高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 8.7 抛物线课件.ppt

第八章平面解析几何 8 7抛物线 内容索引 基础知识自主学习 题型分类深度剖析 答题模板系列 思想方法感悟提高 练出高分 基础知识自主学习 1 抛物线的概念平面内与一个定点f和一条定直线l l不经过点f 距离的点的轨迹叫做抛物线 点f叫做抛物线的 直线l叫做抛物线的 相等 焦点 准线 2 抛物线的标准方程与几何性质 知识梳理 1 答案 知识梳理 1 知识梳理 1 答案 知识梳理 1 知识拓展 答案 思考辨析 答案 1 2015 陕西 已知抛物线y2 2px p 0 的准线经过点 1 1 则该抛物线焦点坐标为 a 1 0 b 1 0 c 0 1 d 0 1 b 考点自测 2 解析答案 1 2 3 4 5 a 解析答案 1 2 3 4 5 3 已知抛物线关于x轴对称 它的顶点在坐标原点o 并且经过点m 2 y0 若点m到该抛物线焦点的距离为3 则 om 等于 b 解析答案 1 2 3 4 5 4 已知抛物线的顶点是原点 对称轴为坐标轴 并且经过点p 2 4 则该抛物线的标准方程为 解析设抛物线方程为y2 2px p 0 或x2 2py p 0 将p 2 4 代入 分别得方程为y2 8x或x2 y y2 8x或x2 y 解析答案 1 2 3 4 5 5 已知点a 2 3 在抛物线c y2 2px的准线上 过点a的直线与c在第一象限相切于点b 记c的焦点为f 则直线bf的斜率为 解析答案 1 2 3 4 5 返回 解析 a 2 3 在抛物线y2 2px的准线上 设直线ab的方程为x m y 3 2 得y2 8my 24m 16 0 解析答案 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 返回 题型分类深度剖析 例1已知抛物线y2 2x的焦点是f 点p是抛物线上的动点 又有点a 3 2 求 pa pf 的最小值 并求出取最小值时点p的坐标 解将x 3代入抛物线方程 抛物线的定义及应用 题型一 解析答案 将本例中点a的坐标改为 3 4 求 pa pf 的最小值 解当p a f共线时 pa pf 最小 解析答案 引申探究 思维升华 思维升华 与抛物线有关的最值问题 一般情况下都与抛物线的定义有关 由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性 因此此类问题也有一定的难度 看到准线想焦点 看到焦点想准线 这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径 1 设抛物线x2 12y的焦点为f 经过点p 2 1 的直线l与抛物线相交于a b两点 又知点p恰为ab的中点 则 af bf 解析分别过点a b p作准线的垂线 垂足分别为m n q 根据抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离 得 af bf am bn 2 pq 8 8 跟踪训练1 解析答案 2 设p是抛物线y2 4x上的一个动点 若b 3 2 则 pb pf 的最小值为 4 解析如图 过点b作bq垂直准线于q 交抛物线于点p1 则 p1q p1f 则有 pb pf p1b p1q bq 4 即 pb pf 的最小值为4 解析答案 命题点1求抛物线的标准方程 解析答案 抛物线的标准方程和几何性质 题型二 p 8 故c2的方程为x2 16y 答案d 命题点2抛物线的几何性质 例3过抛物线y2 4x的焦点f的直线交该抛物线于a b两点 o为坐标原点 若 af 3 则 aob的面积为 解析由题意设a x1 y1 b x2 y2 y1 0 y2 0 如图所示 af x1 1 3 解析答案 思维升华 思维升华 1 求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法 其关键是判断焦点位置 开口方向 在方程的类型已经确定的前提下 由于标准方程只有一个参数p 只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程 2 在解决与抛物线的性质有关的问题时 要注意利用几何图形的形象 直观的特点来解题 特别是涉及焦点 顶点 准线的问题更是如此 1 2015 陕西 若抛物线y2 2px p 0 的准线经过双曲线x2 y2 1的一个焦点 则p 跟踪训练2 解析答案 2 已知抛物线y2 2px p 0 的焦点为f a x1 y1 b x2 y2 是过f的直线与抛物线的两个交点 求证 代入y2 2px 则y1 y2是方程 的两个实数根 所以y1y2 p2 解析答案 解析答案 以ab为直径的圆与抛物线的准线相切 所以以ab为直径的圆与抛物线的准线相切 解析答案 命题点1直线与抛物线的交点问题 解析答案 直线与抛物线的综合问题 题型三 解析抛物线c的焦点为f 2 0 则直线方程为y k x 2 与抛物线方程联立 消去y化简得k2x2 4k2 8 x 4k2 0 设点a x1 y1 b x2 y2 y1y2 k2 x1x2 2 x1 x2 4 16 将上面各个量代入 化简得k2 4k 4 0 所以k 2 答案2 命题点2与抛物线弦的中点有关的问题 1 若 pf 3 求点m的坐标 解由题意知焦点f 0 1 准线方程为y 1 设p x0 y0 由抛物线定义知 pf y0 1 得到y0 2 解析答案 2 求 abp面积的最大值 解析答案 思维升华 解设直线ab的方程为y kx m 点a x1 y1 b x2 y2 p x0 y0 于是 16k2 16m 0 x1 x2 4k x1x2 4m 所以ab的中点m的坐标为 2k 2k2 m 解析答案 思维升华 令f m 9m2 10m 1 0 解析答案 思维升华 思维升华 1 直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆 双曲线的位置关系类似 一般要用到根与系数的关系 2 有关直线与抛物线的弦长问题 要注意直线是否过抛物线的焦点 若过抛物线的焦点 可直接使用公式 ab x1 x2 p 若不过焦点 则必须用一般弦长公式 3 涉及抛物线的弦长 中点 距离等相关问题时 一般利用根与系数的关系采用 设而不求 整体代入 等解法 提醒 涉及弦的中点 斜率时一般用 点差法 求解 思维升华 跟踪训练3 1 求p的值 解设a x1 y1 b x2 y2 y1 y2 2pm y1y2 p2 解析答案 2 当 am 4 bm 最小时 求直线l的方程 解析答案 返回 答题模板系列 典例 15分 2014 山东 已知抛物线c y2 2px p 0 的焦点为f a为c上异于原点的任意一点 过点a的直线l交c于另一点b 交x轴的正半轴于点d 且有 fa fd 当点a的横坐标为3时 adf为正三角形 1 求c的方程 2 若直线l1 l 且l1和c有且只有一个公共点e 证明直线ae过定点 并求出定点坐标 abe的面积是否存在最小值 若存在 请求出最小值 若不存在 请说明理由 答题模板系列 6 直线与圆锥曲线问题的求解策略 答题模板 解析答案 返回 温馨提醒 因为 fa fd 解得t 3 p或t 3 舍去 所以抛物线c的方程为y2 4x 4分 答题模板 解析答案 温馨提醒 规范解答 2 由 1 知f 1 0 设a x0 y0 x0y0 0 d xd 0 xd 0 因为 fa fd 则 xd 1 x0 1 由xd 0得xd x0 2 故d x0 2 0 因为直线l1和直线ab平行 答题模板 解析答案 温馨提醒 答题模板 解析答案 温馨提醒 直线ae恒过点f 1 0 当 4时 直线ae的方程为x 1 过点f 1 0 所以直线ae过定点f 1 0 9分 由 知直线ae过焦点f 1 0 所以 ae af fe 设直线ae的方程为x my 1 答题模板 解析答案 温馨提醒 所以点b到直线ae的距离为 答题模板 解析答案 温馨提醒 则 abe的面积 所以 abe的面积的最小值为16 15分 答题模板 温馨提醒 答题模板 解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤 第一步 联立方程 得关于x或y的一元二次方程 第二步 写出根与系数的关系 并求出 0时参数范围 或指出直线过曲线内一点 第三步 根据题目要求列出关于x1x2 x1 x2 或y1y2 y1 y2 的关系式 求得结果 第四步 反思回顾 查看有无忽略特殊情况 温馨提醒 温馨提醒 1 解决直线与圆锥曲线结合的问题 一般都采用设而不求的方法 联立方程 由根与系数的关系去找适合该问题的等量关系 2 在解决此类问题时常用到焦半径 弦长公式 对于距离问题 往往通过定义进行转化 3 利用 点差法 可以将曲线的二次关系转化为一次关系即直线的关系 从而求直线斜率 返回 思想方法感悟提高 方法与技巧 1 求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求出p值 但首先要判断抛物线是否为标准方程 以及是哪一种标准方程 2 注意应用抛物线的定义解决问题 3 直线与抛物线结合的问题 不要忘记验证判别式 失误与防范 返回 练出高分 1 已知抛物线y2 2px p 0 的准线与曲线x2 y2 4x 5 0相切 则p的值为 a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 2 已知抛物线y2 2px p 0 过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于a b两点 若线段ab的中点的纵坐标为2 则该抛物线的准线方程为 a x 1b x 1c x 2d x 2 b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 即y2 2py p2 0 设a x1 y1 b x2 y2 抛物线的方程为y2 4x 其准线方程为x 1 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析 若焦点弦ab x轴 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 若焦点弦ab不垂直于x轴 答案a 4 2015 浙江 如图 设抛物线y2 4x的焦点为f 不经过焦点的直线上有三个不同的点a b c 其中点a b在抛物线上 点c在y轴上 则 bcf与 acf的面积之比是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案a 5 2014 课标全国 设f为抛物线c y2 3x的焦点 过f且倾斜角为30 的直线交c于a b两点 则 ab 等于 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 方法二由抛物线焦点弦的性质可得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案c p 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6 解析答案 7 如图 过抛物线y2 2px p 0 的焦点f的直线交抛物线于点a b 交其准线l于点c 若 bc 2 bf 且 af 3 则此抛物线的方程为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析如图 分别过a b作aa1 l于a1 bb1 l于b1 由抛物线的定义知 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 af aa1 bf bb1 bc 2 bf bc 2 bb1 bcb1 30 答案y2 3x 8 已知一条过点p 2 1 的直线与抛物线y2 2x交于a b两点 且p是弦ab的中点 则直线ab的方程为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 x y 1 0 解析答案 9 如图 已知抛物线y2 2px p 0 有一个内接直角三角形 直角顶点在原点 两直角边oa与ob的长分别为1和8 求抛物线的方程 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析答案 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10 抛物线y2 4x的焦点为f 过点f的直线交抛物线于a b两点 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解依题意知f 1 0 设直线ab的方程为x my 1 将直线ab的方程与抛物线的方程联立 消去x得y2 4my 4 0 设a x1 y1 b x2 y2 所以y1 y2 4m y1y2 4 解析答案 2 设点m在线段ab上运动 原点o关于点m的对称点为c 求四边形oacb面积的最小值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解由点c与原点o关于点m对称 得m是线段oc的中点 从而点o与点c到直线ab的距离相等 所以四边形oacb的面积等于2s aob 所以当m 0时 四边形oacb的面积最小 最小值是4 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11 2015 四川 设直线l与抛物线y2 4x相交于a b两点 与圆 x 5 2 y2 r2 r 0 相切于点m 且m为线段ab的中点 若这样的直线l恰有4条 则r的取值范围是 a 1 3 b 1 4 c 2 3 d 2 4 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析设a x1 y1 b x2 y2 m x0 y0 相减得 y1 y2 y1 y2 4 x1 x2 当l的斜率不存在时 符合条件的直线l必有两条 当直线l的斜率k存在时 如图x1 x2 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案d 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析如图 可设a m2 m lab m2 n2 y n m n x n2 即 m n y n x n2 令y 0 解得x mn 2 c 2 0 点c为直线ab与x轴的交点 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案20 14 已知抛物线c y2 2px p 0 上的点 2 a 到焦点f距离为3 1 求抛物线的方程 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以抛物线的方程为y2 4x 解析答案 2 设动直线l与抛物线相切于点a 且与准线相交于b 问在坐标平面内是否存在定点d 使得以ab为直径的圆恒过定点d 若存在 求出点d的坐标 若不存在 说明理由 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16t2 16b 0 得b t2 故可设点a坐标为 t2 2t 解析答案 因为d在以ab为直径的圆上 所以ad b