有根为 、 、 。37. 复变函数，则 ；，则 ；，则 ；在处的导数为 ；，则 ；。38. 复变函数在 处可导，且 。39. 由柯西-黎曼方程可知，一个解析函数的实部和虚部是互为 关系的 函数。40. 柯西-黎曼方程的数学表达式为 和 ，它们是判断复变函数 的充要条件。41. 若在全平面内解析，则常数 ， ， 。42. 设函数在全平面内解析，则常数、取值分别为 、 、 、 。43. 设复变函数在区域内解析，且为实常数。则在內是 。44. 在全平面内解析，在实轴上等于的函数是 。45. 设，其中，则 ， 。46. 设，其中，则 。47. 设，其中，则 。48. 设，其中，则 。49. 设，其中，则 ， 。50. 设，其中，则 ， 。51. 。52. 计算函数在处的级数展开式时，若要展开成 级数，则必须是的解析点；若点为非解析点，则只能展开成 级数。53. 函数在处展开的泰勒级数的收敛半径为 ，若在处展开成泰勒级数，则收敛半径为 。54. 函数在处展开的泰勒级数的收敛半径为 ，若在处展开成泰勒级数，则收敛半径为 。55. 在处的级数为 。（至少写出前四项）56. 设的展开式为，则此级数的收敛半径为 。57. 在处的级数中，项的系数为 。58. 在处的级数的收敛半径为 。59. 函数的孤立奇点是 ，在孤立奇点上的留数为 。60. 函数的孤立奇点是 ，在孤立奇点上的留数为 。61. 函数在其孤立奇点上的留数为 、 。62. 函数的孤立奇点是 ，奇点类型 ，在孤立奇点上的留数为 。63. 设，为一常数，的孤立奇点为 ，其类型为 。64. ； ； 。65. 函数的零点在以内的个数为 。66. 留数在形如定积分上应用时，为使积分存在，要求有理函数的分母的次数比分子的次数至少 ，并且所有的孤立奇点都 。67. 按照函数在孤立奇点的去心邻域内的 级数展开式的不同情况，可将孤立奇点分为 、 和 三种。68. 函数在奇点处的留数为 。69. 静电场中的电力线，磁场中的磁力线，流速场中的流线，可以统称为 。70. 积分中，若为包含的任一条简单正向闭曲线，为整数，则当 时，积分值不为零且等于 。71. 在高阶导数公式中，要求为包含 点的一条简单正向闭曲线，而在内 。72. 留数在形如定积分上应用时，为使积分存在，要求有理函数的分母的次数比分子的次数至少 ，并且所有的孤立奇点都 。73. 设复变函数，则这个孤立奇点的类型为 ；并且 。74. 留数在形如定积分上应用时，为使积分存在，要求有理函数的分母的次数比分子的次数至少 ，并且所有的孤立奇点都 。75. 函数的变换为 。76. 函数的变换为，则 。77 函数的拉普拉斯逆变换为 。78已知函数的傅利叶变换为，则的傅利叶变换为 。（）选择题1. 矢量场为 。（A）有势场； （B）管形场； （C）调和场； （D） 一般场2. 矢量场为 。（A）有势场； （B）管形场； （C）调和场； （D） 一般场3. 矢量场为 。（A）有势场； （B）管形场； （C）调和场； （D） 一般场4. 矢量场为 。（A）有势场； （B）管形场； （C）调和场； （D）一般场5. 下面公式中，正确的是 。其中为数性函数，为矢性函数。（A）； （B）；（C）； （D）6. 下面公式中，正确的是 。其中为数性函数，为矢性函数。（A）； （B）；（C）； （D）7. 下面公式中，正确的是 。其中，为矢性函数。（A）； （B）；（C）； （D）8. 一个向量逆时针旋转，向右平移3个单位，再向上平移2个单位后对应的复数为2，则原向量对应的复数为 。（A）； （B）； （C）； （D）9. 一个向量顺时针旋转，向右平移3个单位，再向下平移1个单位后对应的复数为，则原向量对应的复数为 。（A）2； （B）； （C）； （D）10. 函数在点可导是在点解析的 。（A）充分不必要条件； （B）必要不充分条件； （C）充分必要条件； （D）既非充分也非必要条件11.下列函数中，在整个复平面上均为解析函数的是 。（A）； （B）； （C）； （D）12.下列函数中，在整个复平面上均为解析函数的是 。（A）； （B）； （C）； （D）13. 下列函数中，在整个复平面上均为解析函数的是 。（A）； （B）； （C）； （D）14. 若函数在复平面内处处解析，则实常数 。（A）0； （B）1； （C）2； （D）15. 设在区域内为的共轭调和函数，则下列函数中为内解析函数的是 。（A）； （B）； （C）； （D）16下列观点中正确的个数为 。1）若复变函数在点可导，则在点解析；2）若复变函数在点解析，则在点可导；3）若复变函数在区域内解析，则在内处处可导；4）若复变函数在区域内处处可导，则在内解析（A）0； （B）1； （C）2； （D）317. 设，则 。（A）； （B）； （C）； （D）18. 积分 。（A）； （B）； （C）1； （D）019. 设为正向圆周，则 。（A）； （B）； （C）； （D）20. 设为正向圆周，则 。（A）； （B）； （C）； （D）21. 设为正向圆周，则 。（A）； （B）； （C）； （D）22. 若幂级数收敛半径为2，则该级数在处的敛散性为 。（A）绝对收敛； （B）条件收敛； （C）发散； （D）不能确定23. 若幂级数在处收敛，则该级数在处的敛散性为 。（A）绝对收敛； （B）条件收敛； （C）发散； （D）不能确定24. 若函数的泰勒展开式为，则级数的收敛半径为 。（A）； （B）1； （C）； （D）25. 复变函数在环域展开的洛朗级数中的正幂项在 内绝对收敛。（A）； （B）； （C）； （D）26. 复变函数在环域展开的洛朗级数中的负幂项在 内绝对收敛。（A）； （B）； （C）； （D）27. 若复变函数在圆环域：内的洛朗级数为，为内任意一条简单正向闭曲线，则积分 。（A）； （B）； （C）； （D）28. 是函数的 。（A）可去奇点； （B）1级极点； （C）1级零点； （D）本性奇点29. 是的 。（A）可去奇点； （B）1级极点； （C）2级极点； （D）3级极点30. 是的 级极点。 （A）5； （B）4； （C）3； （D）231. 是的 级极点。 （A）5； （B）4； （C）3； （D）232. 是的 级极点。 （A）4； （B）3； （C）2； （D）133. 是的 级极点。 （A）4； （B）3； （C）2； （D）134. 是的 级极点。（A）5； （B）4； （C）3； （D）235. 是的 级极点。 （A）4； （B）3； （C）2； （D）136. 是的 级极点。（A）3； （B）2； （C）1； （D）037. 若为的级零点，则为的 级零点（A）； （B）； （C）； （D）38. 设为复变函数的可去奇点，则在处的极限值为 。（A）不存在； （B）有限值； （C）无穷大39. 复变函数在处展开的泰勒级数的收敛半径为 。（A）1； （B）2； （C）3； （D）440. 下列函数中，是单值函数的是 。（A）； （B） （为正整数）； （C）；（为正整数） （D）41. 留数在定积分的计算上应用时，若积分存在，有理函数的分母的次数比分子的次数至少 。（A）高1次； （B）高2次； （C）低1次； （D）低2次42. 复变函数若在处展开为洛朗 级数，则展开时需要区分的解析区域个数为 。（A）0； （B）1； （C）2； （D）3证明题1. 证明点电荷所产生的静电场为有势场，其中，2. 利用混合积公式证明： 3. 证明矢量场为有势场。4. 证明矢量场为调和场5. 利用二重矢量积公式证明：6. 利用二重矢量积公式证明：7. 利用二重矢量积公式证明：，其中问答题1. 请叙述一下矢量场的通量与散度的关系。2. 形如的积分如何转化为复变积分，其中 为与的有理函数。3. 叙述一下什么叫做等值线和矢量线。4. 叙述一下数量场沿矢量的方向导数和梯度的关系。5. 复变函数的孤立奇点分为几种，定义分别是什么？6. 详细分析复变函数的奇点是的何种奇点。计算题1. 计算下列矢量场的和。（9分）（1） （2） （3）（4） （5） （6）（7） （8） （9）（10） （11） （12）（13） 2. 设为曲面在点处指向曲面外侧的法向矢量，求数量场在点处沿的方向导数。3. 设两曲面，一数量场，求数量场在点处沿两曲面交线的切线方向的方向导数。4. 已知数量场在点处指向的方向导数为2，指向的方向导数为，求：（1）点处的梯度；（2）点指向的的方向导数5. 设，求满足的函数。6. 已知流速场，为曲面()，求在单位时间内向下侧穿过的流量。7. 已知矢量场，为曲面，求沿正向的通量。8. 已知矢量场，为上半球面，求向上穿过的通量。9. 已知矢量场，为曲面（），求向左侧穿过的通量。10. 已知矢量场，为曲面，求沿正向的通量。11. 证明函数为调和函数，并求解析函数函数单独用表示的形式。12. 证明函数为调和函数，并求解析函数函数单独用表示的形式。13. 证明函数为调和函数，并求解析函数函数单独用表示的形式。14. 证明函数为调和函数，并求解析函数函数单独用表示的形式。15. 证明函数为调和函数，并求解析函数函数单独用表示的形式。16. 已知函数为调和函数，求参数的值，并求出解析函数函数单独用表示的形式。17.证明函数为调和函数，并求解析函数函数单独用表示的形式，并使得。18. 证明函数为调和函数，并求解析函数函数单独用表示的形式，并使得。19. 求函数在处展开的级数20. 求函数在处展开的级数21. 求函数在处展开的级数22. 将函数在圆环域：（1），（2）内展开成级数。23. 求函数在处的级数。24. 求函数在处的级数。25. 求函数在处的级数。26. 求函数在处的级数。27. 求函数在处的级数。28. 求函数在处的级数。29. 求函数在处的级数。30. 求函数在处的级数。31. 分别求函数在、处的级数。32. 求函数在处的级数。33. 求函数在处的级数。34. 求下列积分。（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12） （13） （14） (15) () (16) () (17) () (18) （19）； （20） （）35. 已知，求，。36. 设在内解析（），且，计算积分，并由此计算定积分37. 计算积分，并由此证明定积分38. 求函数 （）的Fourier变换及其Fourier积分。39. 求函数 （）的Fourier变换及其Fourier积分。40. 求函数的Fourier变换。41. 求函数的Fourier变换。42. 求函数的Fourier变换及其Fourier积分。43. 求函数的Fourier变换及其Fourier积分。44. 求函数 （）的Fourier变换及其Fourier积分，并验证。45. 求