正交变换和正交矩阵.doc

7.3正交变换和正交矩阵授课题目：7.3正交变换和正交矩阵教学目标：理解和掌握正交变换与正交矩阵的概念，性质及其关系 授课时数：3学时教学重点：正交变换的性质教学难点：正交变换的判定，正交矩阵特征值的性质教学过程：一、 标准正交基到标准正交基的过渡矩阵。设是n维欧氏空间的两个标准正交基，U （U=（）则定义7.3.1 设是实数域上的n阶矩阵, 如果 ,则称为正交矩阵.定理7.3.1 设在n维欧氏空间中由标准正交基对基的过渡矩阵是, 那么是标准正交基的充分必要条件是为正交矩阵.证明: 必要性已证. 现证充分性. 设为正交矩阵, 则成立, 从而是标准正交基.例1：证明每一个n阶可逆矩阵A都可以唯一表成A=UT的形式，这里U是一个正交矩阵，T是一个上三角实矩阵且主对角线上元素。证明：存在性，由于A为n阶非奇异实矩阵，故A=的列向量线性无关，从而为的一个基，实行单位化令 从而T也是对角线上全为实数的上三角形矩阵，由于是标准正交基，故有是一个正交矩阵，于是知A=UT 唯一性：设另有其中为正交矩阵，为对角线上全是正实数的上三角形矩阵，则 即上式既是上三角形矩阵又为正交矩阵，可证 故 思考题 设是欧氏空间V的一个标准正交基,试求正交变换,使适合 练习 设V是一个欧氏空间, 是一个非零向量,对于 , 规定V的一个变换 证明:是V的一个正交变换,且 是单位变换. 例2：设和是n维欧氏空间V的两个标准正交基。（1） 证明，存在V的一个正交变换，使（2） 如果V的一个正交变换，使那么所生成的子空间与由所生成的子空间重合。证：（1）一定存在一个变换使及为标准正交基，故为正交变换 ( 2 )证先证设 另一放面，若则，因为是正交变换，故是V的一个标准正交基，不妨令故因而有是一个正交矩阵，于是知A=UT 唯一性：设另有其中为正交矩阵，为对角线上全是正实数的上三角形矩阵，则 即上式既是上三角形矩阵又为正交矩阵，可证 故 例2：设和是n维欧氏空间V的两个标准正交基。（3） 证明，存在V的一个正交变换，使（4） 如果V的一个正交变换，使那么所生成的子空间与由所生成的子空间重合。证：（1）一定存在一个变换使及为标准正交基，故为正交变换（5） 证先证设 另一放面，若则，因为是正交变换，故是V的一个标准正交基，不妨令故因而二、正交阵的判断。定理7.3.2：U是n阶正交矩阵的行（列）向量组成n维欧式空间的一个标准正交基。证： 必要性 设U是正交矩阵则有 =I 令U=（，）T=( )=在欧氏空间中有= i,j=1,2,3, n故有=I故 = 因而，是的标准正交基 充分性 设，是的一个标准正交基，以上过程可逆有=I，从而是正交矩阵。三、正交矩阵的性质 正交矩阵可逆，且逆矩阵仍然为正交矩阵； 故 两个正交矩阵的乘积仍然为正交矩阵； 正交矩阵的行列式为； 故 四、正交变换 1 定义7.3.2：是欧氏空间的一个线性变换，如果 有 则称是的一个正交变换。 2 正交变换的判断 定理7.3.3 是的一个线性变换，于是以下四个命题等价： 是的正交变换； ，有=； 若是的标准正交基则也是的标准正交基； 是关于任意一个标准正交基的矩阵是正交矩阵。 证明：用的循回证法来证明， 是正交变换有 = 而 = = +2+ =+2+ = , = 故= = 故 ，是的标准正交基。 设是的标准正交基，关于基的矩阵为 （= ,均为标准正交基 故 是正交基。 设是关于标准正交基的矩阵的正交矩阵， 即 = ， ，也是标准正交基。 则有 = = = 即 推论1：正交变换保持向量的夹角不变。 =arccos=arccos=注意：逆命题不一定成立。 当取定了标准基之后，正交变换与正交矩阵是一一对应的。并且保持乘法运算，研究正交变换可归结为研究正交矩阵。 推论2：两正交变换的积仍是正交变换，正交变换的逆变换也是正交变换。 证：设，均为正交变换则 3 正交变换的分类 若正交变换关于某一标准正交基的矩阵为 时称为第一类正交变换，并称为旋转； 时称为第二类正交变换，