中考数学 第七单元 三角形 第24课时 直角三角形和勾股定理复习课件.ppt

第24课时直角三角形和勾股定理 1 2015 淮安 下列四组线段中 能组成直角三角形的是 a a 1 b 2 c 3b a 2 b 3 c 4c a 2 b 4 c 5d a 3 b 4 c 52 在rt abc中 c 90 b 30 斜边ab的长为2cm 则ac长为 小题热身 d c 3 2014 昆明 如图24 1 在rt abc中 acb 90 ab 10cm 点d为ab的中点 则cd cm 5 图24 1 4 2015 永康模拟 如图24 2为一圆柱体工艺品 其底面周长为60cm 高为25cm 从点a出发绕该工艺品侧面一周镶嵌一根装饰线到点b 则该装饰线最短长为 cm 图24 2 65 一 必知3知识点1 直角三角形定义 有一个角是直角的三角形是直角三角形 直角三角形性质 1 直角三角形的两个锐角 2 直角三角形的斜边上的中线等于斜边的 3 在直角三角形中 30 的角所对的边等于斜边的 直角三角形判定 有两个角互余的三角形是 三角形 考点管理 互余 一半 一半 直角 2 勾股定理勾股定理 如果直角三角形的两直角边分别为a b 斜边为c 那么a2 b2 c2 智慧锦囊 勾股定理的作用 1 已知直角三角形的两条边 求第三边 2 已知直角三角形的一边 确定另外两边的关系 3 证明带有平方关系的问题 4 把实际问题转化为直角三角形中应用勾股定理的问题 3 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长分别为a b c 满足a2 b2 c2 那么这个三角形是 三角形 勾股数 能构成直角三角形的三条边长的三个正整数 称为勾股数 直角 智慧锦囊 勾股定理逆定理的应用 1 判断三角形的形状 2 证明两条线段垂直 3 实际应用 二 必会2方法1 面积法用面积法证明是常用的技巧之一 勾股定理的证明通常用面积法 即利用某个图形的多种面积求法或面积之间的和差关系列出等式 从而得到证明的结论 2 数形结合思想在一些实际问题中 如解决立体图形侧面两点的距离问题 折叠问题 航海问题 梯子下滑问题等 常直接或间接运用勾股定理及其逆定理 在解决这些问题时 充分体现了数形结合思想 是中考的热点考题 三 必明3易错点1 在利用勾股定理时 确定所给的边是直角边还是斜边 如果题中未说明 需要分类讨论 2 在已知三角形三边的前提下 判断这个三角形是否为直角三角形 首先要确定三条边中的最大边 再根据勾股定理的逆定理来判定 解题时 往往受思维定式的影响 误认为如果是直角三角形 则c是斜边 从而造成误解 3 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 这个性质定理常用于证明一条线段是另一条线段的一半的数量关系 注意直角三角形这一前提条件 类型之一直角三角形的性质的运用 2015 黄冈 如图24 3 在 abc中 c 90 b 30 边ab的垂直平分线de交ab于点e 交bc于点d cd 3 则bc的长为 图24 3 c 解析 线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等 ad bd 可得 dae 30 易得 adc 60 cad 30 则ad为 bac的角平分线 由角平分线的性质得de cd 3 再根据直角三角形30 角所对的直角边等于斜边的一半可得bd 2de 6 所以bc 9 2015 湖北 如图24 4 在 abc中 b 30 bc的垂直平分线交ab于点e 垂足为d ce平分 acb 若be 2 则ae的长为 解析 在 abc中 b 30 bc的垂直平分线交ab于e be 2 be ce 2 b dce 30 ce平分 acb 图24 4 b ace dce 30 acb 2 dce 60 a 180 b acb 90 在rt cae中 类型之二勾股定理的应用 2015 常州 如图24 5是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系 公园的入口位于坐标原点o 古塔位于点a 400 300 从古塔出发沿射线oa方向前行300m是盆景园b 从盆景园b向左转90 后直行400m到达梅花阁c 则点c的坐标是 400 800 图24 5 解析 根据题意结合全等三角形的判定与性质得出 aod acb sas 进而得出c a d也在一条直线上 求出cd的长即可得出c点坐标 如答图 连结ac 由题意可得ab 300m bc 400m 在 aod和 acb中 例2答图 aod acb sas cab oad b o在一条直线上 c a d也在一条直线上 ac ao 500m 则cd ac ad 800m c点坐标为 400 800 2014 东营 如图24 6 有两棵树 一棵高12m 另一棵高6m 两树相距8m 一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢 问小鸟至少飞行 m 解析 根据 两点之间线段最短 可知 小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行 飞行的路程最短 运用勾股定理可将两点之间的距离求出 如答图 大树高为ab 12m 小树高为cd 6m 过c点作ce ab于e 则四边形ebdc是矩形 连结ac 10 图24 6 eb 6m ec 8m ae ab eb 6 m 故小鸟至少飞行10m 变式跟进答图 类型之三勾股定理与拼图 2015 株洲 如图24 7是 赵爽弦图 abh bcg cdf和 dae是四个全等的直角三角形 四边形abcd和efgh都是正方形 如果ab 10 ef 2 那么ah等于 解析 设de为a 由四个直角三角形全等可得df de 2 ae ad2 ae2 de2 a2 a 2 2 100 a 6 a 8 舍去 ah 6 图24 7 6 1 如图24 8是一株美丽的勾股树 其中所有的四边形都是正方形 所有的三角形都是直角三角形 若正方形a b c d的面积分别为2 5 1 2 则最大的正方形e的面积是 解析 根据勾股定理的几何意义 可得a b的面积和为s1 c d的面积和为s2 s1 s2 s3 即s3 2 5 1 2 10 图24 8 10 2 如图24 9 四边形abcd efgh nhmc都是正方形 边长分别为a b c a b n e f五点在同一条直线上 则c 用含有a b的代数式表示 图24 9 3 2015 烟台 如图24 10 正方形abcd的边长为2 其面积标记为s1 以cd为斜边作等腰直角三角形 以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形 其面积标记为s2 按照此规律继续下去 则s2015的值为 图24 10 c 解析 根据题意 第一个正方形的边长为2 点悟 勾股定理既反映了直角三角形三边关系 同时也反映了以直角三角形三边为正方形的面积关系 是勾股定理另一种表现形式 类型之四平面展开最短线段问题 2015 资阳 如图24 11 透明的圆柱形容器 容器厚度忽略不计 的高为12cm 底面周长为10cm 在容器内壁离容器底部3cm的点b处有一饭粒 此时一只蚂蚁正好在容器外壁 且离容器上沿3cm的点a处 则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是 a 图24 11 解析 如答图 将容器侧面展开 建立a关于ef的对称点a 根据两点之间线段最短可知a b的长度即最短路径 如答图 高为12cm 底面周长为10cm 在容器内壁离容器底部3cm的点b处有一饭粒 此时蚂蚁正好在容器外壁 离容器上沿3cm与饭粒相对的点a处 a d 5cm bd 12 3 ae 12cm 将容器侧面展开 作a关于ef的对称点a 连结a b 则a b即为最短距离 例4答图 1 2015 杭州模拟 如图24 12是一块长 宽 高分别是6cm 4cm和3cm的长方体木块 一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点a处 沿着长方体的表面到长方体上和a点相对的顶点b处吃食物 那么它需要爬行的最短路径的长是 图24 12 c 解析 如答图 ab就是蚂蚁爬的最短路线 但有三种情况 当ad 3 db 4 6 10 变式跟进1答图 2 2014 潍坊 我国古代有这样一道数学问题 枯木一根直立地上 高二丈 周三尺 有葛藤自根缠绕而上 五周而达其顶 问葛藤之长几何 题意是 如图24 13所示 把枯木看作一个圆柱体 因一丈是十尺 则该圆柱的高为20尺 底面周长为3尺 有葛藤自点a处缠绕而上 绕五周后其末端恰好到达点b处 则问题中葛藤的最短长度是 尺 25 图24 13 解析 如答图 一条直角边 即枯木的高 长20尺 另一条直角边长5 3 15 尺 故答案为25 点悟 在求几何体表面上两点之间的最短距离时 可以通过把立体图形展开成平面图形 利用勾股定理求出几何体表面上两点之间的距离 变式跟进2答图 类型之五勾股定理中的逆定理如图24 14 点e是正方形abcd内的一点 连结ae be ce 将 abe绕点b顺时针旋转90 到 cbe 的位置 若ae 1 be 2 ce 3 则 be c 解析 首先根据旋转的性质得出 ebe 90 be be 2 ae e c 1 进而根据勾股定理的逆定理求出 ee c是直角三角形 进而得出答案 135 图24 14 如答图 连结ee 将 abe绕点b顺时针旋转90 到 cbe 的位置 ae 1 be 2 ce 3 ebe 90 be be 2 ae e c 1 e e2 e c2 8 1 9 ec2 9 e e2 e c2 ec2 ee c是直角三角形 ee c 90 be c 135 例5答图 如图24 15 已知ab 4 bc 3 ad 12 dc 13 b 90 则四边形abcd的面积为 解析 连结ac b 90 ac2 ab2 bc2 16 9 25 ad2 144 dc2 169 ac