高考数学一轮复习 第九章 导数及其应用 9.2 导数的应用 课时3 导数与函数的综合问题课件.ppt

9 2导数的应用 第九章导数及其应用 内容索引 练出高分 审题路线图系列 思想方法感悟提高 课时3导数与函数的综合问题 题型一用导数解决与不等式有关的问题 题型二利用导数解决函数零点问题 题型三导数与数列的综合问题 题型一用导数解决与不等式有关的问题 命题点1解不等式例1设f x 是定义在r上的奇函数 且f 2 0 当x 0时 有0的解集是 a 2 0 2 b 2 0 0 2 c 2 2 d 2 0 2 用导数解决与不等式有关的问题 题型一 解析答案 又 2 0 当且仅当00 此时x2f x 0 又f x 为奇函数 h x x2f x 也为奇函数 故x2f x 0的解集为 2 0 2 答案d 命题点2证明不等式 解析答案 又f 0 0 f 1 0 所以当x 0 1 时 f x 0 记h x sinx x 则当x 0 1 时 h x cosx 1 0 则h x h 0 0 即sinx x 所以h x 在 0 1 上是减函数 命题点3不等式恒成立问题 令g x xlnx x3 则h x g x 1 lnx 3x2 又x 0 a xlnx x3 当x 1 时 h x 0 h x 在 1 上是减函数 h x h 1 2 0 即g x 0 g x 在 1 上也是减函数 g x g 1 1 当a 1时 f x x2在 1 上恒成立 解析答案 思维升华 1 利用导数解不等式 一般可构造函数 利用已知条件确定函数单调性解不等式 2 证明不等式f x g x 可构造函数f x f x g x 利用导数求f x 的值域 得到f x 0即可 3 利用导数研究不等式恒成立问题 首先要构造函数 利用导数研究函数的单调性 求出最值 进而得出相应的含参不等式 从而求出参数的取值范围 也可分离变量 构造函数 直接把问题转化为函数的最值问题 思维升华 设a r 已知函数f x ax3 3x2 1 当a 1时 求函数f x 的单调区间 解当a 1时 f x x3 3x2 则f x 3x2 6x 由f x 0 得x2 由f x 0 得0 x 2 所以f x 的单调递增区间为 0 2 单调递减区间为 0 2 跟踪训练1 解析答案 2 若对任意的x 1 3 有f x f x 0恒成立 求实数a的取值范围 解依题意 对任意x 1 3 ax3 3x2 3ax2 6x 0恒成立 所以h x 在区间 1 3 上是减函数 解析答案 返回 题型二利用导数解决函数零点问题 例4 2014 课标全国 已知函数f x x3 3x2 ax 2 曲线y f x 在点 0 2 处的切线与x轴交点的横坐标为 2 1 求a 解f x 3x2 6x a f 0 a 曲线y f x 在点 0 2 处的切线方程为y ax 2 利用导数解决函数零点问题 题型二 解析答案 2 证明 当k0 g x 单调递增 g 1 k 10时 令h x x3 3x2 4 由题设知1 k 0 所以g x 0在 0 有唯一实根 则g x h x 1 k x h x h x 3x2 6x 3x x 2 h x 在 0 2 单调递减 在 2 单调递增 所以g x h x h 2 0 综上 g x 0在r有唯一实根 所以g x 0在 0 没有实根 即曲线y f x 与直线y kx 2只有一个交点 解析答案 思维升华 研究方程根的情况 可以通过导数研究函数的单调性 最大值 最小值 变化趋势等 根据题目要求 画出函数图象的走势规律 标明函数极 最 值的位置 通过数形结合的思想去分析问题 可以使问题的求解有一个清晰 直观的整体展现 思维升华 已知函数f x x2 xsinx cosx的图象与直线y b有两个不同交点 求b的取值范围 解f x x 2 cosx 令f x 0 得x 0 当x 0时 f x 0 f x 在 0 上递增 当x1时 曲线y f x 与直线y b有且仅有两个不同交点 综上可知 b的取值范围是 1 跟踪训练2 解析答案 返回 题型三导数与数列的综合问题 例5设fn x x x2 xn 1 x 0 n n n 2 1 求fn 2 导数与数列的综合问题 题型三 解析答案 解方法一由题设fn x 1 2x nxn 1 所以fn 2 1 2 2 n 1 2n 2 n 2n 1 则2fn 2 2 2 22 n 1 2n 1 n 2n 所以fn 2 n 1 2n 1 解析答案 思维升华 证明因为fn 0 1 0 又f n x 1 2x nxn 1 0 思维升华 对于和数列有关的函数与导数问题 在解决的过程中一般要构造合适的函数 利用函数的单调性并结合数列的有关知识解决 解题中往往要用到不等式的放缩 思维升华 已知函数f x x a lnx a 0 1 若a 1 求f x 的单调区间及f x 的最小值 解a 1 f x x 1 lnx 当x 1时 f x x 1 lnx f x 在区间 1 上是递增的 当0 x 1时 f x 1 x lnx f x 在区间 0 1 上是递减的 故a 1时 f x 的增区间为 1 减区间为 0 1 f x min f 1 0 跟踪训练3 解析答案 解由 1 可知 当a 1 x 1时 有x 1 lnx 0 解析答案 返回 审题路线图系列 1 如果存在x1 x2 0 2 使得g x1 g x2 m成立 求满足上述条件的最大整数m 审题路线图系列 一审条件挖隐含 解析答案 返回 审题路线图 温馨提醒 1 存在x1 x2 0 2 使得g x1 g x2 m 正确理解 存在 的含义 g x1 g x2 max m 挖掘 g x1 g x2 max的隐含实质g x max g x min m 求得m的最大整数值 审题路线图 解析答案 审题路线图 温馨提醒 2 对任意s t 2 都有f s g t 理解 任意 的含义 f x min g x max 求得g x max 1 xlnx 1恒成立 分离参数aa x x2lnx恒成立 求h x x x2lnx的最大值a h x max h 1 1 a 1 解析答案 温馨提醒 解存在x1 x2 0 2 使得g x1 g x2 m成立 等价于 g x1 g x2 max m 1分 g x max g 2 1 5分 规范解答 则满足条件的最大整数m 4 7分 解析答案 温馨提醒 函数f x min g x max 8分 设h x x x2lnx h x 1 2xlnx x 解析答案 温馨提醒 所以当1 x 2时 h x 0 在区间 1 2 上单调递减 所以h x max h 1 1 所以a 1 即实数a的取值范围是 1 15分 温馨提醒 1 恒成立 存在性 问题一定要正确理解问题实质 深刻挖掘条件内含 进行等价转化 2 构造函数是求范围问题中的一种常用方法 解题过程中尽量采用分离参数的方法 转化为求函数的值域问题 温馨提醒 返回 思想方法感悟提高 1 用导数方法证明不等式f x g x 时 找到函数h x f x g x 的零点是解题的突破口 2 在讨论方程的根的个数 研究函数图象与x轴 或某直线 的交点个数 不等式恒成立等问题时 常常需要求出其中参数的取值范围 这类问题的实质就是函数的单调性与函数的极 最 值的应用 3 在实际问题中 如果函数在区间内只有一个极值点 那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可 不必再与端点的函数值比较 方法与技巧 1 利用导数解决恒成立问题时 若分离参数后得到 a f x 恒成立 要根据f x 的值确定a的范围中端点能否取到 2 利用导数解决实际生活中的优化问题 要注意问题的实际意义 失误与防范 返回 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 a 0 b 1 c 2 1 d 2 0 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由 1 得x x 2 ax在区间 0 上恒成立 由 2 得ln x 1 ax 0在区间 0 上恒成立 设h x ln x 1 ax x 0 当x 0时 a r 当x 0时 有x 2 a恒成立 所以a 2 故a 2 可知h x 为减函数 所以h x h 0 0恒成立 当a 0时 h x 0 故h x 为增函数 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以h x h 0 0恒成立 显然不符合题意 当0 a 1时 对于给定的一个确定值a 总可以至少找到一个x0 0 满足h x0 ln x0 1 ax0 0成立 可知0 a 1时 不符合题意 故a 0 由 可知a的取值范围是 2 0 答案d 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析构造函数h x xf x 当x 0时 h x f x x f x 0 则h x f x x f x y f x 是定义在r上的奇函数 h x 是定义在r上的偶函数 此时函数h x 单调递增 答案c 3 已知f x 是定义域为r的奇函数 f 4 1 f x 的导函数f x 的图象如图所示 若两正数a b满足f a 2b 1 则的取值范围是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析 f x 是定义域为r的奇函数 f 4 1 f 4 f 4 f 4 1 f a 2b f 4 又由f x 0 得f x 为增函数 a 2b 4 而a b为正数 a 2b 4所表示的区域为如图所示的直角三角形aob 不包括边界 其中p 2 2 m b a 在直角三角形aob的内部 不包括边界 答案b 4 若函数f x 2x3 9x2 12x a恰好有两个不同的零点 则a可能的值为 a 4b 6c 7d 8解析由题意得f x 6x2 18x 12 6 x 1 x 2 由f x 0得x2 由f x 0得1 x 2 所以函数f x 在 1 2 上单调递增 在 1 2 上单调递减 从而可知f x 的极大值和极小值分别为f 1 f 2 若欲使函数f x 恰好有两个不同的零点 则需使f 1 0或f 2 0 解得a 5或a 4 而选项中只给出了4 所以选a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 a 解析答案 5 设函数ht x 3tx 2 若有且仅有一个正实数x0 使得h7 x0 ht x0 对任意的正数t都成立 则x0等于 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析 h7 x0 ht x0 对任意的正数t都成立 h7 x0 ht x0 max 记g t ht x0 3tx0 2 则g t 3x0 3 令g t 0 d 解析答案 6 已知二次函数f x ax2 bx c的导函数为f x f x 0 对于任意实数x 有f x 0 则的最小值为 解析 f x 2ax b f 0 b 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 当且仅当a c时 成立 2 解析答案 7 设函数f x 是定义在 0 上的可导函数 其导函数为f x 且有2f x xf x x2 则不等式 x 2014 2f x 2014 4f 2 0的解集为 解析由2f x xf x x2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 x 0得2xf x x2f x x3 所以 x2f x x3 0 令f x x2f x x 0 则f x 0 x 0 即f x 在 0 上是减函数 因为f x 2014 x 2014 2f x 2014 f 2 4f 2 所以不等式 x 2014 2f x 2014 4f 2 0 即为f x 2014 f 2 0 即f x 2014 f 2 又因为f x 在 0 上是减函数 2016 所以x 2014 2 所以x 2016 解析答案 8 若对于任意实数x 0 函数f x ex ax恒大于零 则实数a的取值范围是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析 当x 0时 f x ex ax 0恒成立 若x 0 a为任意实数 f x ex ax 0恒成立 若x 0 f x ex ax 0恒成立 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 当x 0 1 时 q x 0 则q x 在 0 1 上单调递增 当x 1 时 q x 0恒成立 a的取值范围为 e 答案 e 9 设a为实数 函数f x ex 2x 2a x r 1 求f x 的单调区间与极值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解由f x ex 2x 2a x r 知f x ex 2 x r 令f x 0 得x ln2 于是当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 故f x 的单调递减区间是 ln2 f x 在x ln2处取得极小值 单调递增区间是 ln2 极小值为f ln2 eln2 2ln2 2a 2 2ln2 2a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 求证 当a ln2 1且x 0时 ex x2 2ax 1 证明设g x ex x2 2ax 1 x r 由 1 知当a ln2 1时 于是g x ex 2x 2a x r g x 取最小值为g ln2 2 1 ln2 a 0 于是对任意x r 都有g x 0 所以g x 在r内单调递增 于是当a ln2 1时 对任意x 0 都有g x g 0 而g 0 0 从而对任意x 0 都有g x 0 即ex x2 2ax 1 0 故当a ln2 1且x 0时 ex x2 2ax 1 解析答案 10 已知函数f x ax2 2x lnx 1 若f x 无极值点 但其导函数f x 有零点 求a的值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 f x 有零点而f x 无极值点 表明该零点左右f x 同号 故a 0 且方程2ax2 2x 1 0有两个相等的实根 解由题意可知 x 0 2 由题意 2ax2 2x 1 0有两不同的正根 故 0 a 0 因为在区间 0 x1 x2 上 f x 0 而在区间 x1 x2 上 f x 0 故x2是f x 的极小值点 设2ax2 2x 1 0的两根为x1 x2 不妨设0 x1 x2 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 又f x 在区间 x1 x2 上是减函数 利用导数容易证明当t 1时 g t 单调递减 而g 1 0 11 设函数f x ax2 bx c a b c r 若x 1为函数g x f x ex的一个极值点 则下列图象不可能为y f x 的图象的是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析设h x f x ex 则h x 2ax b ex ax2 bx c ex ax2 2ax bx b c ex 由x 1为函数f x ex的一个极值点 c a 0 c a f x ax2 bx a 若方程ax2 bx a 0有两根x1 x2 则x1x2 1 d中图象一定不满足条件 答案d 12 已知函数f x ax3 3x 1对x 0 1 总有f x 0成立 则实数a的取值范围是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1