江苏省普通高等学校2017届高三数学招生考试模拟测试附加题六.docx

江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(六)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分若多做，则按作答的前两题计分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤A. (选修4-1：几何证明选讲)在直径是AB的半圆上有两点M，N，设AN与BM的交点是P.求证：APANBPBMAB2.B. (选修4-2：矩阵与变换)求矩阵的特征值及对应的特征向量C. (选修4-4：坐标系与参数方程)已知直线l的极坐标方程为sin3，曲线C的参数方程为(为参数)，设P点是曲线C上的任意一点，求P到直线l的距离的最大值D. (选修4-5：不等式选讲)设x，y均为正数，且xy，求证：xy3.【必做题】 第22、23题，每小题10分，共20分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤22. 如图，在棱长为3的正方体ABCDA1B1C1D1中，A1ECF1.(1) 求两条异面直线AC1与BE所成角的余弦值；(2) 求直线BB1与平面BED1F所成角的正弦值23. 证明：对一切正整数n，5n23n11能被8整除(六)21. A. 证明：作PEAB于E， AB为直径， ANBAMB90，(2分) P，E，B，N四点共圆，P，E，A，M四点共圆(6分)(8分)得AB(AEBE)APANBPBM，(9分)即APANBPBMAB2.(10分)B. 解：特征多项式f()(3)21268，(3分)由f()0，解得12，24.(6分)将12代入特征方程组，得xy0，可取为属于特征值12的一个特征向量(8分)同理，当24时，由xy0，所以可取为属于特征值24的一个特征向量综上所述，矩阵有两个特征值12，24；属于12的一个特征向量为，属于24的一个特征向量为.(10分)C. 解：由sin3，可得3， yx6，即xy60.(3分)由得x2y24，圆的半径为r2，(6分) 圆心到直线l的距离d3.(8分) P到直线l的距离的最大值为dr5.(10分)D. 证明：xy(xy)(3分)，(5分) xy，xy0， 33，当且仅当时取等号，此时xy2.(10分)22. 解：(1) 以D为原点，建立空间直角坐标系Dxyz，如图所示，则A(3，0，0)，C1(0，3，3)，(3，3，3)，B(3，3，0)，E(3，0，2)，(0，3，2)所以cos，故两条异面直线AC1与BE所成角的余弦值为.(5分)(2) B(3，3，0)，(0，3，2)，(3，0，1)设平面BED1F的一个法向量为n(x，y，z)，由得所以则n(x，2x，3x)，不妨取n(1，2，3)，设直线BB1与平面BED1F所成角为，则sin|cos，n|.(9分)所以直线BB1与平面BED1F所成角的正弦值为.(10分)23. 证明： 当n1时，能被8整除；(2分) 假设当nk(k2，kN*)，结论成立，(4分)则5k23k11能被8整除设5k23k118m，mN*，当nk1时，5k123k15(5k23k11)43k145(5k23k11)4(3k11)，(7分)而当k2，kN*时3k11显然为偶数，设为2t，tN*，故5k123k15(5k23