高考数学一轮复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 4.2 平面向量的基本定理及向量坐标运算课件 理.ppt

第二节平面向量的基本定理及向量坐标运算 知识梳理 1 平面向量基本定理 1 定理 如果e1 e2是同一平面内的两个 向量 那么对于这一平面内的任意向量a 有且只有一对实数 1 2 使a 2 基底 的向量e1 e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 不共线 1e1 2e2 不共线 2 平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中 分别取与x轴 y轴方向相同的两个单位向量i j作为基底 该平面内的任一向量a可表示成a xi yj 由于a与数对 x y 是一一对应的 把有序数对 x y 叫做向量a的坐标 记作a 其中a在x轴上的坐标是x a在y轴上的坐标是y x y 3 平面向量的坐标运算 x1 x2 y1 y2 x1 x2 y1 y2 x y x2 x1 y2 y1 4 向量共线的坐标表示若a x1 y1 b x2 y2 则a b 0 x1y2 x2y1 特别提醒 1 三点共线与向量共线的关系设是平面内不共线的向量 若存在实数 1 2使则当 1 2 1时 a b c三点共线 反之 当a b c三点共线时 1 2 1 特别地 当 1 2 时 c是a与b的中点 2 两个向量作为基底的条件作为基底的两个向量必须是不共线的 小题快练 链接教材练一练1 必修4p101习题2 3a组t5改编 已知向量a 2 3 b x 6 共线 则实数x的值为 a 3b 3c 4d 4 解析 选c 因为向量a 2 3 b x 6 共线 所以2 6 3x 0 即x 4 2 必修4p99例8改编 设p是线段p1p2上的一点 若p1 1 3 p2 4 0 且p是p1p2的一个三等分点 则点p的坐标为 a 2 2 b 3 1 c 2 2 或 3 1 d 2 2 或 3 1 解析 选d 由题意得或 3 3 设p x y 则 x 1 y 3 当时 x 1 y 3 3 3 所以x 2 y 2时 即p 2 2 当时 x 1 y 3 3 3 所以x 3 y 1 即p 3 1 感悟考题试一试3 2014 广东高考 已知向量a 1 2 b 3 1 则b a a 2 1 b 2 1 c 2 0 d 4 3 解析 选b b a 3 1 1 2 2 1 4 2015 全国卷 设d为 abc所在平面内一点 则 解析 选a 由题知 5 2015 成都模拟 在 abcd中 ac为一条对角线 2 4 1 3 则向量的坐标为 解析 设 x y 因为所以 1 3 2 4 x y 所以即所以 1 1 所以 1 1 2 4 3 5 答案 3 5 考向一平面向量基本定理及其应用 典例1 1 如果e1 e2是平面内一组不共线的向量 那么下列四组向量中 不能作为平面内所有向量的一组基底的是 a e1与e1 e2b e1 2e2与e1 2e2c e1 e2与e1 e2d e1 2e2与 e1 2e2 2 2016 福州模拟 在 abc中 点p是ab上一点 且 q是bc的中点 aq与cp的交点为m 又则实数t的值为 解题导引 1 利用基底的概念来逐一判断 2 首先利用条件确定p点的位置 再利用平面向量基本定理确定基底 从而联立方程得t 规范解答 1 选d 选项a中 设e1 e2 e1 则无解 选项b中 设e1 2e2 e1 2e2 则无解 选项c中 设e1 e2 e1 e2 则无解 选项d中 e1 2e2 e1 2e2 所以两向量是共线向量 2 因为所以即所以即p为ab的一个三等分点 靠近a点 又因为a m q三点共线 设 所以又故解得故t的值是答案 母题变式 1 在本例 2 中 试用向量表示 解析 因为所以即所以 2 在本例 2 中 试问点m在aq的什么位置 解析 由 2 的解析及 知 因此点m是aq的中点 规律方法 应用平面向量基本定理的关键点 1 基底必须是两个不共线的向量 2 选定基底后 通过向量的加 减 数乘以及向量平行的充要条件 把相关向量用这一组基底表示出来 3 强调几何性质在向量运算中的作用 用基底表示未知向量 常借助图形的几何性质 如平行 相似等 提醒 在基底未给出的情况下 合理地选取基底会给解题带来方便 变式训练 如图 已知 ocb中 a是cb的中点 d是将分成2 1的一个内分点 dc和oa交于点e 设 1 用a和b表示向量 2 若求实数 的值 解析 1 由题意知 a是bc的中点 且 由平行四边形法则 得所以 2 由题意知 故设因为所以因为a与b不共线 由平面向量基本定理 得解得故 加固训练 1 2015 广州模拟 设a是已知的平面向量且a 0 关于向量a的分解 有如下四个命题 给定向量b 总存在向量c 使a b c 给定向量b和c 总存在实数 和 使a b c 给定单位向量b和正数 总存在单位向量c和实数 使a b c 给定正数 和 总存在单位向量b和单位向量c 使a b c 上述命题中的向量b c和a在同一平面内且两两不共线 则真命题的个数是 a 1b 2c 3d 4 解析 选b 对于 因为a与b给定 所以a b一定存在 可表示为c 即c a b 故a b c成立 正确 对于 因为b与c不共线 由平面向量基本定理可知 正确 对于 以a的终点为圆心 以 为半径作圆 这个圆必须和向量 b有交点 这个不一定满足 故 错误 对于 由向量加法的三角形法则 不共线两边的和大于第三边 即必有 b c a 而给定的 和 不一定满足此条件 所以 是假命题 2 若a与b不共线 已知下列各组向量 a与 2b a b与a b a b与a 2b a b与a b 其中可以作为基底的是 只填序号即可 解析 因为a与b不共线 所以 对于 显然a与 2b不共线 对于 假设a b与a b共线 则存在实数 使a b a b 则 1且 1 由此得 1且 1矛盾 故假设不成立 即a b与a b不共线 同理 对于 a b与a 2b也不共线 对于 a b a b 故a b与a b共线 由基向量的定义知 都可以作为基底 不可以 答案 3 如图 在梯形abcd中 ad bc 且ad bc e f分别为线段ad与bc的中点 设 试用a b为基底表示向量 解析 考向二平面向量的坐标运算 典例2 1 2015 江苏高考 已知向量a 2 1 b 1 2 若ma nb 9 8 m n r 则m n的值为 2 向量a b c在正方形网格中的位置如图所示 若c a b r 则 解题导引 1 利用向量坐标的运算法则及向量坐标的唯一性列方程组求解 2 结合图形建立适当的平面直角坐标系 利用平面向量的坐标运算及平面向量基本定理列方程组求解 规范解答 1 因为a 2 1 b 1 2 所以ma nb m 2 1 n 1 2 2m n m 2n 又因为ma nb 9 8 所以解得所以m n 3 答案 3 2 以向量a b的交点为原点 原点向右的方向为x轴正方向 正方形网格的边长为单位长度建立直角坐标系如图 则a 1 1 b 6 2 c 5 1 所以a 1 1 b 6 2 c 1 3 根据c a b得 1 3 1 1 6 2 即解得 2 所以 4 答案 4 母题变式 1 在本例题 2 中 试用a c表示b 解析 建立本例 2 规范解答中的平面直角坐标系 则a 1 1 b 6 2 c 1 3 设b xa yc 则 6 2 x 1 1 y 1 3 即解得故b 4a 2c 2 在本例题 2 中以a b的交点为原点 原点向右的方向为x轴的正方向 正方形网格的边长为单位长度建立直角坐标系 若a m b 试求m的坐标 解析 在本例 2 规范解答中所建的平面直角坐标系下a 1 1 b 6 2 因为a m b 所以m b a 6 2 1 1 7 1 易错警示 解答本例 2 会出现以下错误 在其规范解答中所建的平面直角坐标系下 忽视向量的方向 误得a 1 1 从而导致解答出错 规律方法 平面向量坐标运算的技巧 1 利用向量加 减 数乘运算的法则来进行求解 若已知有向线段两端点的坐标 则应先求向量的坐标 2 解题过程中 常利用向量相等则其坐标相同这一原则进行转化 通过列方程 组 来进行求解 变式训练 2016 广州模拟 已知a b c三点的坐标分别为 1 0 3 1 1 2 并且 1 求点e f的坐标 2 求证 解析 1 设e f两点的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 则依题意 得所以所以 x1 y1 1 0 x2 y2 3 1 所以 x1 y1 x2 y2 所以点e的坐标为点f的坐标为 2 由 1 知 x1 y1 x2 y2 所以 x2 y2 x1 y1 又 4 1 即所以 加固训练 1 2016 海淀模拟 设向量a b 则a 3b a 3 b 3 c 1 0 d 3 0 解析 选d 因为a b 所以a 3b 3 0 2 2016 临沂模拟 在 abc中 点p在bc上 且点q是ac的中点 若 4 3 1 5 则等于 a 6 21 b 2 7 c 6 21 d 2 7 解析 选a 如图 1 5 4 3 3 2 1 5 3 2 2 7 6 21 3 已知点a 1 2 b 2 8 以及求点c d的坐标和的坐标 解析 设点c d的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 得 x1 1 y1 2 3 6 1 x2 2 y2 3 6 因为所以有和解得和所以点c d的坐标分别是 0 4 2 0 从而 2 4 考向三平面向量共线的坐标运算 考情快递 考题例析 命题方向1 利用向量共线的坐标运算求参数的值 典例3 2015 四川高考 设向量a 2 4 与向量b x 6 共线 则实数x a 2b 3c 4d 6 本题源于教材a版必修4p101a组t5 解题导引 直接利用向量共线的坐标运算公式列方程求解 规范解答 选b 由向量平行的坐标运算可知 2 6 4x 则x 3 典例4 2014 陕西高考 设0 向量a sin2 cos b cos 1 若a b 则tan 解题导引 根据向量平行的坐标运算公式及三角函数化简求解 命题方向2 利用向量共线的坐标运算求三角函数值或角 规范解答 由a b得sin2 cos2 0 即2sin cos cos2 又0 cos 0 所以2sin cos 可得tan 答案 技法感悟 1 根据向量共线的坐标运算求参数的值的一般思路利用向量共线转化为含参数的方程 解方程可求参数 2 利用向量共线的坐标运算求三角函数值或角的一般思路利用向量共线的坐标运算转化为三角方程 再利用三角恒等变换求解 题组通关 1 2016 郑州模拟 已知向量 k 12 4 5 k 10 且a b c三点共线 则k的值是 解析 选a 4 k 7 2k 2 因为a b c三点共线 所以共线 所以 2 4 k 7 2k 解得 2 2016 大同模拟 已知向量a 1 sin 1 b 1 sin 若a b 则锐角 等于 a 30 b 45 c 60 d 75 解析 选b 由a b得 1 sin 1 sin 1 0 解得sin 又 为锐角 所以 45 3 2016