等差数列的前n项和(一).doc

等差数列的前n项和(一)教学目标：掌握等差数列前n项和公式及其获取思路，会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题；提高学生的推理能力，增强学生的应用意识.教学重点：等差数列前n项和公式的推导、理解及应用.教学难点：灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题.教学过程：.复习回顾经过前面的学习，我们知道，在等差数列中：（1）anan1d(n1)，d为常数.（2）若a，A，b为等差数列，则A.（3)若mnpq，则amanapaq.（其中m，n，p，q均为正整数）.讲授新课随着学习数列的深入，我们经常会遇到这样的问题.例：如图，一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支，这个V形架上共放着多少支铅笔?这是一堆放铅笔的V形架，这形同前面所接触过的堆放钢管的示意图，看到此图，大家都会很快捷地找到每一层的铅笔数与层数的关系，而且可以用一个式子来表示这种关系，利用它便可以求出每一层的铅笔数.那么，这个V形架上共放着多少支铅笔呢？这个问题又该如何解决呢？经过分析，我们不难看出，这是一个等差数求和问题？首先，我们来看这样一个问题：123100？对于这个问题，著名数学家高斯10岁时曾很快求出它的结果，你知道他是怎么算的吗？高斯的算法是：首项与末项的和：1100101，第2项与倒数第2项的和：299101，第3项与倒数第3项的和：398101，第50项与倒数第50项的和：5051101，于是所求的和是1015050.这个问题，它也类似于刚才我们所遇到的问题，它可以看成是求等差数列1，2，3，n,的前100项的和.在上面的求解中，我们发现所求的和可用首项、末项及项数n来表示，且任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和，这就启发我们如何去求一般等差数列的前n项的和.如果我们可归纳出一计算式，那么上述问题便可迎刃而解.设等差数列an的前n项和为Sn，即Sna1a2an把项的次序反过来，Sn又可写成Snanan1a1 2Sn(a1an)(a2an1)(ana1)又a2an1a3an2a4an3ana12Snn(a1an)即：Sn若根据等差数列an的通项公式，Sn可写为：Sn=a1+(a1+d)+a1+(n1)d,把项的次序反过来，Sn又可写为：Sn=an+(and)+an(n1)d ,把、两边分别相加，得2Snn(a1an)即：Sn.由此可得等差数列an的前n项和的公式Sn.也就是说，等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半.用这个公式来计算123100？我们有S1005050.又ana1+(n1)d,Snna1dSn或Snna1d有了此公式，我们就不难解决最开始我们遇到的问题，下面我们看具体该如何解决？分析题意可知，这个V形架上共放着120层铅笔，且自上而下各层的铅笔成等差数列，可记为an，其中a11，a120120，n120.解：设自上而下各层的铅笔成等差数列an，其中n120，a11，a120120.则：S1207260答案：这个V形架上共放着7260支铅笔.下面我们再来看一例题：等差数列10，6，2，2，前多少项的和是54?分析：先根据等差数列所给出项求出此数列的首项，公差，然后根据等差数列的求和公式求解.解：设题中的等差数列为an，前n项为的Sn，由题意可知：a110，d(6)(10)4，Sn54由等差数列前n项求和公式可得： 10n454解之得：n19，n23(舍去)答案：等差数列10，6，2，2，前9项的和是54.例题讲解例1在等差数列an中，（1）已知a2a5a12a1536，求S16（2）已知a620，求S11.分析：（1）由于本题只给了一个等式，不能直接利用条件求出a1，a16，d，但由等差数列的性质，可以直接利用条件求出a1a16的和，于是问题得以解决.（2）要求S11只需知道a1a11即可，而a1与a11的等差中项恰好是a6，从而问题获解.解：（1）a2a15a5a12a1a1618S16818144.（2）a1a112a6S1111a61120220.例2有一项数为2n1的等差数列，求它的奇数项之和与偶数项之和的比.分析一：利用Snna1d解题.解法一：设该数列的首项为a1，公差为d，奇数项为a1，a12d，其和为S1，共n1项；偶数项为a1d，a13d，a15d，其和为S2，共n项.分析二：利用Sn解题. 解法二：由解法一知：S1，S2a1a2n+1a2a2n 例3若两个等差数列的前n项和之比是（7n1）(4n27)，试求它们的第11项之比.分析一：利用性质mnpqamanapaq解题.解法一：设数列an的前n项和为Sn，数列bn的前n项和为Tn.则：a11，b11,.课堂练习课本P45练习1，2.课后作业课本P46习题 2课时小结：通过本节学习，要熟练掌握等差数列前n项和公式:Snna1d及其获取思路. 等差数列的前n项和 讲授新课 例2、 课时小结：Snna1d（倒序相加法） 例