研究生数学基础.doc

附录： 数学基础在A.1 张量基础A.1.1 张量的定义 张量被用来描述客观存在的物理量。在数学上，张量是不依赖于任何特定坐标系而存在的量。诸如温度、位移和应力等物理量都是客观存在的，不依赖于坐标系而变化，因而它们都是张量。但是，在研究这些物理量空间分布或变化规律时，又得在一定的参考坐标系中进行，而在不同坐标系中通常具有不同的分量。这样，张量在不同坐标系中的不同分量之间必定具有某种确定的变换规律。因此，张量也可定义如下：分量满足一定的坐标变换规律的量就是张量。在3维空间坐标系中，如果一个张量的分量个数为，则该张量就称为阶张量，例如标量、矢量和应力张量分别为零阶、一阶和二阶张量。A.1.2 张量表示法（1）标量 标量是只有大小没有方向的物理量，通常用斜体字母表示，例如温度、密度、时间、体积等。标量没有方向，分量个数为1，因此为零阶张量。（2）矢量矢量是既有大小又有方向的物理量，常用小写黑体字母（或字母上加箭头）来表示，例如位移（或）、体力（或）、面力（或）等。这种表示方法称为实体记法。 在参考坐标系中，其他矢量均可用的线性组合来表示，例如三维空间矢量可表示为 （A.1）其中为矢量在轴的投影或分量，下标称为指标。这种同时写出分量和相应的基矢量的表示方法称为分解式记法。显然，我们也可以用全部分量的集合来表示矢量，省略相应的基矢量，例如用 （1，2，3）（A.2）表示位移矢量。这种字母加指标的表示方法称为指标或分量记法。矢量在笛卡尔坐标系中有3个分量，故为一阶张量。当指标不重复出现时，该字母要在1，2，的范围内取值，其中为规定指标域的确定整数。在指标写法中，不重复出现的指标称为自由指标。如果一个指标重复出现两次，则该指标要取完指标域中所有的值，然后将各项加起来。这就是爱因斯坦求和约定，重复出现的指标称为哑标。按此约定，式（A.1）可写为 （A.3）哑标仅表示要遍历求和，因此可用除该项中自由指标以外的任何字母代替而不改变该项的意义。例如 （A.4）哑标只能成对地出现。若要对同项内出现两次以上的指标进行遍历求和，必须加求和号，例如 （A.5）（3）张量具有多重方向性的物理量称为狭义的张量。这种高阶张量的实体记法通常用黑体字母、等表示。对于具有9个分量的二阶张量，其分解式记法为 （A.6）其中称为并矢基，共有9个。张量也可用指标记法 （1，2，3） （A.7）的转置记为，即 （A.8） 如果的分量满足 （A.9）即与其转置张量相等，则称为对称张量。如果的分量满足 （A.10）则称为反对称张量。A.1.3 公式的张量表示 根据求和约定和指标记法，代数方程组 （A.11a）可写为 （1，2，） （A.11b）自由指标表示，若轮流取该指标范围内的任何值，关系式均成立。可见，通过哑标可把许多项缩写成一项，再通过自由指标又把许多方程缩写成一个方程。A.1.4 张量运算法则（1）矢量与矢量矢量与矢量的点积定义为 （A.12）其中为两矢量之间的夹角，点积的结果为一个标量，故也称为标量积。矢量与矢量的叉积定义为 （A.13）矢量间叉积的几何意义是面元矢量，其大小等于和构成的平行四边形面积，即，方向为该面元的法线方向，且遵守右手法则。三个矢量的混合积定义为 （A.14）当、构成右手系时，混合积表示这3个矢量所构成的平行六面体体积；若构成左手系，则为体积的负值。（2）矢量与张量矢量与张量的点积为一矢量，即 （A.15） （A.16）（3）张量与张量张量与张量的点积为一张量，即 （A.17） 同阶的笛卡尔张量相加减，和差张量的分量等于各张量的分量之和差，例如二阶张量之和差 （A.18）为 （A.19）（4）张量的主值 假设是二阶张量，如果有一个方向，使得下式 或 （A.20）成立，则称作的主方向或主轴；而标量称为的主值。（5）矢量的微积分 设有标量函数 其中；。显然有 它表示一个标量对矢量的偏导数，得到的是一个矢量。设有向量函数，则它对向量的导数表示为 （A.21）可见，向量对向量求导数，得到的是一个二阶张量或矩阵。（6）矢量的坐标变换现研究矢量从原坐标系变换到新坐标系时各分量间的关系。新坐标轴的单位矢量为，原坐标轴的单位矢量。显然有 两边点乘得 （A.22）其中 （A.23）（7）张量的坐标变换 设是二阶张量，则有 两边左点乘、右点乘得 （A.24）若用表示新坐标轴在原坐标系中的方向余弦，并组成方向余弦矩阵 （A.25）则式（A.24）可写成如下矩阵形式： （A.26）A.2 场论基础 在连续介质力学领域，可能会遇到各种各样的场，例如应力场、应变场、位移场、温度场、渗流场等。场是指定义在空间某个区域内的函数。如果所定义的场函数为标量（如温度），矢量（如位移）或张量（如应力），则相应地称为标量场，矢量场或张量场。场论就是关于场的性质与规律的理论。A.2.1 基本概念（1）矢量算子 正交坐标系中的矢量算子定义为 （A.27）（2）标量场梯度设为标量场函数，标量场中任一点的梯度定义为 （A.28）梯度是一个矢量，其方向正交于该点所在的等位面常数。现证明如下：等位面上的一点可用矢量表示，即 曲面在该点的切线方向为 于是 从而证明了梯度方向与等位面的正交性。梯度是标量场不均匀性的量度，可写成的矢量场称为位势场，而称为位势函数。（3）散度和旋度矢量的散度定义为 （A.29）矢量的旋度定义为 （A.30）容易证明 （A.31）（4）Lapace算子 （A.32）A.2.2 散度定理 设为物体的体积域，为其边界，为边界外法向单位矢量。关于矢量场的散度定理（也称为高斯定理）为 ， （A.33）推而广之，在张量场中也可以得到相应上式的积分表达式 （A.34）A.3 变分基础A.3.1 泛函与变分（1）泛函简单地说，泛函就是函数的函数。在某域内可变化的函数称为自变函数，例如物体中的位移、应变和应力等都是位置坐标的函数。依赖于自变函数而变的量称为自变函数的泛函，例如物体的应变能是应力和应变的泛函。泛函一般表示为在所依赖函数定义域上的积分，被积函数为自变量、函数及其导数的某个复合函数。（2）变分 现以单变量问题为例，来研究自变函数和泛函的变分。如果自变函数的增量微小，就称之为变分，用表示。是指与同其相近的之差，即 （A.35）也是的函数，只是在指定的域中都是微量，即它是任意小的自变函数。这里，我们要注意微分与变分的区别：对于给定函数，在一点处对应于的增量是完全确定的，而则是的容许函数邻域内任意函数与之差。如果变分是任意微小的位移，且满足位移边界条件，即在上有 ，（A.36）则变分就是虚位移。 曲线和怎样才算很接近？如果在整个域内，和的差的模都很小，那么这两条曲线就有“零阶接近度”。如果和的值到处都很小，则两条曲线具有“一阶接近度”。一般地说，如果，都很小，则称这两条曲线有阶接近度。 变分引起泛函的增量为 （A.37）增量的线性主部称为泛函的变分。（3）驻值与函数求极值类似，变分法的目标是确定这样的自变函数，它们使其相应的泛函取得极值。如果泛函在任何一条与接近的曲线上的值不大于（或小于），也即 （或）则称泛函在曲线上达到极大（或极小）值，而且在上有驻值条件（A.38） 驻值条件（A.48）是泛函取极值的必要条件。若要取极值，还得满足下述条件： （A.39） 注意：函数的极值是在自变量的一个邻域内进行比较；而泛函的极值则要在容许函数空间中函数的一个邻域内进行比较。A.3.2 运算规则变分运算与微分运算的规则完全相同，而且微分或积分与变分的次序可以交换。下面给出若干常用算式。 （A.40）A.3.3 预