高考数学一轮复习 几何证明选讲课件 理 新人教A版选修41.ppt

最新考纲1 了解平行线等分线段定理和平行线分线段成比例定理 2 掌握相似三角形的判定定理及性质定理 3 理解直角三角形射影定理 4 理解圆周角定理及其推论 掌握圆的切线的判定定理及性质定理 理解弦切角定理及其推论 5 掌握相交弦定理 割线定理 切割线定理 理解圆内接四边形的性质定理与判定定理 知识梳理 1 平行截割定理 1 平行线等分线段定理如果一组在一条直线上截得的线段相等 那么在其他直线上截得的线段也 2 平行线分线段成比例定理 定理 三条平行线截两条直线 所得的成比例 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边 或两边的延长线 所得的成比例 平行线 相等 对应线段 对应线段 2 相似三角形的判定与性质 1 相似三角形的判定定理 两角对应的两个三角形相似 两边对应并且夹角的两个三角形相似 三边对应的两个三角形相似 2 相似三角形的性质定理 相似三角形对应高的比 对应中线的比和对应角平分线的比都等于 相似三角形周长的比等于 相似三角形面积的比等于 相等 成比例 相等 成比例 相似比 相似比 相似比的平方 3 直角三角形的射影定理 两直角边 斜边 斜边 ad bd ad ab bd ab 4 圆中的角 1 圆周角定理及其推论 定理 圆上一条弧所对的等于它所对的的一半 推论 推论1 同弧或等弧所对的相等 同圆或等圆中 相等的圆周角所对的也相等 推论2 半圆 或直径 所对的圆周角是 90 的圆周角所对的弦是 2 圆心角定理 圆心角的度数等于 3 弦切角定理 弦切角等于它所对的圆周角 圆周角 圆周角 圆心角 弧 直角 直径 它所对弧的度数 所夹的弧 5 圆的切线的性质及判定定理 1 定理 圆的切线经过的半径 2 推论 推论1 经过且垂直于切线的直线必经过 推论2 经过且垂直于切线的直线必经过 垂直于 切点 圆心 切点 切点 圆心 6 圆中的切线 割线 pc pd bdp pc pd pdb pb pc pca pb opb 7 圆内接四边形的性质与判定定理 1 圆内接四边形的性质定理 定理1 圆内接四边形的对角 定理2 圆内接四边形的外角等于它的 2 圆内接四边形的判定定理及推论 判定定理 如果一个四边形的对角 那么这个四边形的四个顶点共圆 推论 如果四边形的一个外角等于它的内角的 那么这个四边形的四个顶点共圆 互补 内对角 互补 对角 诊断自测 a 3 2015 重庆卷 如图 圆o的弦ab cd相交于点e 过点a作圆o的切线与dc的延长线交于点p 若pa 6 ae 9 pc 3 ce ed 2 1 则be 答案2 4 如图 四边形abcd内接于 o bc是直径 mn与 o相切 切点为a mab 35 则 d 解析连接bd 由题意知 adb mab 35 bdc 90 故 adc adb bdc 125 答案125 答案8 考点一相似三角形的判定及性质 例1 如图 在rt abc中 acb 90 cd ab e为ac的中点 ed cb的延长线交于一点f 求证 fd2 fb fc 规律方法 1 判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理 特别要注意对应角和对应边 证明线段乘积相等的问题一般转化为有关线段成比例问题 2 相似三角形的性质可用来证明线段成比例 角相等 可间接证明线段相等 解 1 由已知 adc是直角三角形 易知 cab 30 由于直线l与 o相切 由弦切角定理知 bcf 30 由 dca acb bcf 180 又 acb 90 图1 知 dca 60 故在rt adc中 dac 30 2 法一连接be 如图1所示 由 1 知 eab 60 cba ab为公共边 则rt abe rt bac 所以ae bc 3 图2 法二连接ec oc 如图2所示 则由弦切角定理 知 dce cae 30 又 dca 60 故 eca 30 又因为 cab 30 故 eca cab 从而ec ao 由oc l ad l 可得oc ae 故四边形aoce是平行四边形 又因为oa oc 故四边形aoce是菱形 故ae ao bc 3 规律方法 1 圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系 从而证明三角形全等或相似 可求线段或角的大小 2 涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化 关于圆周上的点 常作直径 或半径 或向弦 弧 两端画圆周角或作弦切角 1 证明由已知条件 可得 bae cad 因为 aeb与 acd是同弧所对的圆周角 所以 aeb acd 故 abe adc 考点三与圆有关的比例线段 例3 2014 新课标全国 卷 如图 p是 o外一点 pa是切线 a为切点 割线pbc与 o相交于点b c pc 2pa d为pc的中点 ad的延长线交 o于点e 证明 1 be ec 2 ad de 2pb2 2 由切割线定理得pa2 pb pc 因为pa pd dc 所以dc 2pb bd pb 由相交弦定理得ad de bd dc 所以ad de 2pb2 规律方法涉及与圆有关的等积线段或成比例的线段 常利用圆周角或弦切角证明三角形相似 在相似三角形中寻找比例线段 也可以利用相交弦定理 切割线定理证明线段成比例 在实际应用中 一般涉及两条相交弦应首先考虑相交弦定理 涉及两条割线就要想到割线定理 见到切线和割线时要注意应用切割线定理 2 解由 1 得a p o m四点共圆 所以 oam opm 由 1 得op ap 因为圆心o在 pac的内部 所以 opm apm 90 所以 oam apm 90 规律方法 1 如果四点与一定点距离相等 那么这四点共圆 2 如果四边形的一组对角互补 那么这个四边形的四个顶点共圆 3 如果四边形的一个外角等于它的内对角 那么这个四边形的四个顶点共圆 训练4 如图 已知 abc中的两条角平分线ad和ce相交于h b 60 f在ac上 且ae af 求证 1 b d h e四点共圆 2 ec平分 def 证明 1 在 abc中 因为 b 60 所以 bac bca 120 因为ad ce是角平分线 所以 hac hca 60 故 ahc 120 于是 ehd ahc 120 因为 b ehd 180 所以b d h e四点共圆 2 连接bh 则bh为 abc的角平分线 hbd 30 由 1 知b d h e四点共圆 所以 ced hbd 30 因为ae af ad为角平分线 所以ef ad 又 ahe ebd 60 所以 cef 30 所以ec平分 def 思想方法 1 解决几何证明问题需用各种判定定理 性质定理 推理和现有的结论 要熟悉各种图形的特征 利用好平行 垂直 相似 全等的关系 适当添加辅助线和辅助图形 这些知识都有利于问题的解决 2 证明等积式时 通常转化为证明比例式 再证明四条线段所在的三角形相似 另外也可利用平行线分线段成比例定理来证明 3 弦切角定理与圆周角定理是证明角相等的重要依据 解题时应根据需要添加辅助线构造所需要的角 4 圆内接四边形的性质也要熟