高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件课件 文.ppt

第一章集合与常用逻辑用语 1 2命题及其关系 充分条件与必要条件 内容索引 基础知识自主学习 题型分类深度剖析 思想方法感悟提高 练出高分 思想与方法系列 基础知识自主学习 1 四种命题及相互关系 若q 则p 若 q 则 p 若 p 则 q 知识梳理 1 答案 2 四种命题的真假关系 1 两个命题互为逆否命题 它们有的真假性 2 两个命题互为逆命题或互为否命题 它们的真假性没有关系 相同 答案 充分 必要 充分不必要 充要 必要不充分 答案 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 x2 2x 3 0 是命题 2 命题 则tan 1 的否命题是 若 则tan 1 3 若一个命题是真命题 则其逆否命题是真命题 4 当q是p的必要条件时 p是q的充分条件 5 当p是q的充要条件时 也可说成q成立当且仅当p成立 6 若p是q的充分不必要条件 则 p是 q的必要不充分条件 答案 思考辨析 1 2015 山东改编 若m r 命题 若m 0 则方程x2 x m 0有实根 的逆否命题是 解析原命题为 若p 则q 则其逆否命题为 若 q 则 p 所求命题为 若方程x2 x m 0没有实根 则m 0 若方程x2 x m 0没有实根 则m 0 考点自测 2 解析答案 1 2 3 4 5 2 已知命题p 若x 1 则向量a 1 x 与b x 2 x 共线 则在命题p的原命题 逆命题 否命题 逆否命题中 真命题的个数为 解析向量a b共线 x x x 2 0 x 0或x 1 命题p为真 其逆命题为假 故在命题p的原命题 逆命题 否命题 逆否命题中 真命题的个数为2 2 解析答案 1 2 3 4 5 3 记不等式x2 x 6 0的解集为集合a 函数y lg x a 的定义域为集合b 若 x a 是 x b 的充分条件 则实数a的取值范围为 解析不等式x2 x 6 0的解集为a 3 2 函数y lg x a 的定义域为b a 由 x a 是 x b 的充分条件 得实数a的取值范围为 3 3 解析答案 1 2 3 4 5 解析当 1 a 0 1 b 0时 既不充分也不必要 解析答案 1 2 3 4 5 5 教材改编 下列命题 x 2是x2 4x 4 0的必要不充分条件 圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的充分必要条件 sin sin 是 的充要条件 ab 0是a 0的充分不必要条件 其中为真命题的是 填序号 答案 1 2 3 4 5 返回 题型分类深度剖析 例1 1 命题 若x y都是偶数 则x y也是偶数 的逆否命题是 解析由于 x y都是偶数 的否定表达是 x y不都是偶数 x y是偶数 的否定表达是 x y不是偶数 故原命题的逆否命题为 若x y不是偶数 则x y不都是偶数 题型一命题及其关系 若x y不是偶数 则x与y不都是偶数 解析答案 2 原命题为 若z1 z2互为共轭复数 则 z1 z2 关于其逆命题 否命题 逆否命题真假性的判断依次如下 正确的是 填序号 真 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 假解析先证原命题为真 当z1 z2互为共轭复数时 设z1 a bi a b r 则z2 a bi 则 z1 z2 原命题为真 故其逆否命题为真 再证其逆命题为假 取z1 1 z2 i 满足 z1 z2 但是z1 z2不互为共轭复数 其逆命题为假 故其否命题也为假 解析答案 思维升华 思维升华 1 写一个命题的其他三种命题时 需注意 对于不是 若p 则q 形式的命题 需先改写 若命题有大前提 写其他三种命题时需保留大前提 2 判断一个命题为真命题 要给出推理证明 判断一个命题是假命题 只需举出反例 3 根据 原命题与逆否命题同真同假 逆命题与否命题同真同假 这一性质 当一个命题直接判断不易进行时 可转化为判断其等价命题的真假 跟踪训练1 解析答案 2 命题 若a2 b2 0 则a 0且b 0 的逆否命题是 解析 若a2 b2 0 则a 0且b 0 的逆否命题是 若a 0或b 0 则a2 b2 0 若a 0或b 0 则a2 b2 0 解析答案 题型二充分必要条件的判定 例2 1 2015 四川 设a b都是不等于1的正数 则 3a 3b 3 是 loga3 logb3 的 条件 解析根据指数函数的单调性得出a b的大小关系 然后进行判断 3a 3b 3 a b 1 此时loga33b 3 故 3a 3b 3 是 loga3 logb3 的充分不必要条件 充分不必要 解析答案 解析若a 0 b 0 则ab 0 不一定有a 0 b 0 充分不必要 解析答案 思维升华 思维升华 充要条件的三种判断方法 1 定义法 根据p q q p进行判断 2 集合法 根据p q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断 3 等价转化法 根据一个命题与其逆否命题的等价性 把判断的命题转化为其逆否命题进行判断 这个方法特别适合以否定形式给出的问题 如 xy 1 是 x 1或y 1 的某种条件 即可转化为判断 x 1且y 1 是 xy 1 的某种条件 1 2015 陕西 sin cos 是 cos2 0 的 条件 解析 sin cos cos2 cos2 sin2 0 cos2 0 cos sin sin cos 充分不必要 跟踪训练2 解析答案 所以p是q的充分条件 若函数f x sin x 0 是偶函数 则sin 1 所以p是q的必要条件 故p是q的充要条件 充要 解析答案 题型三充分必要条件的应用 例3已知p x x2 8x 20 0 非空集合s x 1 m x 1 m 若x p是x s的必要条件 求m的取值范围 解由x2 8x 20 0 得 2 x 10 p x 2 x 10 由x p是x s的必要条件 知s p 当0 m 3时 x p是x s的必要条件 即所求m的取值范围是 0 3 解析答案 1 本例条件不变 问是否存在实数m 使x p是x s的充要条件 解若x p是x s的充要条件 则p s 即不存在实数m 使x p是x s的充要条件 解析答案 引申探究 2 本例条件不变 若x p是x s的必要不充分条件 求实数m的取值范围 解由例题知p x 2 x 10 p是 s的必要不充分条件 2 10 1 m 1 m m 9 即m的取值范围是 9 解析答案 思维升华 思维升华 充分条件 必要条件的应用 一般表现在参数问题的求解上 解题时需注意 1 把充分条件 必要条件或充要条件转化为集合之间的关系 然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式 或不等式组 求解 2 要注意区间端点值的检验 1 方程ax2 2x 1 0至少有一个负实根的充要条件是 跟踪训练3 解析答案 解析当a 0时 原方程为一元一次方程2x 1 0 有一个负实根 当a 0时 原方程为一元二次方程 有实根的充要条件是 4 4a 0 即a 1 设此时方程的两根分别为x1 x2 解析答案 综上所述 a 1 答案a 1 2 已知条件p 2x2 3x 1 0 条件q x2 2a 1 x a a 1 0 若 p是 q的必要不充分条件 则实数a的取值范围是 p对应的集合a x x 1或xa 1或x a p是 q的必要不充分条件 解析答案 返回 思想与方法系列 典例 1 已知p a 1 2 1 q x r ax2 ax 1 0 则p是q成立的 条件 解析由 a 1 2 1解得0 a 2 p 0 a 2 当a 0时 ax2 ax 1 0对 x r恒成立 q 0 a 4 p是q成立的充分不必要条件 充分不必要 思想与方法系列 1 等价转化思想在充要条件中的应用 解析答案 2 已知条件p x2 2x 3 0 条件q x a 且 q的一个充分不必要条件是 p 则a的取值范围是 解析由x2 2x 3 0 得x1 由 q的一个充分不必要条件是 p 可知 p是 q的充分不必要条件 等价于q是p的充分不必要条件 x x a x x1 a 1 1 解析答案 返回 温馨提醒 温馨提醒 返回 1 本题用到的等价转化 将 p q之间的关系转化成p q之间的关系 将条件之间的关系转化成集合之间的关系 2 对一些复杂 生疏的问题 利用等价转化思想转化成简单 熟悉的问题 经常被用到 思想方法感悟提高 1 写出一个命题的逆命题 否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论 然后按定义来写 在判断原命题 逆命题 否命题以及逆否命题的真假时 要借助原命题与其逆否命题同真或同假 逆命题与否命题同真或同假来判定 2 充要条件的几种判断方法 1 定义法 直接判断若p则q 若q则p的真假 2 等价法 即利用a b与 b a b a与 a b a b与 b a的等价关系 对于条件或结论是否定形式的命题 一般运用等价法 3 利用集合间的包含关系判断 设a x p x b x q x 若a b 则p是q的充分条件或q是p的必要条件 若a b 则p是q的充分不必要条件 若a b 则p是q的充要条件 方法与技巧 1 当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时 必须保留大前提 2 判断命题的真假及写四种命题时 一定要明确命题的结构 可以先把命题改写成 若p 则q 的形式 3 判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向 正确理解 p的一个充分不必要条件是q 等语言 失误与防范 返回 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 命题 若一个数是负数 则它的平方是正数 的逆命题是 解析依题意 得原命题的逆命题 若一个数的平方是正数 则它是负数 15 16 17 18 若一个数的 平方是正数 则它是负数 解析答案 2 2015 天津改编 设x r 则 1 x 2 是 x 2 1 的 条件 解析由 x 2 1得1 x 3 所以1 x 2 1 x 3 充分不必要 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解析答案 3 给出命题 若函数y f x 是幂函数 则函数y f x 的图象不过第四象限 在它的逆命题 否命题 逆否命题3个命题中 真命题的个数是 解析原命题是真命题 故它的逆否命题是真命题 它的逆命题为 若函数y f x 的图象不过第四象限 则函数y f x 是幂函数 显然逆命题为假命题 故原命题的否命题也为假命题 因此在它的逆命题 否命题 逆否命题3个命题中真命题只有1个 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解析答案 其中等号成立的充要条件是a b 因此a b是ab xy的充要条件 充要 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解析答案 5 设四边形abcd的两条对角线为ac bd 则 四边形abcd为菱形 是 ac bd 的 条件 解析因为菱形的对角线互相垂直 所以 四边形abcd为菱形 ac bd 所以 四边形abcd为菱形 是 ac bd 的充分条件 又因为对角线垂直的四边形不一定是菱形 所以 ac bd 四边形abcd为菱形 所以 四边形abcd为菱形 不是 ac bd 的必要条件 综上 四边形abcd为菱形 是 ac bd 的充分不必要条件 充分不必要 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解析答案 令f x 2x sin2x f x 2 2cos2x 0 必要不充分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解析答案 7 a 5且b 5 是 a b 0 的 条件 解析 a 5且b 5 推不出 a b 0 例如a 2 b 2时 a b 0 a b 0 推不出 a 5且b 5 例如a 5 b 6 故 a 5且b 5 是 a b 0 的既不充分也不必要条件 既不充分也不必要 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解析答案 解析因为函数f x 过点 1 0 所以函数f x 有且只有一个零点 函数y 2x a x 0 没有零点 函数y 2x x 0 与直线y a无公共点 由数形结合 可得a 0或a 1 a 0或a 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解析答案 9 若a b 则ac2 bc2 则命题的原命题 逆命题 否命题和逆否命题中真命题的个数是 解析其中原命题和逆否命题为真命题 逆命题和否命题为假命题 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解析答案 10 若xm 1是x2 2x 3 0的必要不充分条件 则实数m的取值范围是 解析由已知易得 x x2 2x 3 0 x xm 1 又 x x2 2x 3 0 x x3 0 2 0 m 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解析答案 11 给定两个命题p q 若 p是q的必要而不充分条件 则p是 q的 条件 解析若 p是q的必要不充分条件 则q p但 pq 其逆否命题为p q但 qp 所以p是 q的充分不必要条件 充分不必要 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解析答案 12 下列命题 若ac2 bc2 则a b 若sin sin 则 实数a 0 是 直线x 2ay 1和直线2x 2ay 1平行 的充要条件 若f x log2x 则f x 是偶函数 其中正确命题的序号是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解析答案 解析对于 ac2 bc2 c2 0 a b正确 对于 sin30 sin150 30 150 所以 错误 对于 l1 l2 a1b2 a2b1 即 2a 4a a 0且a1c2 a2c1 所以 正确 显然正确 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 13 给出下列三个命题 a b 是 3a 3b 的充分不必要条件 是 cos b 是 3a 3b 的充要条件 错误 是 cos cos 的既不充分也不必要条件 错误 a 0 是 函数f x x3 ax2 x r 为奇函数 的充要条件 正确 故正确命题的序号为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解析答案 解析若p成立 设a1 a2 an的公比为q a1a2 a2a3 an 1an 2 a1a2 2 1 q2 q2n 4 2 故q成立 故p是q的充分条件 取a1 a2 an 0 则q成立 而p不成立 故p不是q的必要条件 即p是q的充分不必要条件 答案充分不必要 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 15 如果对于任意实数x x 表示不超过x的最大整数 那么 x y 是 x y 1成立 的 条件 解析若 x y 则 x y 1 反之 若 x y 1 如取x 1 1 y 0 9 则 x y 即 x y 是 x y 1成立 的充分不必要条件 充分不必要 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13