关于调和函数的论文(整理版).doc

毕业论文题目：函数类的性质学 院： 数学科学学院 专 业：数学与应用数学 届 别： 2008届 学 号： 0821111009 姓 名： 胡孔勇 指导老师： 韩雪、 华侨大学教务处印制2012年5月目录:摘要2Abstract3引言：4主要结论及证明51单叶保向性52模偏差估计63拟共形映照74双向性质85凸组合的情况96邻域的定义及相关性质107凸区域性质118卷积的定义及性质12致谢语:13参考书目13摘要 本文对保向单叶调和函数类中的一类子族的性质进行研究，由已知类似函数类的性质推导这类函数族的单叶性，保向性，摸偏差估计，拟共形性质，邻域的相关性质，以及其他性质，并得到一些合理的结论。关键词：调和函数, 函数类, 单叶性, 模偏差, 拟共形, 邻域 Abstract In this paper, we will do some research about a function-class ,which is one subclass of .And stands for the functions which are harmonic univalent and sense preserving in the unit disk .We derivate some properties about the functions in from some conclusion we have known, such as univalent and sense preserving, absolute value deviation, , neighborhood, and so on. From this certificate process, we obtain some reasonable results.Keywords harmonic function, subclass, sense preserving absolute value deviation, neighborhood引言：设为定义在区域上具有二阶连续偏导数的函数，如,则为上的调和函数。令为单位圆盘，为定义在上的单区域叶保向调和函数，由区域的单连通性我们知道存在和为上的解析函数，使得，又因为单叶保向，故由定理知的恒正(即)，若进一步存在常数，使得，则称为上的调和-拟共形映照。设为定义在单位圆盘上的调和函数，其中， (1)为上的解析函数，令，则定义为上的一类调和函数。主要结论及证明1单叶保向性结论：若定义在上的调和函数，则是单叶保向调和函数。证明：.单叶性按照定义，对，且，则有： 即对，故是单叶的。.保向性：对，有： 故是保向的。2 模偏差估计结论：若，令，则有，且证明：设是上的调和函数，且，则 另一方面： 3拟共形映照结论：设，则为拟共形映照。证明：设，由(1)式得再由，得，则有 故，为拟共形映照。4双向性质结论：设，则当时，为双向函数，即有证明：设，则故可知 且 则对，有 另一方面，有： 5凸组合的情况结论：函数类在凸组合下是封闭的。证明：设，其中则有由，可知 取，则有： 从而可知，即的凸组合是封闭的。6邻域的定义及相关性质定义中的另一类子函数族设是上的调和函数，则的邻域定义如下： ，则有结论：设，如果，则。证明：设，则有 所以当时，上式，即有：，故，也即。7凸区域性质结论：如果，且，则将映射成一个凸区域。证明：令，取定，使得，则有，令，则 由，可令，则推论：如果，则至少将映射成一个凸区域。证明:由上述结论的证明,取，,则故而，由的单调递增性知，故的凸半径至少为。8卷积的定义及性质设，则二者的卷积定义为结论：函数类在卷积运算下是封闭的。证明：设，且，令，且，由的定义式知当时，则有： 则，即。致谢语: 本文是在我的导师，韩雪老师及其师弟李老师的悉心指导下完成的。这篇论文中的每一个结论及整片论文的格式离不开两位老师每一步认真的指引以及对论文初稿一丝不苟的修改和校正。特在此对两位老师致以最诚挚的感谢！参考书目1 朱剑峰，单位圆上调和拟共形映照的复特征估计，华侨大学学报：自然科学版，31（4）：476-479，2010.2 M.ztrk and S. Yalcin, On univalent harmonic functionsJ, Journal of inequalities in pure and applies mathematics, Vol.32(4):1-8,2002.3 M. Jahangiri and H. Silverman, Meromorphic univalent harmonic functions with negative coefficientsJ, Bull. Korean Math.Soc.,36(4):763-770,1999.4 H. Silverman, Harmonic univalent function with negative coefficients, J. Math. Anal. Appl. 220(1998) 283289.5 H. Silverman, E.M. Silvia, Subclasses of harmonic univalent functions, New Zeal.J. Math. 28(1999) 275284.6 J. Clunie, T. Sheil-Small, Harmonic univalent functions, Ann. Acad.Sci.Fenn. Ser. A I. Math. 9 (1984) 325.7 J.M. Jahangiri, Harmonic functions starlike in the unit disk, J. Math. Anal. Appl. 2