5.8 振型函数的正交性.doc

5.8 振型函数的正交性在第4章中我们讨论过多自由度系统主振型的正交性。这种正交性是主坐标分析法的基础。前面本章中曾提到弹性体振动具有类似的特性。从前几节的讨论中可以看到，一些简单情形下的振型函数是三角函数，它们的正交性是比较清楚的；而在另一些情形下得到的振型函数还包含有双曲函数，它们的正交性以及更一般情形下振型函数的正交性尚待进一步说明。 下面我们仅就梁的弯曲振动的振型函数论证其正交性。因为在讨论正交性时，不必涉及振型函数的具体形式，所以我们稍为放宽一些假设条件。和前几节不同，本节所考察的梁截面可以是变化的。这时，梁单位长度的质量以及截面刚度都是的已知函数，而不必为常数。故梁的自由弯曲振动微分方程为 （5-60） 采用分离变量法，将表示为 （5-61） 将它代入方程（5-60）进行分离变量后，可得 （5-62） （5-63） 我们将从方程（5-63）出发进行讨论。这时，与（5-23），（ 5-24），（5-25）相对应的边界条件为 固支端： （5-64） 铰支端： （5-65） 自由端： （5-66） 现假设方程（5-63）在一定的边界条件下，对应于任意两个不同的特征值或的振型函数分别为与，于是有 （5-67） （5-68） 对（5-67）式乘以，然后在上对进行积分，得 （5-69） 再将式（5-68）乘以，然后在上对进行积分，得 （5-70） 再对式（5-69）与式（5-70）相减，可得 （5-71） 可以看到，如果以式（5-64）一（5-66）中任意两个式子组合成梁的边界条件，那么式（5-71）右端都将等于零。所以，在这情形下，就有 但前面已经假设，故有 （5-72） 正是在这一意义上，我们称振型函数与关于质量密度正交。数学上亦称以为权函数的加权正交，以区别于常数时，与所具有的通常意义下的正交性： 考虑到式（5-72），从式（5-69）或式（5-70）都可以看到，在上述边界条件下，有 （5-73） 由此可见，梁弯曲振动振型函数这种关于刚度的正交性，实际上是振型函数的二阶导数所具有的正交性。 当时，式（5-71）自然满足。这时，可记下列积分为 （5-74） 称为第阶振型的广义质量，称为第阶振型的广义刚度。由式（5-69）或式（5-70）不难看到，有 当梁的端为弹性支承时，边界条件为 将它代入式（5-71）与式（5-69），可得 （5-75） 又当梁的端具有附加质量时，边界条件为 将它代入式（5-71）与式（5-69），可得 （5-76） 由此可见，在弹性支承端情形与附加质量端情形，它们的振型函数的正交性分别由式（5-75）与式（5-76）表示。 现在来看上述正交性的物理意义。设第阶与第阶主振型可分别表示为 我们来证明，当时，对应于的惯性力与弹性力在上所作的功为零。 事实上，对应于，梁微元的惯性力为 对应于，梁在该微元处的速度为 故整个梁对应于的惯性力在上所作功的功率为 在弯曲振动中，关于弹性力的功，只需要考虑截面弯矩所作的功。梁对应于的截面弯矩为 而对应于的截面转角微元为 故整个梁对应于的弯矩在上所作的功为 可见，由于振型函数的正交性，当时，主振动不会激起主振动，换句