高考数学专题讲座直线与圆锥曲线.doc

高考复习高考数学专题讲座 直线与圆锥曲线主讲教师：孙福明（省常州高级中学 一级教师）【试题预测】直线与二次曲线是高中数学的重要内容，各种解题方法在这里表现的比较完整。它把代数、三角、几何有机地联系在一起，不仅综合与渗透力强，而且方法多变，能较好地考查学生的创新思维和创新能力。从近几年的统计来看，直线与二次曲线约占总分的20%，是高考的热点内容。纵观近几年高考试题中对直线和二次曲线的考查，主要体现在以下几个特点：1、考查直线的基本概念，求在不同条件下的直线方程，直线的位置关系，此类题大都属中、低档题，以选择、填空题的形式出现，每年必考。2、直线与二次曲线的普通方程、参数方程的互化常以选择题形式出现，属低档题，对称题常以选择题、填空题出现。3、考查圆锥曲线的基础知识和基本方法的题多以选择题和填空题的形式出现，有时会出现有一定灵活性和综合性较强的题，属中档题。4、有关直线与圆锥曲线的综合题，多以解答题的形式出现，这类题主要考查学生平面几何知识与代数知识的综合能力，分析问题和学生解决问题的能力，对运算能力有降低要求的趋势。重视了圆锥曲线定义，重视平面几何知识在解题中的作用。【例题】 例1、如图，直线l与半径为1的圆F相切于C。动点P到直线l的距离为d，已知，且d。（1） 建立适当的直角坐标系，求点P运动形成的轨迹方程； （2）若点G满足，点M满足且线段MG的垂直平分线经过P，求PGF的面积。解析：（1）点P的轨迹 是以点F为焦点，l为相应准线的椭圆弧。由 又 解得a=，c=1以CF所在直线x轴，以CF与圆F的另一个交点O为坐标原点，建立直角坐标系，设P（x，y） d，即2-x x故所求的点P的轨迹方程为（x） （2） |=2，G为椭圆的左焦点又 线段MG的中垂线经过点P，且 又点P在椭圆上 又 PGF为Rt，PFG=900点拨：第一问应用了椭圆的第二定义确定曲线类型（定型），再建立坐标系（定位），简化了运算量。第二问，灵活应用了椭圆的第一定义，使总是顺利解决。例2、已知点P在双曲线上，且点P到这条双曲线的右准线的距离恰是点P到这条双曲线的两个焦点的距离的等差中项，求点P的横坐标。解析：设双曲线的左右焦点为F1、F2，点P（x，y），P到右准线x=的距离为d，由第二定义知|PF2|=ed则|PF2|=同理，|PF1|=由题意得又由双曲线的范围知，x-4或x4 同号 点拨：涉及圆锥曲线上的点到焦点的距离问题，用圆锥曲线的定义处理比较简单，应加强这方面的训练，同时要注意曲线的范围。实际上本题可把d，|PF1|，|PF2|中任一线段长作为研究对象，来判定点P是否存在。例3、已知两点M（-1，0），N（1，0），且点P使成公差小于零的等差数列，求点P的轨迹是什么曲线？解析：记P（x，y），由M（-1，0），N（1，0）得： 于是是公差小于零的等差数列等价于 即 所以，点P的轨迹是以原点为圆心，为半径的右半圆点拨：结合向量知识与代数知识，求轨迹是高考热点。例4、以P（2，2）为圆心的圆与椭圆x2+2y2=m，交于A、B两点，求AB中点M的轨迹方程。解析：如图所示，设A（x1，y1），B（x2，y2）则x12+2y12=m，x22+2y22=m两式作差：（*）又设AB中点M（x，y） PMAB 所求轨迹方程为xy+2x-4y=0，轨迹在椭圆的内部点拨：从整体分析入手，建立起弦AB的斜率与中点M（x，y）之间的关系式（*），是解决本题的关键，同时应注意轨迹方程中x、y的范围。关于交点问题，通常用考虑两次的观点，如本题，把A、B放在椭圆中得到一个结论；把A、B放在圆中又得到一个结论。由此得到与AB有关的等量关系。例5、已知椭圆的右准线l与x轴相交于E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点，点C在右准线l上，且BCx轴，求证：直线AC经过线段EF的中点。证明：法一：如图所示，由题设得半焦距c=1，右焦点为F（1，0），右准线方程为x=2，点E的坐标为（2，0），EF的中点为N（，0）若AB垂直于x轴则A（1，y1），B（1，-y1），C（2，-y1） AC的中点为N（，0），即AC过EF的中点N若AB不垂直于x轴，由AB过点F，且BCx轴知点B不在x轴上故直线AB的方程为y=k（x-1），k0A（x1，y1），B（x2，y2）则C（2，y2）且x1、x2满足二次方程即（1+2k2）x2-4k2x+2（k2-1）=0由韦达定理得又x12=2-2y122，得x10故直线AN与CN的斜率分别为， 分子（x1-1）-（x2-1）（2x1-3）=3（x1+x2）-2x1x2-4=12k2-4（k2-1）-4（1+2k2）=0 k1-k2=0，即k1=k2，故A、C、N三点共线所以，直线AC经过EF的中点N点拨：关键是用韦达定理推出k1=k2，这一步技巧性强，该方法希望能给同学以启示。法二：如图所示，设直线AC与x轴的交点为N，过A作ADl，D为垂足，因为F是椭圆的右焦点，l是右准线，BCx轴，即BCl，根据椭圆的几何性质得 e（e是椭圆的离心率） ADFEBC ，即得 N为EF的中点，即直线AC经过线段EF的中点N点拨：利用椭圆的第二定义结合有关平面几何性质也是解决几何量的常用方法，该题引用了e但与e的大小无关，即将题中的椭圆换成双曲线、抛物线结果仍成立。例6、已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个焦点是F，M是椭圆上任意点，|MF|的最大值与最小值的几何平均数为2，椭圆上存在着以y=x为轴的对称点M1和M2，且|M1M2|=，试求椭圆的方程。解析： |MF|max=a+c，|MF|min=a-c （a+c）（a-c）=a2-c2=b2=4设椭圆方程为 设过M1、M2的直线方程为y=-x+m 代入得（4+a2）x2-2a2mx+a2m2-4a2=0 设M1（x1，y1），M2（x2，y2）的中点M（x0，y0）则 a24 m=0 x1+x2=0，x1x2= |M1M2|=解得：a2=5 椭圆方程为点拨：M1、M2的中点在对称轴上，且直线M1M2与直线l垂直，根据椭圆的对称性，直线M1M2一定过原点。例7、设椭圆（ab0）上有点P（x1 ,y1），使OPA=900，求的取值范围（A为长轴右端点）。解析：设P（x1，y1） OPA=900 O、P、A三点确定的圆方程为：x12+y12-ax1=0由消去y1得（b2-a2）x12+a3x1-a2b2=0 （b2-a2）x1+ab2（x1-a）=0 x1a ， x1=又x1a， ， 点拨：本题思维的全过程是两次转化：（1）两曲线有公共点；（2）方程组有解，而椭圆是有范围的，故方程组解应在这个范围内，二次曲线中常借助二次曲线的范围求某一参数的范围。例8、如图，已知OFQ的面积为S，且=1，（1） 若S2，求向量与的夹角的取值范围； （2）设|=c（c2），S=c。若以O为中心，F为焦点的椭圆经过点Q，当|取得最小值时，求此椭圆的方程。解析：（1）由已知得： tan=2S S2 1tan4则arctan4（2） 以O为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系设椭圆方程为（ab0）点Q的坐标为（x1，y1），则=（x1-c，y1） OFQ的面积为 y1=又由=1得，x1=（c2） 当且仅当c=2时，|最小，此时点Q的坐标为（）由此可得解得 椭圆方程为点拨：向量与解析几何知识结合，再利用代数、三角知识求解几，立几问题是新教材的一大特点。【课外练习】一、 选择题1、 直线l与直线y=1，x-y-7=0各交于P、Q两点，PQ中点为（1，-1），则l的斜率为 （ ）A、 B、 C、 D、2、两条直线l1：ax-y=-2，与l2:2x+6y+c=0相交于点（1，m），且l1到l2的角为，则a+c+m= （ ）A、 B、 C、 D、-143、如果动点P（x，y）到直线x=5的距离与它到点A（1，0）的距离之比为，则动点P的轨迹方程是 （ ）A、 B、C、 D、4、若椭圆的一条准线方程是x=5，则k的值是 （ ）A、5或 B、20或 C、5或20 D、5、F1、F2为椭圆的两个焦点，Q是椭圆上任意一点，从任一焦点作F1QF2外角平分线的垂线，垂足为P，则P点的轨迹是 （ ）A、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线6、已知双曲线C：，过点P（1，1）作直线l，使l与C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有 （ ）A、3条 B、4条 C、1条 D、2条二、 填空题7、已知P是直线l：3x+4y+8=0上的动点，PA、PB是圆x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线，A、B是切点，C是圆心，那么四边形PABC面积的最小值为_。8、设圆过双曲线的一个顶点和对应焦点，圆心在双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离为_。9、已知抛物线y2=2px（p0）的焦点在直线l：y=x-2上，若抛物线的焦点沿直线l滑动，对称轴作平行移动，那么当焦点移动到Q（2a，3a-6）时，抛物线方程为_。10、若椭圆经过原点，且焦点为F1（1，0），F2（3，0），则其离心率为_。三、 解答题11、过点（0，1）的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为的椭圆C相交于A、B两点，直线y=x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称，求直线l和椭圆C的方程。12、已知抛物线y2=8（x+2），其焦点和准线分别为椭圆的一个焦点与该焦点相应的一条准线。（1） 求椭圆短轴端点的轨迹C； （2）过点（1，0）作倾斜角为600的直线与曲线C交于两点A、B，在曲线C上是否存在点M，使ABM是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。13、过抛物线y2=2px（p0）的顶点两条弦OA、OB，且AOB是锐角，求直线AB与x轴交点的横坐标的范围。14、已知方程（1） 求方程所表示的圆的圆心的轨迹方程，说明轨迹是什么图形？ （2）求当=2n（n=0，1，10）时，圆截直线y=x所得弦的总长，并求当n时，所得弦的总长。15、已知动点P（x，y）与双曲线的两个焦点F1、F2的距离之和为定值，并且cosF1