高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.3 圆的方程课件 文.ppt

第九章平面解析几何 9 3圆的方程 内容索引 基础知识自主学习 题型分类深度剖析 思想与方法系列 思想方法感悟提高 练出高分 基础知识自主学习 1 圆的定义在平面内 到的距离等于的点的叫圆 2 确定一个圆最基本的要素是和 3 圆的标准方程 x a 2 y b 2 r2 r 0 其中为圆心 为半径 4 圆的一般方程x2 y2 dx ey f 0表示圆的充要条件是 其中圆心为 半径r 定长 集合 定点 圆心 半径 a b r d2 e2 4f 0 知识梳理 1 答案 5 确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法 大致步骤为 1 根据题意 选择标准方程或一般方程 2 根据条件列出关于a b r或d e f的方程组 3 解出a b r或d e f代入标准方程或一般方程 6 点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种 圆的标准方程 x a 2 y b 2 r2 点m x0 y0 1 点在圆上 2 点在圆外 3 点在圆内 x0 a 2 y0 b 2 r2 x0 a 2 y0 b 2 r2 x0 a 2 y0 b 2 r2 答案 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 确定圆的几何要素是圆心与半径 2 已知点a x1 y1 b x2 y2 则以ab为直径的圆的方程是 x x1 x x2 y y1 y y2 0 3 方程ax2 bxy cy2 dx ey f 0表示圆的充要条件是a c 0 b 0 d2 e2 4af 0 4 方程x2 2ax y2 0一定表示圆 答案 思考辨析 答案 1 教材改编 x2 y2 4x 6y 0的圆心坐标是 圆x2 y2 4x 6y 0的圆心为 2 3 2 3 考点自测 2 解析答案 1 2 3 4 5 2 方程x2 y2 ax 2ay 2a2 a 1 0表示圆 则a的取值范围是 解析由题意知a2 4a2 4 2a2 a 1 0 解析答案 1 2 3 4 5 3 2015 北京改编 圆心为 1 1 且过原点的圆的方程是 圆的方程为 x 1 2 y 1 2 2 x 1 2 y 1 2 2 解析答案 1 2 3 4 5 4 教材改编 圆c的圆心在x轴上 并且过点a 1 1 和b 1 3 则圆c的方程为 解析设圆心坐标为c a 0 点a 1 1 和b 1 3 在圆c上 ca cb 解得a 2 圆心为c 2 0 圆c的方程为 x 2 2 y2 10 x 2 2 y2 10 解析答案 1 2 3 4 5 5 2015 湖北 如图 已知圆c与x轴相切于点t 1 0 与y轴正半轴交于两点a b b在a的上方 且ab 2 1 圆c的标准方程为 解析由题意 设圆心c 1 r r为圆c的半径 解析答案 1 2 3 4 5 2 圆c在点b处的切线在x轴上的截距为 解析答案 1 2 3 4 5 解析答案 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 返回 题型分类深度剖析 例1根据下列条件 求圆的方程 1 经过p 2 4 q 3 1 两点 并且在x轴上截得的弦长等于6 题型一求圆的方程 解析答案 解设圆的方程为x2 y2 dx ey f 0 又令y 0 得x2 dx f 0 设x1 x2是方程 的两根 由 x1 x2 6有d2 4f 36 由 解得d 2 e 4 f 8 或d 6 e 8 f 0 故所求圆的方程为x2 y2 2x 4y 8 0 或x2 y2 6x 8y 0 2 圆心在直线y 4x上 且与直线l x y 1 0相切于点p 3 2 解析答案 思维升华 解方法一如图 设圆心 x0 4x0 故圆的方程为 x 1 2 y 4 2 8 方法二设所求方程为 x x0 2 y y0 2 r2 解析答案 思维升华 因此所求圆的方程为 x 1 2 y 4 2 8 思维升华 思维升华 1 直接法 根据圆的几何性质 直接求出圆心坐标和半径 进而写出方程 2 待定系数法 若已知条件与圆心 a b 和半径r有关 则设圆的标准方程依据已知条件列出关于a b r的方程组 从而求出a b r的值 若已知条件没有明确给出圆心或半径 则选择圆的一般方程 依据已知条件列出关于d e f的方程组 进而求出d e f的值 1 2014 陕西 若圆c的半径为1 其圆心与点 1 0 关于直线y x对称 则圆c的标准方程为 解析由题意知圆c的圆心为 0 1 半径为1 所以圆c的标准方程为x2 y 1 2 1 x2 y 1 2 1 跟踪训练1 解析答案 2 过点a 4 1 的圆c与直线x y 1 0相切于点b 2 1 则圆c的方程为 解析由已知kab 0 所以ab的中垂线方程为x 3 过b点且垂直于直线x y 1 0的直线方程为y 1 x 2 即x y 3 0 所以圆心坐标为 3 0 所以圆c的方程为 x 3 2 y2 2 x 3 2 y2 2 解析答案 命题点1斜率型最值问题 题型二与圆有关的最值问题 解析答案 则圆心 2 0 到直线y kx的距离为半径时直线与圆相切 斜率取得最大 最小值 解析答案 命题点2截距型最值问题 例3在例2条件下 求y x的最小值和最大值 解设y x b 则y x b 仅当直线y x b与圆切于第四象限时 截距b取最小值 解析答案 命题点3距离型最值问题 例4在例2条件下 求x2 y2的最大值和最小值 解x2 y2表示圆上的一点与原点距离的平方 由平面几何知识知 在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值 如图 解析答案 思维升华 思维升华 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略 1 与圆有关的长度或距离的最值问题的解法 一般根据长度或距离的几何意义 利用圆的几何性质数形结合求解 2 与圆上点 x y 有关代数式的最值的常见类型及解法 形如u 型的最值问题 可转化为过点 a b 和点 x y 的直线的斜率的最值问题 形如t ax by型的最值问题 可转化为动直线的截距的最值问题 形如 x a 2 y b 2型的最值问题 可转化为动点到定点 a b 的距离平方的最值问题 1 设p是圆 x 3 2 y 1 2 4上的动点 q是直线x 3上的动点 则pq的最小值为 解析pq的最小值为圆心到直线的距离减去半径 因为圆的圆心为 3 1 半径为2 所以pq的最小值d 3 3 2 4 4 跟踪训练2 解析答案 2 已知m为圆c x2 y2 4x 14y 45 0上任意一点 且点q 2 3 求mq的最大值和最小值 解由圆c x2 y2 4x 14y 45 0 可得 x 2 2 y 7 2 8 所以圆心c的坐标为 2 7 解析答案 设直线mq的方程为y 3 k x 2 解析答案 例5设定点m 3 4 动点n在圆x2 y2 4上运动 以om on为两边作平行四边形monp 求点p的轨迹 题型三与圆有关的轨迹问题 解析答案 思维升华 解如图所示 设p x y n x0 y0 解析答案 又n x 3 y 4 在圆上 故 x 3 2 y 4 2 4 因此所求轨迹为圆 x 3 2 y 4 2 4 思维升华 思维升华 求与圆有关的轨迹问题时 根据题设条件的不同常采用以下方法 直接法 直接根据题目提供的条件列出方程 定义法 根据圆 直线等定义列方程 几何法 利用圆的几何性质列方程 代入法 找到要求点与已知点的关系 代入已知点满足的关系式等 已知圆x2 y2 4上一定点a 2 0 b 1 1 为圆内一点 p q为圆上的动点 1 求线段ap中点的轨迹方程 解设ap的中点为m x y 由中点坐标公式可知 p点坐标为 2x 2 2y 因为p点在圆x2 y2 4上 所以 2x 2 2 2y 2 4 故线段ap中点的轨迹方程为 x 1 2 y2 1 跟踪训练3 解析答案 2 若 pbq 90 求线段pq中点的轨迹方程 解设pq的中点为n x y 连结bn 在rt pbq中 pn bn 设o为坐标原点 连结on 则on pq 所以op2 on2 pn2 on2 bn2 所以x2 y2 x 1 2 y 1 2 4 故线段pq中点的轨迹方程为x2 y2 x y 1 0 解析答案 返回 思想与方法系列 典例在平面直角坐标系xoy中 曲线y x2 6x 1与坐标轴的交点都在圆c上 求圆c的方程 思维点拨本题可采用两种方法解答 即代数法和几何法 19 利用几何性质巧设方程求半径 思想与方法系列 温馨提醒 巧妙解法 解析答案 思维点拨 返回 规范解答解一般解法 代数法 曲线y x2 6x 1与y轴的交点为 0 1 故圆的方程是x2 y2 6x 2y 1 0 设圆的方程是x2 y2 dx ey f 0 d2 e2 4f 0 温馨提醒 巧妙解法 所以圆c的方程为 x 3 2 y 1 2 9 温馨提醒 返回 1 一般解法 代数法 可以求出曲线y x2 6x 1与坐标轴的三个交点 设圆的方程为一般式 代入点的坐标求解析式 2 巧妙解法 几何法 利用圆的性质 知道圆心一定在圆上两点连线的垂直平分线上 从而设圆的方程为标准式 简化计算 显然几何法比代数法的计算量小 因此平时训练多采用几何法解题 温馨提醒 思想方法感悟提高 1 确定一个圆的方程 需要三个独立条件 选形式 定参数 是求圆的方程的基本方法 是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式 进而确定其中的三个参数 2 解答圆的问题 应注意数形结合 充分运用圆的几何性质 简化运算 方法与技巧 1 求圆的方程需要三个独立条件 所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程 2 过圆外一定点 求圆的切线 应该有两个结果 若只求出一个结果 应该考虑切线斜率不存在的情况 失误与防范 返回 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 已知点a 1 1 b 1 1 则以线段ab为直径的圆的方程是 解析ab的中点坐标为 0 0 圆的方程为x2 y2 2 x2 y2 2 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 设圆的方程是x2 y2 2ax 2y a 1 2 0 若0 a 1 则原点与圆的位置关系是 解析将圆的一般方程化成标准方程为 x a 2 y 1 2 2a 因为0 a 1 所以 0 a 2 0 1 2 2a a 1 2 0 所以原点在圆外 原点在圆外 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以圆m的方程为 x 1 2 y2 4 答案 x 1 2 y2 4 解析由已知 可设圆m的圆心坐标为 a 0 a 2 半径为r 4 点p 4 2 与圆x2 y2 4上任一点连线的中点的轨迹方程是 解析设圆上任一点坐标为 x0 y0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 x 2 2 y 1 2 1 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 又圆与直线2x y 1 0相切 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以圆心坐标为 1 2 则所求圆的方程为 x 1 2 y 2 2 5 答案 x 1 2 y 2 2 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6 若圆c经过坐标原点和点 4 0 且与直线y 1相切 则圆c的方程是 解析答案 7 2015 江苏 在平面直角坐标系xoy中 以点 1 0 为圆心且与直线mx y 2m 1 0 m r 相切的所有圆中 半径最大的圆的标准方程为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析直线mx y 2m 1 0恒过定点 2 1 故所求圆的标准方程为 x 1 2 y2 2 x 1 2 y2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8 2014 湖北 已知圆o x2 y2 1和点a 2 0 若定点b b 0 b 2 和常数 满足 对圆o上任意一点m 都有mb ma 则 1 b 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析因为点m为圆o上任意一点 所以不妨取圆o与x轴的两个交点 1 0 和 1 0 当m点取 1 0 时 由mb ma 得 b 1 当m点取 1 0 时 由mb ma 得 b 1 3 消去 得 b 1 3 b 1 两边平方 化简得2b2 5b 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 解析答案 9 一圆经过a 4 2 b 1 3 两点 且在两坐标轴上的四个截距的和为2 求此圆的方程 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解设所求圆的方程为x2 y2 dx ey f 0 令y 0 得x2 dx f 0 所以x1 x2 d 令x 0 得y2 ey f 0 所以y1 y2 e 由题意知 d e 2 即d e 2 0 又因为圆过点a b 所以16 4 4d 2e f 0 1 9 d 3e f 0 解 组成的方程组得d 2 e 0 f 12 故所求圆的方程为x2 y2 2x 12 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解设p x y 圆p的半径为r 则y2 2 r2 x2 3 r2 y2 2 x2 3 即y2 x2 1 p点的轨迹方程为y2 x2 1 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解设p的坐标为 x0 y0 y0 x0 1 即y0 x0 1 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 圆p的方程为x2 y 1 2 3 圆p的方程为x2 y 1 2 3 综上所述 圆p的方程为x2 y 1 2 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 x 2 2 y 1 2 4 解析答案 12 设p为直线3x 4y 3 0上的动点 过点p作圆c x2 y2 2x 2y 1 0的两条切线 切点分别为a b 则四边形pacb的面积的最小值为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析依题意 圆c x 1 2 y 1 2 1的圆心是点c 1 1 半径是1 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13 若圆x2 y 1 2 1上任意一点 x y 都使不等式x y m 0恒成立 则实数m的取值范围是 解析答案 解析据题意圆x2 y 1 2 1上所有的点都在直线x y m 0的右上方