高三数学一轮复习 第三篇 导数及其应用 第2节 导数在研究函数中的应用 第一课时 利用导数研究函数的单调性课件 理.ppt

第2节导数在研究函数中的应用 知识链条完善 考点专项突破 类题探源精析 知识链条完善把散落的知识连起来 教材导读 1 若函数f x 在 a b 内单调递增 那么一定有f x 0吗 f x 0是否是f x 在 a b 内单调递增的充要条件 提示 函数f x 在 a b 内单调递增 则f x 0 f x 0是f x 在 a b 内单调递增的充分不必要条件 2 f x0 0是可导函数f x 在x x0处取极值的什么条件 提示 必要不充分条件 因为当f x0 0且x0左右两端的导数符号变化时 才能说f x 在x x0处取得极值 反过来 如果可导函数f x 在x x0处取极值 则一定有f x0 0 知识梳理 1 函数的单调性与导数 1 函数y f x 在某个区间内可导 若f x 0 则f x 在这个区间内 若f x 0 则f x 在这个区间内 如果在某个区间内恒有f x 0 则f x 为常函数 2 单调性的应用若函数y f x 在区间 a b 上单调 则y f x 在该区间上不存在变号零点 2 函数的极值与导数 1 函数极小值的概念 函数y f x 在点x a处的函数值f a 比它在点x a附近其他点的函数值都小 f a 0 单调递增 单调递减 在点x a附近的左侧 右侧 则点a叫做函数y f x 的 f a 叫做函数y f x 的 2 函数极大值的概念 函数y f x 在点x b处的函数值f b 比它在点x b附近其他点的函数值都大 f b 0 在点x b附近的左侧 右侧 则点b叫做函数y f x 的 f b 叫做函数y f x 的 极小值点与极大值点统称为 极小值与极大值统称为 3 函数的最值与导数求函数y f x 在闭区间 a b 上的最大值与最小值的步骤 1 求y f x 在 a b 内的 2 将函数y f x 的各极值与端点处的函数值f a f b 比较 其中的一个为最大值 的一个为最小值 f x 0 f x 0 极小值点 极小值 f x 0 f x 0 极大值点 极大值 极值点 极值 极值 最大 最小 4 利用导数解决实际生活中的优化问题 1 分析实际问题中各变量之间的关系 建立实际问题的数学模型 写出相应的函数关系式y f x 并确定定义域 2 求导数f x 解方程f x 0 3 判断使f x 0的点是极大值点还是极小值点 4 确定函数的最大值或最小值 还原到实际问题中作答 重要结论 1 若函数f x 的图象连续不断 则f x 在 a b 内一定有最值 2 若函数f x 在 a b 内是单调函数 则f x 一定在区间端点处取得最值 3 若函数f x 在开区间 a b 内只有一个极值点 则相应的极值一定是函数的最值 夯基自测 b a 2 2016唐山质检 函数f x 3x2 lnx 2x的极值点的个数是 a 0 b 1 c 2 d 无数个 c 3 从边长为10cm 16cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形 制成一个无盖的盒子 则盒子容积的最大值为 a 12cm3 b 72cm3 c 144cm3 d 160cm3 解析 f x 3x2 a 0在 1 上恒成立 即a 3x2在 1 上恒成立 所以a 3 答案 3 4 已知f x x3 ax在 1 上是增函数 则a的最大值是 5 给出下列命题 f x 0是f x 为增函数的充要条件 函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的 函数的极大值不一定比极小值大 对可导函数f x f x0 0是x0点为极值点的充要条件 函数的最大值不一定是极大值 函数的最小值也不一定是极小值 其中真命题是 写出所有真命题的序号 解析 错误 f x 0能推出f x 为增函数 反之不一定 如函数f x x3在 上单调递增 但f x 0 所以f x 0是f x 为增函数的充分条件 但不是必要条件 错误 一个函数在某区间上或定义域内的极大值可以不止一个 正确 一个函数的极大值与极小值没有确定的大小关系 极大值可能比极小值大 也可能比极小值小 还可能与极小值相等 错误 对可导函数f x f x0 0只是x0点为极值点的必要条件 如y x3在x 0时f 0 0 而函数在r上为增函数 所以0不是极值点 正确 当函数仅在区间端点处取得最值时 这时的最值不是极值 答案 第一课时利用导数研究函数的单调性 考点专项突破在讲练中理解知识 考点一 判断或证明函数的单调性 高考扫描 2013高考新课标全国卷 2014高考新课标全国卷 2015高考新课标全国卷 例1 已知函数f x a 1 lnx ax2 1 讨论函数f x 的单调性 当a 0时 f x 0 故f x 在 0 上单调递减 反思归纳导数法证明函数f x 在 a b 内的单调性的步骤 1 求f x 2 确定f x 在 a b 内的符号 3 作出结论 f x 0时为增函数 f x 0时为减函数 即时训练 已知函数f x x2 ex 试判断f x 的单调性并给予证明 解 f x 在r上单调递减 f x 2x ex 只要证明f x 0恒成立即可 设g x f x 2x ex 则g x 2 ex 当x ln2时 g x 0 当x ln2 时 g x 0 当x ln2 时 g x 0 所以f x max g x max g ln2 2ln2 2 0 所以f x 0恒成立 所以f x 在r上单调递减 考点二 求函数的单调区间 2 求函数f x 的单调区间 反思归纳 用导数求函数的单调区间的 三个方法 1 当不等式f x 0或f x 0或f x 0或f x 0及方程f x 0均不可解时求导数并化简 根据f x 的结构特征 选择相应基本初等函数 利用其图象与性质确定f x 的符号 得单调区间 即时训练 已知函数f x lnx ax a r 求函数f x 的单调区间 已知函数的单调性求参数的取值范围 考点三 2 由 1 得 f x x2 ax x x a a 0 当x 0 时 f x 0 当x 0 a 时 f x 0 所以函数f x 的单调递增区间为 0 a 单调递减区间为 0 a 3 设函数g x f x 2x 且g x 在区间 2 1 内存在单调递减区间 求实数a的取值范围 反思归纳 已知函数单调性 求参数范围的两个方法 1 利用集合间的包含关系处理 y f x 在 a b 上单调 则区间 a b 是相应单调区间的子集 2 转化为不等式的恒成立问题来求解 即 若函数单调递增 则f x 0 若函数单调递减 则f x 0 提醒 f x 为增函数的充要条件是对任意的x a b 都有f x 0 应注意此时式子中的等号不能省略 否则漏解 即时训练 设函数f x x a eax a r 1 求函数f x 的单调区间 2 若函数f x 在区间 4 4 内单调递增 求a的取值范围 备选例题 答案 0 1 例2 已知函数f x x3 ax 1 1 讨论f x 的单调性 2 若f x 在r上为增函数 求实数a的取值范围 解 2 因为f x 在 上是增函数 所以f x 3x2 a 0在 上恒成立 即a 3x2对x r恒成立 因为3x2 0 所以只需a 0 又因为a 0时 f x 3x2 0 f x x3 1在r上是增函数 所以a 0 即a的取值范围为 0 类题探源精析把复杂的问题简单化 导函数图象与原函数图象的关系 教材源题 水以恒速 即单位时间内注入水的体积相同 注入下面四种底面积相同的容器中 请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象 解 1 b 2 a 3 d 4 c 方法总结若函数在某范围内导数的绝对值较大