高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.7 立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离课件 理.ppt

第八章立体几何 8 7立体几何中的向量方法 二 求空间角和距离 内容索引 基础知识自主学习 题型分类深度剖析 答题模板系列 思想方法感悟提高 练出高分 基础知识自主学习 1 两条异面直线所成角的求法设a b分别是两异面直线l1 l2的方向向量 则 知识梳理 1 答案 2 直线与平面所成角的求法设直线l的方向向量为a 平面 的法向量为n 直线l与平面 所成的角为 a与n的夹角为 则sin cos 3 求二面角的大小 1 如图 ab cd分别是二面角 l 的两个面内与棱l垂直的直线 则二面角的大小 答案 2 如图 n1 n2分别是二面角 l 的两个半平面 的法向量 则二面角的大小 满足 cos 二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角 或其补角 cos n1 n2 答案 4 利用空间向量求距离 供选用 1 两点间的距离设点a x1 y1 z1 点b x2 y2 z2 则 ab 2 点到平面的距离如图所示 已知ab为平面 的一条斜线段 n为平面 的法向量 则b到平面 的距离为 答案 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角 2 直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角 3 两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角 答案 思考辨析 5 直线l的方向向量与平面 的法向量夹角为120 则l和 所成角为30 6 若二面角 a 的两个半平面 的法向量n1 n2所成角为 则二面角 a 的大小是 答案 1 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 m n分别是棱cd cc1的中点 则异面直线a1m与dn所成的角的大小是 考点自测 2 解析答案 1 2 3 4 5 解析如图 以a为原点 以ab所在直线为x轴 ad所在直线为y轴 aa1所在直线为z轴 建立空间直角坐标系 解析答案 1 2 3 4 5 a1m与dn所成的角的大小是90 答案90 1 2 3 4 5 2 已知向量m n分别是直线l和平面 的方向向量和法向量 若cos m n 则l与 所成的角为 0 90 30 30 解析答案 1 2 3 4 5 3 教材改编 如图 正三棱柱abc a1b1c1的底面边长为2 侧棱长为 则ac1与侧面abb1a1所成的角为 解析答案 1 2 3 4 5 解析答案 1 2 3 4 5 c1ad为ac1与平面abb1a1所成的角 1 2 3 4 5 解析答案 1 2 3 4 5 4 教材改编 二面角的棱上有a b两点 直线ac bd分别在这个二面角的两个半平面内 且都垂直于ab 已知ab 4 ac 6 bd 8 cd 则该二面角的大小为 1 2 3 4 5 解析答案 1 2 3 4 5 解析答案 所求二面角为60 答案60 1 2 3 4 5 5 p是二面角 ab 棱上的一点 分别在平面 上引射线pm pn 如果 bpm bpn 45 mpn 60 那么二面角 ab 的大小为 1 2 3 4 5 解析答案 返回 解析不妨设pm a pn b 如图 作me ab于e nf ab于f epm fpn 45 1 2 3 4 5 解析答案 二面角 ab 的大小为90 答案90 1 2 3 4 5 返回 题型分类深度剖析 例1 2015 四川 如图 四边形abcd和adpq均为正方形 它们所在的平面互相垂直 动点m在线段pq上 e f分别为ab bc的中点 设异面直线em与af所成的角为 则cos 的最大值为 题型一求异面直线所成的角 解析答案 思维升华 解析建立空间直角坐标系如图所示 解析答案 思维升华 令t 1 y 则y 1 t 0 y 1 0 t 1 解析答案 思维升华 又 z 9x2 8x 4在 1 上单调递增 x 1时 zmin 5 思维升华 思维升华 用向量法求异面直线所成角的一般步骤 1 选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系 2 确定异面直线上两个点的坐标 从而确定异面直线的方向向量 3 利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值 4 两异面直线所成角的余弦等于两向量夹角余弦值的绝对值 如图所示正方体abcd a b c d 已知点h在a b c d 的对角线b d 上 hda 60 求dh与cc 所成的角的大小 跟踪训练1 解析答案 解如图所示 以d为原点 da为单位长度 建立空间直角坐标系d xyz 解析答案 即dh与cc 所成的角为45 例2 2015 课标全国 如图 长方体abcd a1b1c1d1中 ab 16 bc 10 aa1 8 点e f分别在a1b1 d1c1上 a1e d1f 4 过点e f的平面 与此长方体的底面相交 交线围成一个正方形 1 在图中画出这个正方形 不必说明画法和理由 题型二求直线与平面所成的角 解析答案 解交线围成的正方形ehgf如图 2 求直线af与平面 所成角的正弦值 解析答案 思维升华 解作em ab 垂足为m 则am a1e 4 em aa1 8 因为四边形ehgf为正方形 所以eh ef bc 10 解析答案 思维升华 设n x y z 是平面ehgf的法向量 解析答案 思维升华 所以可取n 0 4 3 思维升华 思维升华 利用向量法求线面角的方法 1 分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量 转化为求两个方向向量的夹角 或其补角 2 通过平面的法向量来求 即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角 取其余角就是斜线和平面所成的角 如图 在直棱柱abcd a1b1c1d1中 ad bc bad 90 ac bd bc 1 ad aa1 3 1 证明 ac b1d 跟踪训练2 解析答案 证明易知 ab ad aa1两两垂直 如图 以a为坐标原点 ab ad aa1所在直线分别为x轴 y轴 z轴 建立空间直角坐标系 设ab t 则相关各点的坐标为a 0 0 0 b t 0 0 b1 t 0 3 c t 1 0 c1 t 1 3 d 0 3 0 d1 0 3 3 解析答案 即ac b1d 2 求直线b1c1与平面acd1所成角的正弦值 解析答案 设n x y z 是平面acd1的一个法向量 解析答案 设直线b1c1与平面acd1所成的角为 例3 2015 安徽 如图所示 在多面体a1b1d1 dcba中 四边形aa1b1b add1a1 abcd均为正方形 e为b1d1的中点 过a1 d e的平面交cd1于f 题型三求二面角 1 证明 ef b1c 证明由正方形的性质可知a1b1 ab dc 且a1b1 ab dc 所以四边形a1b1cd为平行四边形 从而b1c a1d 又a1d 面a1de b1c 面a1de 于是b1c 面a1de 又b1c 面b1cd1 面a1de 面b1cd1 ef 所以ef b1c 解析答案 2 求二面角e a1d b1的余弦值 解析答案 思维升华 解因为四边形aa1b1b add1a1 abcd均为正方形 所以aa1 ab aa1 ad ab ad且aa1 ab ad 可得点的坐标a 0 0 0 b 1 0 0 d 0 1 0 a1 0 0 1 b1 1 0 1 d1 0 1 1 而e点为b1d1的中点 解析答案 思维升华 设面a1de的法向量n1 r1 s1 t1 可取n1 1 1 1 设面a1b1cd的法向量n2 r2 s2 t2 解析答案 思维升华 思维升华 求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量 然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小 但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角 思维升华 1 证明 de 平面pcd 证明由pc 平面abc de 平面abc 故pc de 由pc cd c de垂直于平面pcd内两条相交直线 故de 平面pcd 跟踪训练3 解析答案 2 求二面角a pd c的余弦值 解析答案 如图 过d作df垂直ce于f 易知df fc fe 1 又已知eb 1 故fb 2 解析答案 设平面pad的法向量为n1 x1 y1 z1 解析答案 故可取n1 2 1 1 从而法向量n1 n2的夹角的余弦值为 例4如图 bcd与 mcd都是边长为2的正三角形 平面mcd 平面bcd ab 平面bcd ab 求点a到平面mbc的距离 题型四求空间距离 供选用 解析答案 思维升华 解如图 取cd的中点o 连结ob om 因为 bcd与 mcd均为正三角形 所以ob cd om cd 又平面mcd 平面bcd 所以mo 平面bcd 解析答案 思维升华 以o为坐标原点 直线oc bo om分别为x轴 y轴 z轴 建立空间直角坐标系o xyz 因为 bcd与 mcd都是边长为2的正三角形 解析答案 思维升华 设平面mbc的法向量为n x y z 思维升华 思维升华 求点面距一般有以下三种方法 作点到面的垂线 点到垂足的距离即为点到平面的距离 等体积法 向量法 其中向量法在易建立空间直角坐标系的规则图形中较简便 如图所示 在直三棱柱abc a1b1c1中 bac 90 ab ac aa1 1 d是棱cc1上的一点 p是ad的延长线与a1c1的延长线的交点 且pb1 平面bda1 1 求证 cd c1d 跟踪训练4 解析答案 证明连结ab1 交ba1于点o 连结od b1p 平面bda1 b1p 平面ab1p 平面ab1p 平面ba1d od b1p od 又 o为b1a的中点 d为ap的中点 解析答案 c1d cd c1d aa1 c1为a1p的中点 2 求二面角a a1d b的平面角的余弦值 解析答案 解建立如图所示的空间直角坐标系a1xyz 设平面ba1d的一个法向量为n x1 y1 z1 解析答案 令z1 2 则x1 2 y1 1 n 2 1 2 由图形可知二面角a a1d b为锐角 3 求点c到平面b1dp的距离 解析答案 返回 设平面b1dp的一个法向量为m x2 y2 z2 令z2 2 则x2 2 y2 1 m 2 1 2 返回 答题模板系列 典例 14分 2014 天津 如图 在四棱锥p abcd中 pa 底面abcd ad ab ab dc ad dc ap 2 ab 1 点e为棱pc的中点 1 证明 be dc 6 利用空间向量求解空间角 答题模板系列 解析答案 规范解答证明依题意 以点a为原点建立空间直角坐标系如图 可得b 1 0 0 c 2 2 0 d 0 2 0 p 0 0 2 1分 由e为棱pc的中点 得e 1 1 1 2 求直线be与平面pbd所成角的正弦值 解析答案 规范解答 设n x y z 为平面pbd的法向量 可得n 2 1 1 为平面pbd的一个法向量 解析答案 3 若f为棱pc上一点 满足bf ac 求二面角f ab p的余弦值 解析答案 答题模板 返回 温馨提醒 规范解答 解析答案 答题模板 温馨提醒 设n1 x y z 为平面fab的法向量 解析答案 答题模板 温馨提醒 不妨令z 1 可得n1 0 3 1 为平面fab的一个法向量 取平面abp的法向量n2 0 1 0 易知 二面角f ab p是锐角 答题模板 温馨提醒 温馨提醒 答题模板 利用向量求空间角的步骤第一步 建立空间直角坐标系 第二步 确定点的坐标 第三步 求向量 直线的方向向量 平面的法向量 坐标 第四步 计算向量的夹角 或函数值 第五步 将向量夹角转化为所求的空间角 第六步 反思回顾 查看关键点 易错点和答题规范 返回 温馨提醒 1 利用向量求角是高考的热点 几乎每年必考 主要是突出向量的工具性作用 2 本题易错点是在建立坐标系时不能明确指出坐标原点和坐标轴 导致建系不规范 3 将向量的夹角转化成空间角时 要注意根据角的概念和图形特征进行转化 否则易失分 思想方法感悟提高 1 用向量来求空间角 都需将各类角转化成对应向量的夹角来计算 问题的关键在于确定对应线段的向量 2 求点到平面的距离 若用向量知识 则离不开以该点为端点的平面的斜线段 方法与技巧 1 利用向量求角 一定要注意将向量夹角转化为各空间角 因为向量夹角与各空间角的定义 范围不同 2 求点到平面的距离 有时利用等体积法求解可能更方便 3 求二面角要根据图形确定所求角是锐角还是钝角 失误与防范 返回 练出高分 1 若直线l的方向向量与平面 的法向量的夹角等于120 则直线l与平面 所成的角等于 解析设直线l与平面 所成的角为 直线l与平面 的法向量的夹角为 又 0 90 30 30 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 2 2014 课标全国 改编 直三棱柱abc a1b1c1中 bca 90 m n分别是a1b1 a1c1的中点 bc ca cc1 则bm与an所成角的余弦值为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 解析补成正方体 利用向量的方法求异面直线所成的角 由于 bca 90 三棱柱为直三棱柱 且bc ca cc1 可将三棱柱补成正方体 建立如图所示空间直角坐标系 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 设正方体棱长为2 则可得a 0 0 0 b 2 2 0 m 1 1 2 n 0 1 2 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 在正方体abcd a1b1c1d1中 点e为bb1的中点 则平面a1ed与平面abcd所成的锐二面角的余弦值为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 解析以a为原点建立如图所示的空间直角坐标系a xyz 设棱长为1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 设平面a1ed的一个法向量为n1 1 y z 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 n1 1 2 2 平面abcd的一个法向量为n2 0 0 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4 如图所示 三棱柱abc a1b1c1的侧棱长为3 底面边长a1c1 b1c1 1 且 a1c1b1 90 d点在棱aa1上且ad 2da1 p点在棱c1c上 则的最小值为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析建立如图所示的空间直角坐标系 则d 1 0 2 b1 0 1 3 5 在正四棱柱abcd a1b1c1d1中 aa1 2ab 则cd与平面bdc1所成角的正弦值等于 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 解析以d为坐标原点 建立空间直角坐标系 如图 设aa1 2ab 2 则d 0 0 0 c 0 1 0 b 1 1 0 c1 0 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 令y 2 得平面bdc1的一个法向量为n 2 2 1 设cd与平面bdc1所成的角为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6 过正方形abcd的顶点a作线段pa 平面abcd 若ab pa 则平面abp与平面cdp所成的二面角为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 解析建立如图所示的空间直角坐标系 设ab pa 1 知a 0 0 0 b 1 0 0 d 0 1 0 c 1 1 0 p 0 0 1 由题意得 ad 平面abp 设e为pd的中点 连结ae 则ae pd 又 cd 平面pad ae cd 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 又pd cd d ae 平面cdp 平面abp与平面cdp所成的二面角为45 答案45 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7 2015 课标全国 如图 四边形abcd为菱形 abc 120 e f是平面abcd同一侧的两点 be 平面abcd df 平面abcd be 2df ae ec 1 证明 平面aec 平面afc 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 证明如图所示 连结bd 设bd ac g 连结eg fg ef 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 在菱形abcd中 不妨设gb 1 由be 平面abcd ab bc 可知ae ec 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 从而eg2 fg2 ef2 所以eg fg 又ac fg g 可得eg 平面afc 因为eg 平面aec 所以平面aec 平面afc 2 求直线ae与直线cf所成角的余弦值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8 2014 课标全国 如图 三棱柱abc a1b1c1中 侧面bb1c1c为菱形 ab b1c 1 证明 ac ab1 证明如图所示 连结bc1 交b1c于点o 连结ao 因为侧面bb1c1c为菱形 所以b1c bc1 且o为b1c及bc1的中点 又ab b1c ab bo b 所以b1c 平面abo 由于ao 平面abo 故b1c ao 又b1o co 故ac ab1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 2 若ac ab1 cbb1 60 ab bc 求二面角a a1b1 c1的余弦值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 解因为ac ab1 且o为b1c的中点 所以ao co 又因为ab bc 所以 boa boc 故oa ob 从而oa ob ob1两两互相垂直 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 因为 cbb1 60 所以 cbb1为等边三角形 又ab bc oc oa 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 设n x y z 是平面aa1b1的法向量 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9 在正四棱锥sabcd中 o为顶点在底面上的射影 p为侧棱sd的中点 且so od 则直线bc与平面pac所成的角是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 解析如图 以o为原点建立空间直角坐标系o xyz 设od so oa ob oc a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 设平面pac的一个法向量为n x y z 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 直线bc与平面pac所成的角为90 60 30 答案30 可取n 0 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10 如图 在四棱锥s abcd中 sa 平面abcd 底面abcd为直角梯形 ad bc bad 90 且ab 4 sa 3 e f分别为线段bc sb上的一点 端点除外 满足当实数 的值为 时 afe为直角 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 解析因为sa 平面abcd bad 90 故可建立如图所示的空间直角坐标系a xyz ab 4 sa 3 b 0 4 0 s 0 0 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 设bc m 则c m 4 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 求平面pab与平面pcd所成二面角的余弦值 11 2015 江苏 如图 在四棱锥p abcd中 已知pa 平面abcd 且四