高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第2讲 空间点、线、面之间的位置关系课件 理.ppt

第2讲空间点 线 面之间的位置关系 考试要求1 平面的基本性质及其简单应用 证明一些空间图形的位置关系的简单命题 a级要求 2 空间点 线 面的位置关系 a级要求 知识梳理 1 平面的公理与定理 1 公理1 如果一条直线上的在一个平面内 那么这条直线在此平面内 2 公理2 过的三点 有且只有一个平面 三个推论推论1 经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面 推论2 经过两条直线有且只有一个平面 推论3 经过两条直线有且只有一个平面 不在同一条直线上 两点 相交 平行 2 空间中两直线的位置关系 平行 相交 任何 3 公理3 如果两个不重合的平面有公共点 那么它们有且只有一条过该点的公共直线 4 公理4 平行于的两条直线互相平行 5 等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行 那么这两个角 一个 同一条直线 相等或互补 3 空间直线与平面 平面与平面的位置关系 1 直线与平面的位置关系有 三种情况 2 平面与平面的位置关系有 两种情况 相交 平行 在平面内 平行 相交 锐角 或直角 诊断自测 1 判断正误 在括号内打 或 1 圆心和圆上两点可以确定一个平面 2 如果两个不重合的平面 有一条公共直线a 就说平面 相交 并记作 a 3 两个平面 有一个公共点a 就说 相交于过a点的任意一条直线 4 已知a b c d是四条直线 若a b b c c d 则a d 5 两条直线a b没有公共点 则a与b是异面直线 2 已知a b是异面直线 直线c平行于直线a 那么关于c与b位置关系 下列说法正确的是 填序号 一定是异面直线 一定是相交直线 不可能是平行直线 不可能是相交直线 解析由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线 但不可能为平行直线 若b c 则a b 与已知a b为异面直线相矛盾 答案 3 下列命题中正确的序号为 经过三点确定一个平面 梯形可以确定一个平面 两两相交的三条直线最多可以确定三个平面 如果两个平面有三个公共点 则这两个平面重合 解析经过不共线的三点可以确定一个平面 不正确 两条平行线可以确定一个平面 正确 两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面 正确 命题 中没有说明三个交点是否共线 不正确 答案 4 2015 广东卷改编 若直线l1和l2是异面直线 l1在平面 内 l2在平面 内 l是平面 与平面 的交线 则下列命题 l与l1 l2都不相交 l与l1 l2都相交 l至多与l1 l2中的一条相交 l至少与l1 l2中的一条相交 其中真命题是 填写所有真命题的序号 解析如图1 l1与l2是异面直线 l1与l平行 l2与l相交 故 不正确 如图2 l1与l2是异面直线 l1 l2都与l相交 故 不正确 故填 答案 5 苏教版必修2p29例1改编 在正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别是棱a1b1 a1d1的中点 则a1b与ef所成角的大小为 考点一平面基本性质的应用 例1 如图所示 在正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别是ab和aa1的中点 求证 1 e c d1 f四点共面 2 ce d1f da三线共点 证明 1 连接ef cd1 a1b e f分别是ab aa1的中点 ef ba1 又a1b d1c ef cd1 e c d1 f四点共面 2 ef cd1 ef cd1 ce与d1f必相交 设交点为p 则由p ce ce 平面abcd 得p 平面abcd 同理p 平面add1a1 又平面abcd 平面add1a1 da p 直线da ce d1f da三线共点 规律方法公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据 公理2及其推论是判断或证明点 线共面的依据 公理3是证明三线共点或三点共线的依据 要能够熟练用文字语言 符号语言 图形语言来表示公理 训练1 如图所示是正方体和正四面体 p q r s分别是所在棱的中点 则四个点共面的图形的序号是 解析可证 中的四边形pqrs为梯形 中 如图所示 取a1a和bc的中点分别为m n 可证明pmqnrs为平面图形 且pmqnrs为正六边形 中 可证四边形pqrs为平行四边形 中 可证q点所在棱与面prs平行 因此 p q r s四点不共面 答案 考点二空间两条直线的位置关系 例2 1 在图中 g n m h分别是正三棱柱 两底面为正三角形的直棱柱 的顶点或所在棱的中点 则表示直线gh mn是异面直线的图形有 填上所有正确答案的序号 2 如图是正四面体的平面展开图 g h m n分别为de be ef ec的中点 在这个正四面体中 gh与ef平行 bd与mn为异面直线 gh与mn成60 角 de与mn垂直 以上四个命题中 正确命题的序号是 解析 1 图 中 直线gh mn 图 中 g h n三点共面 但m 面ghn 因此直线gh与mn异面 图 中 连接mg gm hn 因此gh与mn共面 图 中 g m n共面 但h 面gmn 因此gh与mn异面 所以图 中gh与mn异面 2 把正四面体的平面展开图还原 如图所示 gh与ef为异面直线 bd与mn为异面直线 gh与mn成60 角 de mn 答案 1 2 规律方法空间中两直线位置关系的判定 主要是异面 平行和垂直的判定 对于异面直线 可采用直接法或反证法 对于平行直线 可利用三角形 梯形 中位线的性质 平行公理及线面平行与面面平行的性质定理 对于垂直关系 往往利用线面垂直的性质来解决 训练2 如图 已知不共面的三条直线a b c相交于点p a a b a c b d c 求证 ad与bc是异面直线 证明法一 反证法 假设ad和bc共面 所确定的平面为 那么点p a b c d都在平面 内 直线a b c都在平面 内 与已知条件a b c不共面矛盾 假设不成立 ad和bc是异面直线 法二 直接证法 a c p 它们确定一个平面 设为 由已知c 平面 b 平面 bc 平面 ad 平面 b ad ad和bc是异面直线 考点三异面直线所成的角 例3 已知三棱锥a bcd中 ab cd 且直线ab与cd所成的角为60 点m n分别是bc ad的中点 求直线ab和mn所成的角 解法一如图 取ac的中点p 连接pm pn 则pm ab 且pm ab pn cd 且pn cd 所以 mpn 或其补角 为ab与cd所成的角 则 mpn 60 或 mpn 120 若 mpn 60 因为pm ab 所以 pmn 或其补角 是ab与mn所成的角 又因为ab cd 所以pm pn 则 pmn是等边三角形 所以 pmn 60 即ab与mn所成的角为60 若 mpn 120 则易知 pmn是等腰三角形 所以 pmn 30 即ab与mn所成的角为30 综上直线ab和mn所成的角为60 或30 法二由ab cd 可以把该三棱锥放在长方体aa1bb1 c1cd1d中进行考虑 如图 由m n分别是bc ad的中点 所以mn aa1 即 baa1 或其补角 为ab与mn所成的角 连接a1b1交ab于o 所以a1b1 cd 即 aoa1 或其补角 为ab与cd所成的角 所以 aoa1 60 或120 由矩形aa1bb1的性质可得 baa1 60 或30 所以直线ab和mn所成的角为60 或30 规律方法求异面直线所成的角常用方法是平移法 平移的方法一般有三种类型 利用图中已有的平行线平移 利用特殊点 线段的端点或中点 作平行线平移 补形平移 训练3 若例3中的条件 ab与cd成60 的角 改为 ab cd 其余条件不变 求直线ab与mn所成的角 思想方法 1 主要题型的解题方法 1 要证明 线共面 或 点共面 可先由部分直线或点确定一个平面 再证其余直线或点也在这个平面内 即 纳入法 2 要证明 点共线 可将线看作两个平面的交线 只要证明这些点都是这两个平面的公共点 根据公理3可知这些点在交线上或选择某两点确定一条直线 然后证明其他点都在这条直线上 2 判定空间两条直线是异面直线的方法 1 判定定理 平面外一点a与平面内一点b的连线和平面内不经过该点b的直线是异