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21. 等比数列的前项和【教学建构】阅读材料 HPM（International Study Group on the Relations between History and Pedagogy of Mathematics，简称HPM）视角下的等比数列求和问题：1. 数学史上，等比数列或许比等差数列出现得更早. 约在公元前3000年，巴比伦人就已经总结出等比数列， 的求和公式：；2. 在古埃及的莱因德纸草上，我们见到这样一张表：1 2801 房屋 72 5602 猫 494 11204 老鼠 343 19607 麦穗 2401 容积 16807 总数 196073. 直到今天，英国童谣还有类似的问题： 我赴圣地伊夫斯，路遇一男携七妻；一妻各把七袋负，一袋各装七猫咪；猫咪生子数又七，几多同去伊夫斯？4. 1517世纪的俄国数学家手稿中也有同样性质的问题：有40个城市，每个城市有40条街道，每条街道有40座房子，每座房子里有40根柱子，每根柱子有40个圆环，每个圆环上有40匹马，每匹马上坐着40个人，每个人手中拿着40根马鞭，统统算在一起共有多少？ 一般地，如果是等比数列，且公比为，如何计算它的前项和呢？探究1 以古巴比伦的案例作为切入点，如何计算？猜想 的结果是什么？并验证你的猜想建构数学一般地，等比数列前n项和公式为_ 探究2 （1）由前面的证明过程，分析这一思路正是用等比数列的重要性质，出现众多公共项，我们把这种方法叫错位相减法那么与是否可以起到同样的化简效果？（2）错位相减法的本质是什么？探究3 对于公比不为1的等比数列的前n项求和，有没有其他的证明方法？阅读材料（1）埃及人的证明方法：，故（2）欧几里得几何原本的证明方法：设有等比数列的公比，则可得，由分比定律：再由合比定律，我们有，故.探究4 （1）等比数列前项求和公式的函数意义是什么？（2）一般地，如果一个数列的前项和为（其中为常数），那么这个数列一定是等比数列吗？例1 在等比数列中，（1）已知，求；（2）已知，求.例2 在等比数列中，已知，求.变式 在等比数列中，已知，则思考 能
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