高考数学一轮复习 第十章 计数原理、概率、随机变量 10.4 随机事件的概率课件 理.ppt

第四节随机事件的概率 知识梳理 1 事件的相关概念 会发生 不发生 发生 不发生 2 频率和概率 1 频数 频率 在相同的条件s下重复n次试验 观察某一事件a是否出现 称n次试验中事件a出现的 为事件a出现的频数 称事件a出现的比例fn a 为事件a出现的频率 次数na 2 概率 对于给定的随机事件a 如果随着试验次数的增加 事件a发生的频率fn a 稳定在某个常数上 把这个常数记作 称为事件a的概率 p a 3 事件的关系与运算 包含 包含于 b a且a b a b 或a b a b 或ab 不可能 不可能 4 概率的几个基本性质 1 概率的取值范围 2 必然事件的概率为 3 不可能事件的概率为 4 概率的加法公式 如果事件a与事件b互斥 则p a b 0 p a 1 1 0 p a p b 5 对立事件的概率 若事件a与事件b互为对立事件 则a b为必然事件 p a b p a 1 1 p b 特别提醒 1 概率与频率的关系概率可看成频率在理论上的期望值 它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小 频率在大量重复试验的前提下可近似地作为这个事件的概率 2 事件互斥是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集 3 事件a的对立事件是指全集中由事件a所含的结果组成的集合的补集 小题快练 链接教材练一练1 必修3p123习题3 1a组t3改编 李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学 下表是李老师这门课3年来的考试成绩分布 经济学院一年级的学生王小明下学期将选修李老师的高等数学课 用已有的信息估计他得以下分数的概率 1 90分以上的概率 2 不及格的概率 解析 1 2 答案 1 0 07 2 0 1 2 必修3p124习题3 1a组t6改编 袋中装有9个白球 2个红球 从中任取3个球 则 恰有1个红球和全是白球 至少有1个红球和全是白球 至少有1个红球和至少有2个白球 至少有1个白球和至少有1个红球 在上述事件中 是对立事件的为 解析 至少有1个红球和全是白球不同时发生 且一定有一个发生 所以 中两事件是对立事件 答案 感悟考题试一试3 2016 长沙模拟 有一个容量为66的样本 数据的分组及各组的频数如下 11 5 15 5 2 15 5 19 5 4 19 5 23 5 9 23 5 27 5 18 27 5 31 5 11 31 5 35 5 12 35 5 39 5 7 39 5 43 5 3 根据样本的频率分布估计 数据落在 27 5 43 5 的概率约是 解析 选c 由条件可知 落在 27 5 43 5 的数据有11 12 7 3 33 个 故所求概率约为 4 2016 开封模拟 下列各组事件中 不是互斥事件的是 a 一个射手进行一次射击 命中环数大于8与命中环数小于6b 统计一个班的数学成绩 平均分不低于90分与平均分不高于90分c 播种100粒菜籽 发芽90粒与发芽80粒d 检验某种产品 合格率高于70 与合格率低于70 解析 选b 由互斥事件的意义a c d都是互斥事件 而平均分不低于90分与平均分不高于90分都含有90分 故b不是互斥事件 5 2016 太原模拟 某人进行打靶练习 共射击10次 其中有2次中10环 有3次中9环 有4次中8环 有1次未打靶 假设此人射击1次 则其中靶的概率约为 中10环的概率约为 解析 中靶的频数为9 试验次数为10 所以中靶的频率为 0 9 所以此人射击1次 中靶的概率约为0 9 同理得中10环的概率约为0 2 答案 0 90 2 6 2014 广东高考 从0 1 2 3 4 5 6 7 8 9中任取7个不同的数 则这7个数的中位数是6的概率为 解析 6之前6个数中取3个 6之后3个数中取3个 所求概率为答案 考向一随机事件的频率与概率 典例1 1 2016 兰州模拟 在投掷一枚硬币的试验中 共投掷了100次 正面朝上 的频数为51 则 正面朝上 的频率为 a 49b 0 5c 0 51d 0 49 2 2015 北京高考 某超市随机选取1000位顾客 记录了他们购买甲 乙 丙 丁四种食品的情况 整理成如下统计表 其中 表示购买 表示未购买 估计顾客同时购买乙和丙的概率 估计顾客在甲 乙 丙 丁中同时购买3种商品的概率 如果顾客购买了甲 则该顾客同时购买乙 丙 丁中哪种商品可能性最大 本题源自a版必修3p145复习参考题a组t4 解题导引 1 根据事件发生的频率的定义可求 2 由图表计算出同时购买乙和丙的人数 由概率定义计算 由图表分别计算出同时购买甲 丙 丁 及同时购买甲 乙 丙的人数 由概率定义计算 分别计算出购买了甲 同时购买乙 丙 丁中一种的概率 比较得出结论 规范解答 1 选c 由题意 根据事件发生的频率的定义可知 正面朝上 的频率为 0 51 2 1000位顾客中有200位同时购买乙和丙 所以估计顾客同时购买乙和丙的概率为 1000位顾客中有100位同时购买甲 丙 丁 200位同时购买甲 乙 丙 所以估计1000人中同时购买3种商品的概率为 购买了甲的顾客有100 200 300 85 685位 则顾客同时购买乙概率为 同时购买丙的概率为同时购买丁的概率为因此 顾客购买了甲 则该顾客同时购买丙的可能性最大 母题变式 1 本例 1 条件不变 试求 正面朝上 的概率 解析 通过大量试验可知 频率稳定在0 5左右 故 正面朝上 的概率约是0 5 2 本例 1 条件变为从自动打包机包装的食盐中随机抽取20袋 测得各袋的质量分别为 单位 g 492 496 494 495 498 497 501 502 504 496 497 503 506 508 507 492 496 500 501 499 根据频率分布估计总体分布的原理 该自动包装机包装的袋装食盐质量在497 5 501 5g的概率是多少 解析 袋装食盐在497 5 501 5g的数量为5 所以概率约为 0 25 规律方法 1 计算简单随机事件频率或概率的解题思路 1 计算出所求随机事件出现的频数及总事件的频数 2 由频率与概率的关系得所求 2 求解以统计图表为背景的随机事件的频率或概率问题的关键点求解该类问题的关键 由所给频率分布表 频率分布直方图或茎叶图等图表 计算出所求随机事件出现的频数 进而利用频率与概率的关系得所求 变式训练 2015 全国卷 某公司为了解用户对其产品的满意度 从a b两地区分别随机调查了40个用户 根据用户对产品的满意度评分得到a地区用户满意度评分的频率分布直方图和b地区用户满意度评分的频数分布表 a地区用户满意度评分的频率分布直方图 b地区用户满意度评分的频数分布表 1 作出b地区用户满意度评分的频率分布直方图 并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度 不要求计算出具体值 给出结论即可 2 根据用户满意度评分 将用户的满意度评分分为三个等级 估计哪个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大 说明理由 解析 1 b地区用户满意度评分的频率分布直方图通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出 b地区用户满意度评分的平均值高于a地区用户满意度评分的平均值 b地区用户满意度评分比较集中 而a地区用户满意度评分比较分散 2 a地区用户的满意度等级为不满意的概率大 理由如下 记ca表示事件 a地区用户的满意度等级为不满意 cb表示事件 b地区用户的满意度等级为不满意 由直方图得p ca 的估计值为 0 01 0 02 0 03 10 0 6 p cb 的估计值为 0 005 0 02 10 0 25 所以a地区用户的满意度等级为不满意的概率大 加固训练 1 某种菜籽在相同的条件下发芽试验结果如下表 则其发芽的概率约为 结果保留1位小数 解析 2 4 9 60 116 282 639 1339 1806 2715 2 5 10 70 130 310 700 1500 2000 3000 0 9 当种子粒数足够多时 发芽的频率稳定于0 9 故用频率估计概率 发芽的概率约为0 9 答案 0 9 2 2015 陕西高考 随机抽取一个年份 对西安市该年4月份的天气情况进行统计 结果如下 1 在4月份任取一天 估计西安市在该天不下雨的概率 2 西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续两天的运动会 估计运动会期间不下雨的概率 解析 1 在容量为30的样本中 不下雨的天数是26 以频率估计概率 4月份任选一天 西安市不下雨的概率是 2 称相邻两个日期为 互邻日期对 如1日与2日 2日与3日等 这样在4月份中 前一天为晴天的互邻日期对有16对 其中后一天不下雨的有14对 所以晴天的次日不下雨的频率为 以频率估计概率 运动会期间不下雨的概率为 考向二确定事件间的关系 典例2 1 2016 西宁模拟 一枚均匀的正方体玩具的各个面上分别标以数字1 2 3 4 5 6 将这个玩具向上抛掷1次 设事件a表示向上的一面出现奇数点 事件b表示向上的一面出现的点数不超过3 事件c表示向上的一面出现的点数不小于4 则 a a与b是互斥而非对立事件b a与b是对立事件c b与c是互斥而非对立事件d b与c是对立事件 2 某小组有3名男生和2名女生 从中任选2名同学去参加演讲比赛 判断下列各对事件是否是互斥事件 并说明理由 恰有1名男生和恰有两名男生 至少有1名男生和至少有1名女生 至少有1名男生和全是男生 至少有1名男生和全是女生 解题导引 1 根据互斥事件 对立事件的定义逐个选项验证得出答案 2 判断两个事件是否为互斥事件 就是考虑它们能否同时发生 如果不能同时发生 就是互斥事件 否则就不是互斥事件 规范解答 1 选d 由于事件a与b可能同时发生 故不互斥 则选项a错 b也错 而b与c事件不能同时发生 且b c为必然事件 故事件b与事件c对立 2 是互斥事件 理由是 在所选的2名同学中 恰有1名男生 实质选出的是 1名男生和1名女生 它与 恰有两名男生 不可能同时发生 所以是一对互斥事件 不是互斥事件 理由是 至少有1名男生 包括 1名男生 1名女生 和 两名都是男生 两种结果 至少有1名女生 包括 1名女生 1名男生 和 两名都是女生 两种结果 当事件 有1名男生和1名女生 发生时两个事件都发生了 不是互斥事件 理由是 至少有1名男生 包括 1名男生 1名女生 和 两名都是男生 这与 全是男生 可同时发生 是互斥事件 理由是 至少有1名男生 包括 1名男生 1名女生 和 两名都是男生 两种结果 它和 全是女生 不可能同时发生 规律方法 1 准确把握互斥事件与对立事件的概念 1 互斥事件是不可能同时发生的事件 但可以同时不发生 2 对立事件是特殊的互斥事件 特殊在对立的两个事件不可能都不发生 即有且仅有一个发生 2 判别互斥 对立事件的方法判别互斥事件 对立事件一般用定义判断 不可能同时发生的两个事件为互斥事件 两个事件 若有且仅有一个发生 则这两事件为对立事件 对立事件一定是互斥事件 变式训练 从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取2个球 以下给出了三组事件 至少有1个白球与至少有1个黄球 至少有1个黄球与都是黄球 恰有1个白球与恰有1个黄球 其中互斥而不对立的事件共有 a 0组b 1组c 2组d 3组 解析 选a 对于 至少有1个白球 发生时 至少有1个黄球 也会发生 比如恰好一个白球和一个黄球 故 中的两个事件不互斥 对于 至少有1个黄球 说明有黄球 黄球的个数可能是1或2 而 都是黄球 说明黄球的个数是2 故这两个事件不是互斥事件 恰有1个白球 与 恰有1个黄球 都表示取出的两个球中 一个是白球 另一个是黄球 故不是互斥事件 加固训练 某城市有甲 乙两种报纸供居民们订阅 记事件a为 只订甲报纸 事件b为 至少订一种报纸 事件c为 至多订一种报纸 事件d为 一种报纸也不订 判断下列每对事件是不是互斥事件 如果是 再判断它们是不是对立事件 1 a与c 2 b与d 3 b与c 4 c与d 解析 1 由于事件c 至多订一种报纸 中有可能 只订甲报纸 即事件a与事件c有可能同时发生 故a与c不是互斥事件 2 事件b 至少订一种报纸 与事件d 一种报纸也不订 是不可能同时发生的 故b与d是互斥事件 由于事件b不发生可导致事件d一定发生 且事件d不发生会导致事件b一定发生 故b与d还是对立事件 3 事件b 至少订一种报纸 中有这些可能 只订甲报纸 只订乙报纸 订甲 乙两种报纸 事件c 至多订一种报纸 中有这些可能 一种报纸也不订 只订甲报纸 只订乙报纸 由于这两个事件可能同时发生 故b与c不是互斥事件 4 由 3 的分析知事件d 一种报纸也不订 是事件c的一种可能 即事件c与事件d有可能同时发生 故c与d不是互斥事件 考向三互斥事件 对立事件概率公式的应用 典例3 1 2016 太原模拟 已知甲 乙两人下棋 和棋的概率为 乙胜的概率为 则甲胜的概率和甲不输的概率分别为 2 某商场有奖销售中 购满100元商品得1张奖券 多购多得 1000张奖券为一个开奖单位 设特等奖1个 一等奖10个 二等奖50个 记1张奖券中特等奖 一等奖 二等奖的事件分别为a b c 求 1张奖券的中奖概率 1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率 解题导引 1 甲胜 的对立事件是 和棋或乙胜 甲不输 可看作是 甲胜 与 和棋 这两个互斥事件的和事件 2 1张奖券中奖 可以看作中 特等奖 一等奖 二等奖 三个互斥事件的和事件 所求事件可以看作 1张奖券中特等奖或中一等奖 的对立事件 规范解答 1 甲胜 是 和棋或乙胜 的对立事件 所以 甲胜 的概率为设 甲不输 为事件a 则a可看作是 甲胜 与 和棋 这两个互斥事件的和事件 所以p a 答案 2 设 1张奖券中奖 为事件m 则m a b c 依题意 因为a b c两两互斥 所以p m p a b c p a p b p c 故1张奖券的中奖概率为 设 1张奖券不中特等奖且不中一等奖 为事件n 则事件n与 1张奖券中特等奖或中一等奖 为对立事件 所以故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为 易错警示 解答本例 1 有两点容易出错 甲胜 的对立事件为 乙胜 从而造成错解 甲不输 的对立事件为 乙不输 从而造成错误 规律方法 求复杂的互斥事件的概率的两种方法 1 直接求解法 将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和 运用互斥事件的概率求和公式计算 2 间接求法 先求此事件的对立事件的概率 再用公式p a 1 p 即运用逆向思维 正难则反 特别是 至多 至少 型题目 用