趣味数学第三课时教案.doc

趣味数学第三课时教案教学内容：麦比乌斯圈教学目标：（一）知识目标：认识麦比乌斯圈，明白它是怎样得到的，它的独特之处和应用时的优越之处。（二）能力目标：能通过对麦比乌斯圈的了解，打开数学思路，发散思维，通过好的思想解决实际生活中的问题，（三）情感态度价值观目标：使学生能够通过对麦比乌斯圈的认识和了解发现数学的神奇之处和趣味，从而激发数学学习的热情，尽量多的去关注生活中的数学，体会数学的思想在生活中无处不在。教学重点：麦比乌斯带在实际应用时的优越之处。教学难点：麦比乌斯带得来时的思想。教学内容：麦比乌斯带的介绍麦比乌斯带也叫麦比乌斯圈，是一种单侧，不可定向的曲面。因麦比乌斯发现而得名。将一个长方形纸条ABCD的一端AB固定，另一端DC扭转半周后，把AB和CD粘合在一起，得到的曲面就是麦比乌斯带也叫做麦比乌斯圈。数学上流传着这样一个故事，有人曾经提出，先用一张长方形的纸条，首尾相粘，做成一个纸圈，然后只允许用一种颜色，在纸圈上的一面涂抹，最后把整个纸圈全部抹成一种颜色，不留下任何空白。这个纸圈应该怎样粘？如果是纸条的首尾相粘做成的纸圈有两个面，势必要涂完一个面再重新涂另外一个面，不符合涂抹的要求，能不能做成只有一个面，一条封闭曲线做边界的纸圈呢？对于这样一个看起来十分简单的问题，数百年间，曾有许多科学家进行了认真的研究，结果都是没有成功。后来德国的数学家麦比乌斯对此发生了浓厚兴趣，他长时间专心思索、试验，也毫无结果。有一天，他被这个问题弄的头昏脑胀了，便到野外去散步。新鲜的空气，清凉的风，使他顿时感到轻松舒适，但他的头脑里仍然只有那个尚未找到的圈，一片片肥大的玉米叶子，在他眼里变成了“绿色的纸条儿”，他不由自主地蹲下去，摆弄着，观察着。叶子弯曲着耸搭下来，有许多扭成半圆形的，他随便撕下一片，顺着叶子自然扭的方向对接成一个圆圈儿，他惊喜得发现，这“绿色的圆圈儿”就是他梦寐以求的那种圆圈。麦比乌斯回到办公室，裁出纸条，把纸的一端扭转180度，再将一端的正面和背面粘在一起，这样就做成了只有一个面的纸圈儿。圆圈做成后，麦比乌斯捉了一只小甲虫，放在上面让它爬，结果，小甲虫不翻越任何边界就爬遍了圆圈儿的所有部分。麦比乌斯激动地说：“公正的小甲虫，你无可辩驳的证明了这个圈儿只有一个面。”麦比乌斯圈就这样被发现了.做几个简单的实验，就会发现“麦比乌斯圈”有许多让我们惊奇有趣的结果。你弄好一个圈，粘好绕一圈后可以发现，另一个面的入口被堵住了，原理就是这样的。实验一如果在裁好的一张纸条正中间画一条线，粘成“麦比乌斯圈”，再沿线剪开，把这个圈一分为二，照理应得到两个圈儿，奇怪的是吗，剪开后竟然得到的是一个大圈。实验二如果在纸条上画两条线，把纸条三等分，在粘成“麦比乌斯圈”用剪刀沿划线剪开，剪刀绕两个圈竟然又回到原出发点，猜一猜，剪开后的结果是什么，是一个大圈？还是三个圈儿？都不是。它究竟是什么呢？你自己动手做这个实验就知道了，你会惊奇的发现，纸带不一分为二，而是一大一小相扣的环。有趣的是：新得到的这个较长的圈，本身确是一个双侧曲面，他的两条边界自身虽不打结，但却相互套在一起，我们可以把上述纸圈，再一次沿中线剪开这回真的一分为二了，得到的是两条互相套着的纸圈，而原先的两条边界，则分别包含于两条纸圈之中，只是每条纸圈本身并不打结罢了。关于麦比乌斯圈的单侧性，可如下直观的了解，如果给麦比乌斯圈着色，色笔始终沿曲面移动，且不越过他的边界，最后可把麦比乌斯圈两面均匀的涂上颜色，即区分不出来何是正面，何是反面。对圆柱面则不同，在一侧着色不通过边界不可能对另一侧也着色。“麦比乌斯带”有点神秘，一时又派不上用场但是人们还是根据它的特性编出了一些故事，据说有一个小偷偷了一位很老实的农民的东西，并被当场捕获，将小偷送到县衙，县官发现小偷正是自己的儿子，于是在一张纸的正面写上：小偷应当放掉，而在纸的反面写上：农民应当关押，县官将纸条交给执事官由他去办理，聪明的执事官将纸条扭了个弯，用手指将两端捏在一起。然后向大家宣布：根据县太爷的命令放掉农民，关押小偷。县官听了大怒，责问执事官，执事官将纸条捏在纸上给县官看，从“应当”二字读起，确实没错，仔细观察字迹，也没有涂改，县官不知其中奥秘，只好自认倒霉。县官知道执事官在纸条上做了手脚，怀恨在心，伺机报复，一日，又拿了一张纸条，要执事官一笔将正反两面涂黑，否则将其拘役，执事官不慌不忙的把纸条扭了一下，粘住两端，提笔在纸上一划，又拆开两端，只见纸条正反两面均涂上黑色，县官的毒计又落空了，现实可能根本不会发生这样的故事，但是这个故事却很好的反映出麦比乌斯带的特点。一个利用参数方程式创造出立体莫比乌斯带的方法： 用Matlab描绘的莫比乌斯带2x(u,v)=1+v/2cos（u/2）cos(u) y(u,v)=1+v/2cos（u/2）sin(u) z(u,v)=v/2sin(u/2) 其中0u2且-1v1 。.这个方程组可以创造一个边长为1半径为1的莫比乌斯带