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第一章引论 1 1数值分析 数值计算方法 的研究对象 刘东毅天津大学数学系 实际问题或客观现象 数学模型如 y aebx 设计计算方案求解数学模型 数值结果 专业知识数学知识 微积分 计算方法等 计算方法 算法 计算机程序 根据算法 解释客观现象 专业知识数学知识 1 1数值分析的研究对象 数值分析研究对象相当广泛 涉及科学研究和工程实践中的一切计算问题以及有关的数学理论 本课程针对某些具体的数学模型 给出其具体的数值计算方法 并对这些方法的适用性做出理论分析和论证 1 2数值计算误差的基本知识 1 2 1误差的产生及其基本概念 1 误差的产生 或来源 模型误差 或描述误差 观测误差舍入误差 roundingerrors 截断误差 truncationerrors 在科学计算中 我们只能处理后两种误差 2 误差的基本概念 绝对误差定义1 设x 为准确值x的近似值 则称 若存在 则称为近似值x 的绝对误差限 为近似值x 的绝对误差 使得 由于准确值一定落在区间上 工程上常用来表示准确值x 用以标明近似值x 的精确度或准确值x所在区间的范围 相对误差 定义2 设x 为准确值x的近似值 则称为 近似值x 的相对误差 称为近似值x 的相对误差 若存在 0 使得 则称 为近似值x 的相对误差限 有效数字 由于近似值x 可以写成 十进制计数法 m为整数 a1 0 若x 的最后一位是由x经四舍五入得到的 则 注 真值x可以写成 定义3 若准确值x的近似值x 可以写成 1 2 6 式的形式 且其绝对误差限为 则称近似值x 具有n位有效数字 最后给出绝对误差 相对误差和有效数字三者之间关系的定理 定理1 设准确值x的近似值x 可以写成式 1 2 6 的形式 其相对误差限为 则x 的有效位数与具有以下关系 若x 有n位有效数字 则 若 则x 至少具有n位有效数字 证明 由 1 2 6 知 于是 若x 具有n位有效数字 则 所以 反之 若 则 所以x 至少具有n位有效数字 1 2 2避免误差增大的若干原则 尽量避免两个相近数进行减法运算 简化计算步骤 以减少算术运算的次数 防止出现机器零和数据溢出现象 并保证某些重要的物理量不被 吃掉 注意所谓的函数值的 坏条件 计算函数值的坏条件判别法 考虑C1 a b 中的函数 如果在计算过程中x的近似值为x 绝对误差为E x 则f x 近似f x 的绝对误差E f x 与E x 关系如何 记 则 如果M很小 比如小于1 则自变量的微小变动引起的函数值的变动更小 这正是我们所希望的 但 由微分中值定理知 例如 则 故f x 在点x 0的计算是坏条件的 这里隐含的条件是n很大 如果存在某一点 使得很大 我们就称f x 在点x0的计算是坏条件的 f x 近似f x 的相对误差Er f x 与Er x 关系如何 记x相对误差为Er x 则f x 相对误差为 记 当它很大时 称函数f x 在点x的计算在相对误差意义下是坏条件的 即f x 相对误差与Er x 关系为 1 3数值稳定性 定义1 对于某一给定的算法 algorithm 如果在运算过程中舍入误差在一定条件下能够得到控制 不会对计算结果产生较大的影响 则称该算法是数值稳定的 否则 如果舍入误差得不到有效的控制 使得计算结果与问题的理论解之间产生较大的偏差 则称该算法是数值不稳定的 算法 algorithm 数值稳定性的另一个定义 定义2 对于某一给定的算法 algorithm 原始数据的误差为 0 舍入误差 且假设在运算过程中的其他误差都是 0由引起的 如果误差在一定条件下能够得到控制 即数值计算结果的误差至多是原始数据误差 0的同阶无穷小量 则称该算法是数值稳定的 否则称该算法是数值不稳定的 习题1 4 证明的相对误差约为x的相对误差的一半 P12 解 设x 为真值x的近似 则 解 因为 所以 由于 根据定理1 2 1知至少应具有四位有效数字 习题1 5 已知的近似值的相对误差不大于0 01 试问至少应具有几位有效数字 P12 习题1 3 设 当时 若已知y的绝对误差限为 试估计自变量x的相对误差及有效数字 P12 解 设a为真值 由微分中值定理知 于是 令 即 则 所以 根据定理1 2 1知x至少应具有n位有效数字 习题1 6 方程的常数项应取几位有效数字 才能使方程的根有四位准确数字 P12 解 设x 为方程的根x的近似值 即x 满足原方程的近似方程 于是有 再由 知 从而有 所以要使方程的根有四位准确数字 需要 亦需要 由定义1 2 3知ln2 至少 应取5位有效数字 本章小结 误差的产生及其基本概念绝对误差相对误差有效数字掌握分析误差的基本方法 中值定理数值稳定性课后复习 温习 高等数学 与 线性代数 模型误差 对问题的描述或数学模型的建立 往往是在理想化 抽象化的基础上 忽略一些次要因素 这便与实际问题产生了误差 模型误差 观测误差 在建立数学模型和在实际计算中所使用的数据 往往是实验的结果或测量给出的 因而这些数据与真实数据之间必有一定的误差 观测误差 舍入误差 各种计算是通过计算工具来实现的 如计算机 而机器能处理的数一般表示为16位 32位或64位等的二进制数 因此任何一个实数只能表示为有限位数 二者之间存在着一个误差 舍入误差 截断误差 计算过程中经常遇