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线性代数习题2一、单项选择题1、设都是阶方阵，且，则下列一定成立的是（ ）。（A）或 （B）都不可逆 （C）中至少有一个不可逆 （D）2、向量组线性相关的充分必要条件是（ ）。（A）中含有零向量（B）中有两个向量的对应分量成比例（C）中每一个向量都可由其余个向量线性表示（D）中至少有一个向量可由其余个向量线性表示3、设A为可逆n阶方阵，则=（ ）。（A） （B）A（C） （D）4、下列矩阵中哪一个是初等矩阵（ ）。（A） （B）（C） （D）5.设1，2，3，4 是三维实向量，则（ ）。（A） 1，2，3，4一定线性无关（B）1一定可由2，3，4线性表出（C）1，2，3，4一定线性相关（D）1，2，3一定线性无关6.向量组1=（1，0，0），2=（1，1，0），3=（1，1，1）的秩为（ ）。（A）1（B）2（C）3（D）47.设A是46矩阵，r（A）=2，则齐次线性方程组Ax=0的基础解系中所含向量的个数是（ ）。（A）1（B）2（C）3（D）4二、填空题1、若齐次线性方程组只有零解，则应满足_。 2、三阶方阵的特征值为1，-1，2，且，则的特征值为_。3、若n阶方阵满足关系式，若其中是单位阵，那=_。4.设阶方阵与相似，且，则。三、计算题1、设矩阵，求的秩。2、解矩阵方程，其中 ，。3.试用配方法化下列二次型为标准形 f(x1,x2,x3)=，并写出所用的满秩线性变换。四、解答题1. 用正交变换法化二次型为标准型，并求出正交变换。2.设0是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解，1，2是其导出组Ax=0的一个基础解系。试证明：（1）1=0+1，2=0+2均是Ax=b的解； （2）0，1，2线性无关。线性代数习题2答案 一、单项选择题题号1234567答案CDDBCCD二、填空题1、2、-4，-6，-12 3、 4、B三、计算题 1、 2、 3. 解 f(x1，x2，x3)=（x1+2x2-2x3）2-2x22+4x2x3-7x32=（x1+2x2-2x3）2-2（x2-x3）2-5x32. 设， 即， 因其系数矩阵C=可逆，故此线性变换满秩。 经此变换即得f(x1，x2，x3)的标准形 y12-2y22-5y32 . 四、解答题1. 特征值为， 特征向量为 ， 正交单位化为 ， 标准型为 正交变换为 2. 证 由假设A0=b，A1=0，A2=0.（1）A1=A（0+1）=A0+A1=b，同理A2= b，所以1，2是Ax=b的2个解。 （2）考虑l00+l11+l22=0，即 （l0+l1+l2）0+l11+l22=0.则l0+l1+l2=0，否则0将是Ax=0的解，矛盾。所以l11+l22=0.
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