竞赛模拟试题32.doc

竞赛模拟试题32一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1在直角坐标平面中，由不等式所限定的图形面积为（ ）. 2圆台的两底面半径分别为和，平行于底面的截面将圆台的侧面分成面积相等的两个部分，那么截面圆的半径是（ ）. 以上答案都不对3如果关于的方程至少有一个模等于1的根，那么实数的值有（ ）个.1个 2个 3个 4个4已知正实数，以及某个自然数，满足条件：，则的大小关系是（ ） 5若的展开式为，则的值为（ ）. 6方程的所有正整数解的组数是（ ）.1 3 5 7二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7设，函数在上是增函数，则的取值范围是 .8已知正三棱锥的侧棱长为,点在平面内的射影恰为的垂心,则三棱锥的体积的最大值为 .9满足的锐角 .10设函数满足，则 .11设，且，则抛物线被轴截得的弦长的取值范围是 .12有 个六位数，其中每一个中的任何一个数字均至少出现两次.三、解答题（每题20分，共60分）13过点作斜率为的直线交抛物线于两点，分别过点作抛物线的切线，两切线相交于点，求证：的取值与无关.14设是所有形如，且当时满足的多项式的集合.求证：必有某一个数，使得对所有的，都有，并求最小的.15. 已知函数，数列满足，且（），记数列的前项和为.（1）求证：； （2）求数列的通项公式.全国高中数学联赛全真模拟题一加试一、（本题满分50分）如图，将圆内接四边形的对边与,与分别延长交于、，又对角线与交于,为圆心，为半径.(1)求证：；(2)过作圆的切线,切点为,则、三点共线.二、（本题满分50分）已知实数，试求函数的最小值.三、（本题满分50分）一次数学竞赛共有道试题，考试的结果是每道题恰有4个学生解出，且任意两题均恰有1个学生同时解出.试求的最小值,使得总有一个学生解出全部题目.全国高中数学联赛全真模拟题一加试解答（2007年10月1日 10：0012：00）一、（本题满分50分）如图，将圆内接四边形的对边与,与分别延长交于、，又对角线与交于,为圆心，为半径.(1)求证：；(2)过作圆的切线,切点为,则、三点共线. 证明：(1)与延长线交于点，故线段上存在一点E,使得，也即P，A，D，E四点共圆，从而 10分又，则Q，C，D，E四点也共圆，从而 20分两式相加，得由圆幂定理，有，故.30分(2)三、（本题满分50分）一次数学竞赛共有道试题，考试的结果是每道题恰有4个学生解出，且任意两题均恰有1个学生同时解出.试求的最小值,使得总有一个学生解出全部题目.解：题目编号为1,2,n,记全体学生的集合为A.由(2),A有n个4元子集A1,A2,An (Ai的4个学生解出第i题).由(3),每两个不同的Ai有且只有1个公共元.10分 若有一个学生a属于5个子集Ai(不妨设是A1,A2,A3,A4,A5),则a必属于所有Ai,即他解出全部题目(反设有另一子集Aj不含a,则Aj应与A1,A2,A3,A4,A5各有一个不同于a的公共元,这5个公共元互不相同,得出|Aj|5,矛盾).20分 当n14时,A1Ai (i2)不少于13个,故必有一个aA1至少属于5个子集,从而属于所有Ai.30分 3n13时可按下表取适当的n列,满足题给条件