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现代数字信号处理：第五章 列文森递归算法第五章 列文森递归算法5.1引言 第四章中已看到，很多种信号建模问题都需要求解如下形式的线性方程组： (5.1)其中是Toeplitz矩阵。例如在Pade逼近法中，估计由矢量所表示的分母系数就是求解象式(5.1)的一组Toeplitz方程，其中是一个非对称的Toeplitz矩阵，其第一列是信号值，第一行是，另外矢量由信号值组成，因此与矩阵的元素值密切相关。ARMA过程建模中的修正Yule-Walker方程也是这一类的线性方程组。在用Prony法或自相关法对确定性信号进行全极点建模，以及用Yule-Walker法对随机过程的全极点建模中，都要遇到Toeplitz方程。但与Pade逼近时不同，这时的是自相关值的哈密顿Toeplitz矩阵。另外，由于这时的，式(5.1)右边矢量还是与Toeplitz矩阵的元素值密切相关。在求解分子系数的Shanks法中，又会遇到一组哈密顿Toeplitz方程，但与前面不同的是这时的矢量中不含有矩阵的元素值。在第七章的FIR维纳滤波器设计中，还要遇到Toeplitz方程，与Shanks法中一样，其是哈密顿Toeplitz的，但的取值与的值无关。 由于在很多问题中求解Toeplitz方程的重要性，本章介绍求解这类方程的有效算法。在导出这些算法的过程中，我们将发现这类方程的解的一系列有趣的性质，由此可进一步获得信号建模的其它方法。在5.2节，我们首先导出Levinson-Durbin递归算法，该算法可用于求解Prony全极点正则方程和自相关正则方程。Levinson-Durbin递归将导致几个重要的结果，包括格型滤波器结构、数字滤波器的Schur-Cohn稳定性测试、Toeplitz矩阵的Cholesky分解，以及Toeplitz矩阵的递归求逆。5.3节介绍求解一般的哈密顿Toeplitz方程的Levinson递归方法，注意这时对矢量没有约束。该算法可用在Shanks法中，也可用于求解第七章中的一般FIR维纳滤波问题。5.4节将导出分基Levinson递归算法，它比Levinson-Durbin递归的效率要稍高些，并引入了奇异预测器多项式和线谱对的思想，它们在语音处理应用中很有用。5.2Levinson-Durbin递归1947年Levinson给出了求解一般的线性对称Toeplitz方程组的递归算法。在一个有关维纳线性预测问题的评注论文中，Levinson称该算法是一个“数学上平凡的过程”16，但是，这一递归算法导致了若干重要的发现，其中包括格型滤波器结构，它在语音处理、谱估计、数字滤波器实现中获得了广泛的应用。后来在1961年，Durbin针对方程右边是单位矢量的特例改进了Levinson递归算法7，本节我们就介绍该算法，称为Levinson-Durbin递归。另外，将给出该递归的一些性质，说明它如何导致格型滤波器结构，并证明由自相关法所导出的全极点模型是稳定的。5.2.1 递归式的推导 用Prony法或自相关法进行全极点建模时，要求解正则方程，对阶模型，方程为：; (5.2)而建模误差为： (5.3)将上面两个方程组合成矩阵，应有： (5.4)它有个线性方程，也有个未知量，即和。上式的等效矩阵形式为：(5.5)其中是的哈密顿Toeplitz矩阵，是单位矢量。对实值数据，将是对称Toeplitz矩阵。 求解方程(5.5)的Levinson-Durbin递归是一个按模型阶递归的算法，换言之，阶全极点模型的系数是由第阶模型的系数而获得。因此，我们首先说明如何由阶正则方程的解导出阶正则方程的解。设是如下的正则方程的解： (5.6)方程的矩阵形式为： (5.7)给定，我们要导出如下的阶正则方程的解：(5.8)推导过程如下。假定我们将矢量补一个零，并用左乘新矢量，则结果应为： (5.9)其中参数为：(5.10)注意若,则(5.9)式右边是一个维单位矢量,且是(j+1)阶正则方程(5.8)的解。但通常，不是方程(5.8)的解。 推导Levinson-Durbin递归的关键步骤是利用的哈密顿Toeplitz特性，使得可将式(5.9)写成如下的等效形式： (5.11)取式(5.11)的复数共轭并将所得方程与式(5.9)进行加权组合，则对任意的(复)常数，有：(5.12)由于我们是要求解矢量，使得它被相乘后得到一个维的单位矢量，显然，若取：(5.13)则右边矢量最后一个分量为零，该矢量可写成维单位矢量，而式(5.12)就变为：其中(5.14)它就是阶正则方程的解。另外，(5.15)是阶建模的误差。(注：由于是实数，式(5.13)中的复数共轭可以去掉。)如果我们定义，则被称为阶递归方程的式(5.14)可以简单表达为： (5.16)为完成该递归的推导，还必须定义该递归算法初始化的必要条件，这些条件由阶模型的解给出，即为： (5.17)综上所述，可概括Levinson-Durbin递归算法的各步骤如下。首先用零阶模型的解(5.17)对其初始化，然后对，由第阶模型的解分三步求第阶模型。第一步是用式(5.10)和(5.13)确定的值，也称为第个反射系数；第二步是利用Levinson阶更新方程由计算系数；最后一步是用式(5.15)更新误差。该误差还有另外两个等效表达式，在后面的讨论中要用到。第一个是：(5.18)第二个形式是来自式(5.3)，表达为：(5.19)完整的递归算法总结于表5.1。图5.1给出了其Matlab程序。(注：不同的作者对Levinson-Durbin递归中的变量定义有所不同，例如(5.12)中也可用或，结果就导致的符号不同。)表5.1Levinson-Durbin递归算法图5.1列文森杜宾递归的Matlab程序_例5.2.1 求解自相关正则方程。假定要用Levinson-Durbin递归求解自相关正则方程，以确定一个信号的3阶全极点模型。设已知信号的自相关值为：，三阶全极点模型的正则方程为：利用Levinson-Durbin递归，我们得：1.一阶模型：2. 二阶模型：3. 三阶模型：且 最后，取，得全极点模型为：获得了的三阶全极点模型后，若是的正确模型，即是的逆Z变换，则让我们来确定的后面的自相关序列应是什么。这时，模型对将保持不便，即对，因此。这样，由(5.10)，并注意，有：求得为：相继的值可用类似的方式确定。例如，对，它就是AR(3)过程的Yule-Walker方程。 由第一章1.5.2节，若方差为的白噪声激励一个一阶全极点滤波器：将输出一个AR(1)过程，且其自相关序列为： 在下面的例子中，将用Levision-Durbin递归求有关该过程的反射系数和模型误差的序列。_例5.2.2：AR(1)过程的反射系数。设是一个AR(1)过程，其自相关为：为求出有关该自相关矢量的反射系数，我们可以利用Levinson-Durbin递归。首先初始化：，因此第一个反射系数为： 且 因此一阶模型为：对二阶模型，且，因此二阶模型为：继续上述过程, 可导出, 对所有。具体说，假定第步的递归中，且则由于，再看自相关序列的形式，有，因此，且是在中加一个零而形成。 概括起来，对AR(1)过程，有： 下面来看Levinson-Durbin递归的计算复杂度，将它与求解阶自相关正则方程的高斯消去法进行比较。用高斯消去法求解含个未知量的线性方程组约需次乘法和除法，而Levinson-Durbin递归在第步是需次乘法，1次除法和次加法，整个递归需步，总的乘法和除法次数是：总的加法次数是：因此，Levinson-Durbin递归中的乘法和除法次数与成正比，而高斯消去法是与成正比。该递归法优于高斯消去法的另一点是它所需的数据存储量较小。具体说，高斯消去法需的存储量，而Levinson-Durbin递归只需：个用于自相关序列，个用于模型参数，一个用于误差。尽管Levinson-Durbin递归与高斯消去法相比，效率提高了，但应指出的是，求解正则方程可能只是整个建模过程计算量的一小部分。例如，对长度的信号，计算自相关值约需次乘法和加法，因此，若，则求自相关序列的计算量将是建模算法所需计算量的主要部分。5.2.2格型滤波器 Levinson-Durbin递归的一个副产品是数字滤波器的格型结构。它是数字滤波器的一个常规实现方法，具有很多有趣和重要的特性，如模块结构、对参数量化效应不敏感、是保证滤波器稳定的简单方法等。本节将说明Levinson阶递归方程如何可以被用于导出格型FIR滤波器结构。第六章将介绍其它的格型滤波器结构，包括全极点格型和极零点格型滤波器，以及这些滤波器如何用于信号建模。为推导格型滤波器的结构，应考察式(5.16)的Levinson阶递归方程。但为了便于后续推导，首先定义倒序(reciprocal)矢量，它是将矢量的各元素倒序并取复数共轭而形成，即：或： (5.20)在Levinson阶递归方程中利用倒序矢量，则(5.16)式变为：(5.21)用表示的Z变换，为倒序序列的Z变换，则由(5.20)得和的关系： (5.22)根据和重写式(5.21)，将给出： (5.23)它是有关的阶递归方程。下一步推导和的阶递归方程。注意式(5.21)，若两边取复数共轭，并将替换为，则有：(5.24)再利用倒序矢量的定义式(5.20)，可得所需的的更新方程：(5.25)变换到Z域，就得到有关的阶更新方程：(5.26)总结起来，我们有一对耦合的差分方程：(5.27)用于更新和。相应地有一对耦合方程更新系统函数和, 写成矩阵形式应为：(5.28)这两种表示都描述了一个两端口的网络，如图5.2，它是FIR格型滤波器的基本实现模块。级联个这样的模块，反射系数分别为，就形成阶的格型滤波器，如图5.3。注意输入和输出之间的系统函数是，而输入和输出之间的系统函数是。图5.2 FIR格型滤波器模块图5.3 p阶FIR格型滤波器5.2.3 Levinson-Durbin递归算法的参数特性 本节介绍Levinson-Durbin递归所产生的反射系数序列的一些重要性质，并给出自相关正则方程解的一个重要特性。具体说，我们将证明，当且仅当反射系数的幅度小于1，或等效地，当且仅当是正定矩阵时，的根在单位圆内。我们还将证明，由自相关方法所获得的全极点模型保证是稳定的。最后，我们将介绍一个自相关匹配性质，它阐明了若在自相关法中取，且若是的逆Z变换，则的自相关等于的自相关。反射系数的第一个性质是：性质1：用Levinson-Durbin递归求解自相关正则方程而产生的反射系数，其幅度小于1， 即。该性质的获得是由于是最小的平方误差，即： (5.29)而其中为阶建模的误差。因此。而由和得，因而。 必须牢记的是，性质1的合法性依赖于的非负性，该非负性所隐含的假设是中的自相关值是根据式(4.121)计算的。如果中所用的是任意的数字序列，则和并不一定为真。为说明这一点，设正则方程中的，要求解一阶的模型，这时：其幅值大于1。但这个例子与性质1并不冲突，因为对任何合法的自相关序列，都应有。后面我们还要揭示(性质7)，反射系数的单位幅度约束以及序列的非负性约束，都与矩阵的正定性密切相关。下一个性质说明了多项式的根的位置与反射系数的幅度间的关系。性质2：若是一组模型参数,是相应的一组反射系数, 则当且仅当对所有,有, 则是一个最小相位多项式(所有的根都在单位圆内)。进一步地，若对所有，有，则的根或者在单位圆内，或者在单位圆上。 有许多不同的方式可证明这一性质14,20,24。下面介绍的一种方式是利用复变函数中的闭路原理(encirclement Principle)3。闭路原理：给定的有理函数：设C是z平面上的一个简单闭合曲线，如图5.4，当路径C沿逆时针方向环行一周时，将在平面产生一个闭合曲线，它沿逆时针方向环绕原点次，其中是C中的零点数，是C中的极点数。(注：若为负，则曲线按顺时针方向围绕原点次。)图5.4Z平面上含一个零点的简单闭合曲线和相应的P(Z)平面路径 闭路原理的几何解释如下。由于C是一个起点、终点都在的简单闭合曲线，因此也是一个闭合曲线，起点和终点都为。若C内含一个零点，则曲线绕环一周，零点到曲线上点的角度将增加。因此在平面所产生的曲线将沿逆时针方向环绕原点。类似地，若C内有一个极点，则C环绕一周将使减少，在平面将产生一个按顺时针方向环绕原点的曲线。当C内有个零点和个极点时，角度的变化为，因此有闭路原理。虽然在闭路原理中没有说明的零点在曲线C上的结论，但很显然，这时平面的曲线将要通过原点。 有了闭路原理，就可以用于推导性质2。具体说，对一阶模型显然是当且仅当时是最小相位的。现在我们来证明，若是最小相位的，则当且仅当时是最小相位的。为完成证明，我们利用Levinson阶更新方程的z域表达式，即式(5.23)，重写为：上式两边除以，则有：(5.30)现在要证明若C是沿单位圆的一个闭合路径，则沿顺时针方向围绕原点的次数等于在单位圆外的零点数。由于假定是最小相位的，则在单位圆内有个零点，在处有个极点。现在假设在单位圆外有个零点，圆内有个零点，由于在处将有个极点，因此沿逆时针围绕原点的次数应为：即它顺时针围绕原点次。现在注意C是单位圆，即，因此，再由式(5.30)，显然是一个中心在，半径为的圆(参看图5.5)。因而，若，则不包含且不通过原点。而相反若，则包含原点，的零点就不是都在单位圆内。因此，若是最小相位的，则当且仅当时是最小相位的。图5.5曲线是中心在，半径为的圆在Toeplitz矩阵的正定性与正则方程解的最小相位特性之间也有一个本质的联系。尤其是下面的性质说明了当且仅当是正定阵时，是最小相位的。(参看5.2.7节)性质3：若是Toeplitz正则方程的解，则当且仅当是正定阵，即时，是最小相位的。 为证明该性质，设是多项式的根。一般是复数，我们可将因式分解为：我们将证明若，则。将写成因式分解的矩阵形式，有：(5.31)因此有：(5.32)将上式左乘，有：由于是满秩的，则若是正定的，也是正定的，因此：这意味着(5.33)又由于因此，即(5.34)由式(5.33)，应有，即是最小相位的。相反，若不是最小相位的，则将有一个根满足，因此由(5.34)有，就不是正定的。性质1 表明求解自相关正则方程所产生的反射系数，其幅度小于1，性质2给出了若反射系数幅度小于1，则多项式的根在单位圆内。将两者相结合就得如下的性质。性质4：自相关法将给出一个稳定的全极点模型。在下一个性质中，我们将考察当，而其它剩下的反射系数的幅值仍小于1时，多项式的根将会是什么情况。性质5：设是滤波器系数，是相应的反射系数，若对有，而，则多项式 的所有根在单位圆上。该性质可以简单说明如下。设是反射系数序列，且对有，而。由于对所有有，则由性质2，的所有零点都在单位圆内或圆上。若表示的零点，则：上式两边的系数应相等，因此有：(5.35)但由于，若，则有：(5.36)显然，若有一个的零点的幅值小于1，则至少必有一个零点的幅值大于1，否则所有根的乘积就不会是1。而这与所有根都必须位于单位圆内或圆上的要求是矛盾的，因此性质5成立。 该性质可用于设计检测噪声中的正弦波的约束格型滤波器(第六章习题)。它也是谱估计中平稳随机过程Pisarenko谐波分解的理论基础(参见第8章)。 下一个性质将给出的自相关序列与的全极点模型的单位采样响应的自相关序列间的关系。具体说，若选择的分子系数，使得满足的能量匹配约束，则有，且时的两个自相关序列是相等的。这就是所谓的自相关匹配性质。性质6：自相关匹配性质。若选择满足能量匹配约束，则，且时和的自相关序列是相等的。我们用【18】中介绍的方法证明该性质。首先注意是的全极点模型的单位采样响应，即：其中系数是如下正则方程的解：(5.37)因此满足如下差分方程：(5.38)上式两端乘以并按求和，可得： (5.39)又由可用重写式(5.39)为：由于是因果的，即时，而，因此，对，有; (5.40)再利用的共轭对称性，可将上式写成矩阵形式： 5.41)或者写为：(5.42)因此，如下的两个Toeplitz方程的解都是： (5.43)现在假设选择满足能量匹配约束，即:(5.44)下面将证明对有。采用Levinson-Durbin递归求解方程(5.43)，应有：而，因此。现在假设对，有，则由(5.10)和(5.13)，可得：(5.45)由于对，有，因此。最后，由(5.41)可知而，因此有：(5.46)从而。自相关匹配性质得证。5.2.4 上行和下行递归用Levinson-Durbin递归求解自相关正则方程，就由信号的自相关序列获得信号的全极点模型。除了模型参数之外，递归还产生一组反射系数以及最后的建模误差。因此，递归可看作是由自相关序列到一组模型参数和一组反射系数的映射：在很多情况下，若能由滤波器系数导出反射系数，或反过来推导，将会提供很多便利。本节我们介绍如何由一组参数递归地导出另一组。完成这种变换的递归就称为上行递归和下行递归。式(5.16)给定的Levinson阶递归方程就是由反射系数推导滤波器系数的递归公式。具体说，由于(5.47)因此滤波器系数很容易由和而获得。递归开始时，取；当系数已被确定，递归结束时，取。由于(5.47)所定义的是给定时，阶滤波器模型参数如何被(向上地)更新为阶滤波器，因此式(5.47)被称为上行递归。该递归可以图示为：表5.2总结了该递归。图5.6给出了其Matlab程序。表5.2上行递归1. 初始化：2. 对 (a) 对 (b) 3. 图5.6上行递归的Matlab程序_例5.2.3上行递归给定反射系数序列为：则由上行递归可得一阶和二阶全极点模型如下。由(5.14)，一阶模型为：类似地得二阶模型为：因此，用和反射系数所表示的二阶全极点模型的一般形式为：给定了二阶模型，注意若第三个反射系数再加到其序列中，则很容易由获得：因此，总可以不必再求解较低阶的滤波器而增加滤波器的阶数。 上行递归是反射系数序列到滤波器系数序列的映射，即。在很多情况下，该映射可能要反过来，即，是由模型参数确定反射系数。完成这一变换的映射称为下行或反向Levinson递归。求反射系数是基于如下事实，即由于(5.48)因此反射系数可以通过反向地运行Levinson-Durbin递归而计算。具体说，由给定的，取，然后递归地求出每个较低阶的模型，并取。具体说明如下：为看出第阶模型是如何由第阶模型导出的，我们假设系数已获得，式(5.16)的Levinson阶递归方程是用和表示为：(5.49)上式只给出了有关两个未知量和的一个方程。但若我们再利用Levinson阶递归方程，用和表示，则有：两边取复数共轭，有：(5.50)它给出了有关两个未知量和的第二个方程。将式(5.49)和(5.50)联立成矩阵形式，有：(5.51)若，则(5.51)中的矩阵可逆，可唯一地求出。(注：若，则(5.51)是奇异方程组，该映射不是唯一可逆的。)解得：(5.52)这就是下行递归。该递归也可用矢量形式写为：(5.53)一旦获得了序列，就可置，再继续递归求出后面的较低阶多项式。下行递归可图示为：表5.3总结了下行递归。另一种也许是更巧妙的导出下行递归的方式是利用式(5.28)，由求阶多项式。很容易看出，其解为：(5.54)因此有：(5.55)它是式(5.52)的Z域表示。完成下行递归的Matlab程序如图5.7所示。表5.3下行递归1. 置2. 对 (1) 对 (2) 置 (3) 若，退出3. 图5.7下行递归的Matlab程序_例5.2.4下行递归。假定我们要实现三阶FIR滤波器：采用格型滤波器结构。利用下行递归，反射系数可由矢量而获得，然后用图5.3所示的结构实现。下行递归首先取，然后求二阶多项式的系数，是在(5.53)中取，并利用已知的，即：由给定的值和，可得：从而。求出后，再利用式(5.52)可求出为：因此。最后得反射系数序列为：这样，一个具有给定系统函数的格型滤波器如图5.8所示。图5.8格型滤波器实现， 下行递归的一个有趣的应用是数字滤波器的Schur-Cohn稳定性测试27。该测试是基于性质2，即当且仅当反射系数的幅值小于1时多项式的根位于单位圆内。因此，若给定一个因果线性移不变滤波器的有理系统函数：可测试该滤波器的稳定性如下。首先对分母多项式的系数应用下行递归，得反射系数序列，然后，当且仅当所有反射系数的幅值小于1时，滤波器是稳定的。下面举一个例子。_例5.2.2Schur-Cohn稳定性测试。试用Schur-Cohn稳定性测试确定如下滤波器的稳定性：首先注意分母多项式的第一个系数不等于1，因此重写为：由，利用式(5.53)求解二阶多项式为：由于，即，因此滤波器不稳定。5.2.5 逆Levinson-Durbin递归前面已经介绍了如何由自相关序列导出反射系数和模型参数，还介绍了将反射系数序列映射到模型参数序列的递归,以及反向的递归。实际上,也可以由反射系数加上,或由阶模型系数加上，递归地计算出自相关序列。完成这一变换的递归就称为逆Levinson递归。为说明该递归如何进行，假设给定了反射系数序列以及阶误差。由于(5.56)因此自相关序列的第一项为：(5.57)再加上零阶模型(5.58)就构成了该递归的初始化。现在再假设自相关序列的前项已知，并已知阶滤波器系数，我们将说明如何由此求序列的下一项。首先我们利用上行递归由和求系数，然后置式(5.2)中的，就得如下的表达式：(5.59)由于上式右边的求和只需要已知的自相关值，该表达式可用于确定，并完成递归。逆Levinson-Durbin递归可以图示为：算法总结于表5.4。表5.4逆Levinson-Durbin递归1. 初始化： (1) ； (2) 2. 对 (1) 对， (2) (3) 3. 完成。_例5.2.6逆Levinson-Durbin递归给定反射系数序列，模型误差，要求自相关序列。首先是递归的初始化，即：再求第一阶模型为：从而，又利用上行递归更新模型参数得：从而再利用上行递归由得：最后得：要求的自相关序列为： 上面介绍的逆Levinson递归给出了由反射系数和求出自相关序列的步骤，若给定的不是反射系数，而是滤波器的系数，仍可以确定自相关序列，即先用下行递归求出反射系数，然后再利用上述的逆Levinson递归。由反射系数或滤波器系数求解的Matlab程序如图5.9所示。现在来总结一下。将5.2.4和5.2.5结果结合到一起可看出，如下的三组参数可以互相等效：1自相关序列2全极点模型的和3反射系数以及误差这种等效性如图5.10所示，它说明了如何由一组参数导出另一组。图5.9逆Levinson-Durbin递归的Matlab程序图5.10Levinson-Durbin递归5.2.6Schur递归(暂省略)5.2.7Cholesky分解我们已看到Levinson-Durbin递归是求解自相关正则方程的有效算法。它也可用于完成哈密顿Toeplitz自相关阵的Cholesky分解。哈密顿矩阵的Cholesky分解(LDU)形式为：(5.81)其中是下三角阵，且对角元素为1，是对角阵。若的对角元素为非负(是半正定的)，则可以分解为两个平方根矩阵的乘积形式：(5.82)这样，的Cholesky分解可以表达为一个上三角阵和一个下三角阵的乘积：(5.83)利用自相关矩阵的Cholesky分解，可以很容易地导出的正定性、误差序列的正实性以及反射系数幅值的单位约束这三者间的等效性。另外，我们还可以导出自相关阵的逆阵的闭合表达式，以及Toeplitz矩阵求逆的递归算法。为导出的Cholesky分解，考察一个的上三角阵：(5.84)该矩阵是Levinson-Durbin递归作用于自相关序列时所产生的矢量所形成。注意的第列是滤波器系数再补足零。由于(5.85)其中是长度为的单位矢量，最后一个元素为1。这样就有(5.86)它是一个下三角阵，对角线上为预测误差(号表示那些非零的元素)。虽然式(5.85)的结果没有给出推导，但它可由的哈密顿Toeplitz特性而推知。例如，由于(J是幂等阵)，则有(5.87)两边都左乘，并利用和，再取复数共轭，(5.87)就变成了(5.85)。由于两个下三角阵的乘积仍是下三角阵，因此若用左乘，则得到另一个下三角阵。注意由于的对角项为1，因此的对角项与相同，从而的形式也是：(5.88)但更重要的是注意是哈密顿的，因此式(5.88)右边的矩阵也必是哈密顿的，显然其对角线以下的各元素必须是零，从而有：(5.89)其中是对角阵，由于是一个下三角阵，且对角项为1，因此是非奇异的，且，的逆阵也是一个下三角阵，设用表示。若将左乘式(5.89)两边，又用右乘，则有：(5.90)这就是所期望的分解。由式(5.89)可得一个有趣的重要性质，即的行列式等于各阶建模误差的乘积：(5.91)为说明这一点，取式(5.89)两端的行列式，并考虑到，因此：(5.92)而，因此式(5.91)成立。利用式(5.91)，我们可说明的正定性与误差序列的正实性之间的紧密联系。具体说，由于当且仅当,(5.93)时，是正定的，而(5.94)因此，当且仅当时，是正定的。进一步，若有，则，是奇异的，的正定性与的正实性的关系也可以由Sylvester的惯性定律来证明21, 即，若是非奇异矩阵，则与具有相同的正特征值数目、相同的负特征值数、相同的零特征值数。由于 ,且非奇异,因此和具有相同的正、负、零特征值数。又由于的特征值为，因此当且仅当对所有，就有。总结一下，我们就得到哈密顿Toeplitz矩阵的如下基本性质。性质7：对任意的哈密顿Toeplitz矩阵，如下各条件是等价的：12，3，进一步，若上面各式中的严格不等式包括等号，则等效性仍然成立。在下面的例子中，我们将利用这一性质测试Toeplitz矩阵的正定性与否。_例5.2.8正定性测试。考察一个33的对称Toeplitz矩阵试找出使正定的和值。解：可将的第一行看作是一个自相关序列的前三项，即。再利用Levinson-Durbin递归，我们可以用和来表达反射系数和的值。由于因此,从而且现在为了使是正定的，必须使，且。即有：i.ii.第二个条件又可写为：而，因此有：左边的不等式给出：右边的不等式给出：因此，可允许和值在图5.14所示的阴影区内。图5.145.2.8 自相关的外推问题 本节考虑自相关的外推问题。它可以表述为：给定自相关序列的前个值，即，如何外推这个部分自相关序列到，并使得所得到的序列是一个合理的自相关序列？在前面第一章1.2.5节，我们已看到，为了使一个有限的数值序列是合理的自相关序列，由该序列所形成的自相关阵必须是非负定的，即。因此，任何延伸都必须保持该非负定特性，即，如此类推。在第一章1.5.1节，我们已发现了外推部分自相关序列的一种可能方式。具体说，给定，若按如下递归式外推到：(5.95)其中系数是如下Yule-Walker(正则)方程的解：(5.96)则所得到的序列是一个合理的自相关序列。这是因为该外推所产生的是与给定自相关值相一致的AR(p)过程的自相关序列。因此，当且仅当，一个有限的数值序列是可延伸的；如果可延伸，一种可能的延伸由式(5.95)给出。但我们还没有说明的一个问题是，是否还有其它方式的延伸，或者说，给定一个部分自相关序列，什么样的将产生合理的部分自相关序列，使得？该问题的答案可由性质7获得，该性质说，若是非负定的，则当且仅当时是非负定的。因此，用反射系数来表达将对的可允许值给出限定。由式(5.10和式(5.13)得所期望的表达式为：(5.97)由于是幅值小于1的复数，即，式(5.97)意味着将被约束在中心为，半径为的圆内或圆上，如图5.15。在实数情况下，可允许值的范围为： (5.98)图5.15有两个自相关序列延伸的特例值得进一步讨论。第一个是取，这时外推是按照式(5.95)进行，即进一步，若的外推按这种方式继续到所有，则最后的自相关序列将对应于功率谱为如下形式的AR(p)过程：(5.99)第二种情况是。这时位于图5.15的单位圆上，阶模型误差为零，即(5.100)矩阵是奇异的，预测多项式的所有根在单位圆上(见性质5)。我们在第8章的8.6节将看到，这种情况对频率估计以及将信号建模为复指数之和，都是很重要的。_例5.2.9自相关的延伸给定部分自相关序列，要求出的可允许值，这里假设是实值。对一阶模型，我们有且。因此一阶建模的误差是：从而有：这样，由可得：对的特例，；而对的特例，自相关值分别为和。5.2.9 Toeplitz矩阵的求逆*(省略)5.3 Levinson递归前面已介绍了如何在Levinson-Durbin递归中利用全极点正则方程的Toeplitz结构，以有效地求解如下方程组： (5.120)其中是的哈密顿Toeplitz