浙江省温州市瓯海区三溪中学高中数学 3.4.1基本不等式导学案（无答案）新人教A版必修5.doc

3.4.1 基本不等式【学习目标】能够叙述发现基本不等式的过程；会用多种方法证明基本不等式；能够举例说明基本不等式在解决简单的最值、不等式证明、比较大小、求取值范围等问题方面的应用；3通过运用基本不等式解决实际应用性问题，提高应用数学手段解决实际问题的能力与意识【重点难点】基本不等式的证明与应用【学习过程】一、自主学习： 如图3-4-1-1是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？二、合作探究归纳展示 (一)命题的探究图34-1-1观察图3-4-1-1思考： （1）上图中有几个直角三角形？它们全等吗？图中有几个正方形？大小如何？（2）假设直角三角形直角边分别为a、b则外正方形边长=_;4个直角三角形面积之和=_；外正方形面积=_；四个直角三角形面积之和与外正方形面积大小关系如何？用不等式表示为：_ _；（教材p97）（3）假设直角三角形变为等腰直角三角形即直角边a=b时，图形内部小正方形变成什么？此时外正方形边长=_;4个直角三角形面积之和=_；外正方形面积=_；四个直角三角形面积之和与外正方形面积大小关系如何？用等式表示为：_；（4）综上，四个直角三角形面积之和与外大正方形面积的大小关系如何？用一个不等式表示：_（5）如果 a 0且b 0 用 和代替不等式中的a、b上不等式可变形为 _ _； （） 我们称的算术平均数，称的几何平均数，因而，此不等式又可叙述为：_对于不等式（*）我们是几何图形的面积关系得出的，我们再从图3.4-1-2 观察它的几何意义。观察思考图3.4-1-2是以长为a+b的线段为直径作圆，在直径ab上取点c，使ac=a，cb=b过点c作垂直于直径ab的弦dd思考：1圆的半径r=_；2. 连接ad、bd，则abd是直角三角形吗？acd与bcd相似吗？ 用a、b表示半弦cd=_； 3. 圆的半径r与半玹cd大小关系如何?什么时候才能相等？用一个不等式表示：_;4用一句话描述半径与半玹的不等关系：_。5如果把看作是正数a、b的等差中项，看作是正数a、b的等比中项，那么该定理可以叙述为：_。归纳概括由上面的探究，一般的，当a 0且b 0时有不等式：_，我们把这个不等式叫做基本不等式（又叫均值不等式）（教材p98公式（）(二)命题的证明证法一：x，yr，(xy)0, 当且仅当_时，等号成立令x=, y=,所以xy_ ,当且仅当_时，等号成立 评析 证明一是从一个已知成立的不等式x，yr，(xy)0出发推导出要证的不等式，这种证明的方法叫做“综合法”。你能从哪个已知成立的不等式出发来证明这个不等式？三、讨论交流点拨提升想一想：与 适用的范围，a,b有什么不同？_练一练：1.正数a=1，b=9则a、b的算术平均数_；几何平均数_；大小如何？2.正数a=6，b=6则a、b的算术平均数_；几何平均数_；大小如何？3.正数a=1，b=9则a、b的等差中项_；等比中项_；大小如何？4.正数a=4，b=4则a、b的等差中项_；_；大小如何？ 5.试根据均值不等式写出下列变形形式，并注明所需条件（1） ( ) （2） （ ）（3） （ ） （4）ab （ ） （5） （ ）(x0)基本不等式的拓展命题的应用例1（直接利用基本不等式） 教材p99例1，例2四、学能展示课堂闯关（1）都是正数，求证：2（2）(3) 五、学后反思1.本节课推导并证明均值不等式的