高考数学二轮复习 专题二 函数与导数 第5讲 利用导数研究不等式恒成立及相关问题课件 理.pptVIP

第5讲利用导数研究不等式恒成立及相关问题 考向分析 核心整合 热点精讲 阅卷评析 考向分析 考情纵览 真题导航 2 证明 f x 1 2 2014新课标全国卷 理21 已知函数f x ex e x 2x 1 讨论f x 的单调性 2 设g x f 2x 4bf x 当x 0时 g x 0 求b的最大值 解 1 f x ex e x 2 0 等号仅当x 0时成立 所以f x 在 上单调递增 3 2013新课标全国卷 理21 已知函数f x ex ln x m 1 设x 0是f x 的极值点 求m 并讨论f x 的单调性 2 当m 2时 证明f x 0 备考指要 1 怎么考导数的综合应用是高考命题的重点与热点 每年高考都会考查这一知识点 具有一定的难度与灵活性 从知识层面上看 一般考查导数在其他知识中的应用 突出导数的工具性 其中主要包括 1 利用导数研究多项式函数 幂函数 分式函数 以e为底的对数和指数函数的性质及求参数等综合问题 2 求最值 以实际问题中的最优化问题形式呈现 3 把导数与函数 方程 不等式 数列等结合综合考查 从题目的结构层次上看 常以解答题的形式呈现 第一问一般以抽象导函数值 抽象函数值 切线方程 极值为背景求函数的解析式 或给定参数的值求函数单调区间问题 较为简单 第二问均为和不等式相联系 考查由不等式恒成立求参数的取值范围或参数的最值问题 证明不等式等综合问题 常以压轴题出现 具有一定的难度 2 怎么办复习备考时要认真掌握导数与函数单调性 极值与最值的关系 强化导数的工具性的作用 要认真研究导数与不等式 方程 数列 解析几何的联系 加强导数应用的广泛意识 注重数学思想与方法的应用 核心整合 1 利用导数求函数最值的几种情况 1 若连续函数f x 在 a b 内有唯一的极大值点x0 则f x0 是函数f x 在 a b 上的 f a f b min是函数f x 在 a b 上的 若函数f x 在 a b 内有唯一的极小值点x0 则f x0 是函数f x 在 a b 上的 f a f b max是函数f x 在 a b 上的 2 若函数f x 在 a b 上单调递增 则是函数f x 在 a b 上的最小值 是函数f x 在 a b 上的最大值 若函数f x 在 a b 上单调递减 则是函数f x 在 a b 上的最大值 是函数f x 在 a b 上的最小值 3 若函数f x 在 a b 上有极值点x1 x2 xn n n n 2 则将f x1 f x2 f xn 与f a f b 作比较 其中最大的一个是函数f x 在 a b 上的 最小的一个是函数f x 在 a b 上的 最大值 最小值 最小值 最大值 f a f b f a f b 最大值 最小值 2 不等式的恒成立与能成立问题 1 f x g x 对一切x i恒成立 i是f x g x 的解集的子集 f x g x min 0 x i 2 f x g x 对x i能成立 i与f x g x 的解集的交集不是空集 f x g x max 0 x i 3 对 x1 x2 d使得f x1 g x2 f x max g x min 4 对 x1 d1 x2 d2使得f x1 g x2 f x min g x min f x 定义域为d1 g x 定义域为d2 3 证明不等式问题不等式的证明可转化为利用导数研究函数的单调性 极值和最值 再由单调性或最值来证明不等式 其中构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键 温馨提示在解决导数的综合问题时 应注意 1 树立定义域优先的原则 2 熟练掌握基本初等函数的求导公式和求导法则 3 理解与不等式有关的导数综合问题化为函数最值问题的转化过程 4 理解含参导数的综合问题中分类讨论思想的应用 5 存在性问题与恒成立问题容易混淆 它们既有区别又有联系 若f x m恒成立 则f x max m 若f x m恒成立 则f x min m 若f x m有解 则f x min m 若f x m有解 则f x max m 热点精讲 热点一 利用导数解决与函数有关的不等式恒成立问题 2 若存在x1 x2 e e2 使f x1 f x2 a成立 求实数a的取值范围 方法技巧已知不等式f x 0 为实参数 对任意的x d恒成立 求参数 的取值范围 利用导数解决这个问题的常用思想方法如下 1 分离参数法 第一步 将原不等式f x 0 x d 为实参数 分离 使不等式的一边是参数 另一边不含参数 即化为f1 f2 x 或f1 f2 x 的形式 第二步 利用导数求出函数f2 x x d 的最大 小 值 第三步 解不等式f1 f2 x max或f1 f2 x min从而求出参数 的取值范围 2 函数思想法 第一步 将不等式转化为某含参数的函数的最值问题 第二步 利用导数求出该函数的极值 最值 第三步 构建不等式求解 热点二 利用导数证明与函数有关的不等式 解 1 由已知f x lnx 1 2ax x 0 切点p 1 a 则切线方程 y a 2a 1 x 1 把 0 2 代入得a 1 方法技巧1 利用导数证明与分式 指数式 对数式函数等相关的不等式的步骤 第一步 根据待证不等式的结构特征 定义域及不等式的性质 将待证不等式化为简单的不等式 第二步 构造函数 构造函数的常用方法 作差法 换元法 第三步 利用导数研究该函数的单调性或最值 第四步 根据单调性或最值得到待证不等式 小贴士 在证明过程中要利用一些常见的小结论 ex x 1 当x 0时取等号 ln x 1 x 当x 0时取等号 2 证明与区间端点有关的不等式的步骤 第一步 根据待证不等式的结构特点及已知条件 找出与区间端点有关的等量关系与不等关系 第二步 把等量关系与待证不等式的一边整理 第三步 利用不等关系得到待证不等式 备选例题 例1 2015河南省八市教学质量监测 已知函数f x alnx x 1 g x x2 a 1 x 1 1 若对任意的x 1 e 不等式f x g x 恒成立 求实数a的取值范围 2 若函数h x 在其定义域内存在实数x0 使得h x0 k h x0 h k k 0且为常数 成立 则称函数h x 为保k阶函数 已知h x f x a 1 x a 1为保a阶函数 求实数a的取值范围 阅卷评析 答题启示 1 理解导数的几何意义 会