高考数学一轮复习 第十二章 概率、随机变量及其概率分布 12.1 随机事件的概率课件 理.ppt

第十二章概率 随机变量及其概率分布 12 1随机事件的概率 内容索引 基础知识自主学习 题型分类深度剖析 思想与方法系列 思想方法感悟提高 练出高分 基础知识自主学习 1 概率和频率 1 在相同的条件s下重复n次试验 观察某一事件a是否出现 称n次试验中事件a出现的次数na为事件a出现的频数 称事件a出现的比例fn a 为事件a出现的频率 2 对于给定的随机事件a 在相同条件下 随着试验次数的增加 事件a发生的会在某个常数附近摆动并趋于稳定 我们可以用这个常数来刻画随机事件a发生的可能性大小 并把这个称为随机事件a的概率 记作p a 频率 常数 知识梳理 1 答案 2 事件的关系与运算 包含 b a a b 并事件 答案 事件a发生 事 件b发生 答案 3 概率的几个基本性质 1 概率的取值范围 2 必然事件的概率p e 3 不可能事件的概率p f 4 概率的加法公式如果事件a与事件b互斥 则p a b 5 对立事件的概率若事件a与事件b互为对立事件 则p a 0 p a 1 1 0 p a p b 1 p b 答案 互斥事件与对立事件的区别与联系互斥事件与对立事件都是两个事件的关系 互斥事件是不可能同时发生的两个事件 而对立事件除要求这两个事件不同时发生外 还要求二者之一必须有一个发生 因此 对立事件是互斥事件的特殊情况 而互斥事件未必是对立事件 知识拓展 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 事件发生频率与概率是相同的 2 随机事件和随机试验是一回事 3 在大量重复试验中 概率是频率的稳定值 4 两个事件的和事件是指两个事件都得发生 5 对立事件一定是互斥事件 互斥事件不一定是对立事件 6 两互斥事件的概率和为1 思考辨析 答案 1 一个人打靶时连续射击两次 事件 至少有一次中靶 的互斥事件是 至多有一次中靶 两次都中靶 只有一次中靶 两次都不中靶 解析射击两次的结果有 一次中靶 两次中靶 两次都不中靶 故至少一次中靶的互斥事件是两次都不中靶 考点自测 2 解析答案 1 2 3 4 5 2 从某班学生中任意找出一人 如果该同学的身高小于160cm的概率为0 2 该同学的身高在 160 175 单位 cm 内的概率为0 5 那么该同学的身高超过175cm的概率为 解析因为必然事件发生的概率是1 所以该同学的身高超过175cm的概率为1 0 2 0 5 0 3 0 3 解析答案 1 2 3 4 5 3 2015 湖北改编 我国古代数学名著 数书九章 有 米谷粒分 题 粮仓开仓收粮 有人送来米1534石 验得米内夹谷 抽样取米一把 数得254粒内夹谷28粒 则这批米内夹谷约为 石 169 解析答案 1 2 3 4 5 4 给出下列三个命题 其中正确的命题有 个 有一大批产品 已知次品率为10 从中任取100件 必有10件是次品 做7次抛硬币的试验 结果3次出现正面 因此正面出现的概率是 随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 解析 错 不一定是10件次品 错 频率不等于概率 这是两个不同的概念 0 解析答案 1 2 3 4 5 5 教材改编 袋中装有9个白球 2个红球 从中任取3个球 则 恰有1个红球和全是白球 至少有1个红球和全是白球 至少有1个红球和至少有2个白球 至少有1个白球和至少有1个红球 在上述事件中 是对立事件的为 解析 是互斥不对立的事件 是对立事件 不是互斥事件 1 2 3 4 5 解析答案 返回 题型分类深度剖析 例1某城市有甲 乙两种报纸供居民订阅 记事件a为 只订甲报纸 事件b为 至少订一种报纸 事件c为 至多订一种报纸 事件d为 不订甲报纸 事件e为 一种报纸也不订 判断下列每对事件是不是互斥事件 如果是 再判断它们是不是对立事件 1 a与c 解由于事件c 至多订一种报纸 中有可能 只订甲报纸 即事件a与事件c有可能同时发生 故a与c不是互斥事件 题型一事件关系的判断 解析答案 2 b与e 解事件b 至少订一种报纸 与事件e 一种报纸也不订 是不可能同时发生的 故b与e是互斥事件 由于事件b不发生可导致事件e一定发生 且事件e不发生会导致事件b一定发生 故b与e还是对立事件 解析答案 3 b与c 解事件b 至少订一种报纸 中有这些可能 只订甲报纸 只订乙报纸 订甲 乙两种报纸 事件c 至多订一种报纸 中有这些可能 一种报纸也不订 只订甲报纸 只订乙报纸 由于这两个事件可能同时发生 故b与c不是互斥事件 解析答案 4 c与e 解由 3 的分析 事件e 一种报纸也不订 是事件c的一种可能 即事件c与事件e有可能同时发生 故c与e不是互斥事件 解析答案 思维升华 对互斥事件要把握住不能同时发生 而对于对立事件除不能同时发生外 其并事件应为必然事件 这些也可类比集合进行理解 具体应用时 可把所有试验结果写出来 看所求事件包含哪几个试验结果 从而判定所给事件的关系 思维升华 判断下列各对事件是不是互斥事件或对立事件 某小组有3名男生和2名女生 从中任选2名同学去参加演讲比赛 其中 恰有1名男生和恰有2名男生 解是互斥事件 不是对立事件 恰有1名男生 实质选出的是 1名男生和1名女生 与 恰有2名男生 不可能同时发生 所以是互斥事件 不是对立事件 跟踪训练1 解析答案 至少有1名男生和至少有1名女生 解不是互斥事件 也不是对立事件 至少有1名男生 包括 1名男生和1名女生 与 2名都是男生 两种结果 至少有1名女生 包括 1名女生和1名男生 与 2名都是女生 两种结果 它们可能同时发生 解析答案 至少有1名男生和全是女生 解是互斥事件且是对立事件 至少有1名男生 即 选出的2人不全是女生 它与 全是女生 不可能同时发生 且其并事件是必然事件 所以两个事件互斥且对立 解析答案 例2 2015 北京 某超市随机选取1000位顾客 记录了他们购买甲 乙 丙 丁四种商品的情况 整理成如下统计表 其中 表示购买 表示未购买 题型二随机事件的频率与概率 1 估计顾客同时购买乙和丙的概率 解从统计表可以看出 在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙 解析答案 2 估计顾客在甲 乙 丙 丁中同时购买3种商品的概率 解从统计表可以看出 在这1000位顾客中 有100位顾客同时购买了甲 丙 丁 另有200位顾客同时购买了甲 乙 丙 其他顾客最多购买了2种商品 解析答案 3 如果顾客购买了甲 则该顾客同时购买乙 丙 丁中哪种商品的可能性最大 解与 1 同理 可得 所以 如果顾客购买了甲 则该顾客同时购买丙的可能性最大 解析答案 思维升华 1 概率与频率的关系 频率反映了一个随机事件出现的频繁程度 频率是随机的 而概率是一个确定的值 通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小 有时也用频率来作为随机事件概率的估计值 2 随机事件概率的求法 利用概率的统计定义求事件的概率 即通过大量的重复试验 事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数 这个常数就是概率 思维升华 某企业生产的乒乓球被奥运会指定为乒乓球比赛专用球 目前有关部门对某批产品进行了抽样检测 检查结果如下表所示 跟踪训练2 1 计算表中乒乓球优等品的频率 2 从这批乒乓球产品中任取一个 质量检查为优等品的概率是多少 结果保留到小数点后三位 解由 1 知 抽取的球数n不同 计算得到的频率值不同 但随着抽取球数的增多 频率在常数0 950的附近摆动 所以质量检查为优等品的概率约为0 950 解析答案 命题点1互斥事件的概率 题型三互斥事件 对立事件的概率 解析答案 解方法一从袋中选取一个球 记事件 摸到红球 摸到黑球 摸到黄球 摸到绿球 分别为a b c d 则有 解析答案 又总球数是12 所以绿球有12 4 5 3 个 所以黄球和绿球共5个 而绿球有3个 所以黄球有5 3 2 个 所以黑球有12 4 3 2 3 个 命题点2对立事件的概率 例4某商场有奖销售中 购满100元商品得1张奖券 多购多得 1000张奖券为一个开奖单位 设特等奖1个 一等奖10个 二等奖50个 设1张奖券中特等奖 一等奖 二等奖的事件分别为a b c 求 1 p a p b p c 解析答案 2 1张奖券的中奖概率 解1张奖券中奖包含中特等奖 一等奖 二等奖 设 1张奖券中奖 这个事件为m 则m a b c a b c两两互斥 解析答案 3 1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率 解设 1张奖券不中特等奖且不中一等奖 为事件n 则事件n与 1张奖券中特等奖或中一等奖 为对立事件 解析答案 思维升华 求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法 一是直接求解法 将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和 二是间接法 先求该事件的对立事件的概率 再由p a 1 p 求解 当题目涉及 至多 至少 型问题时 多考虑间接法 思维升华 国家射击队的队员为在射击世锦赛上取得优异成绩 正在加紧备战 经过近期训练 某队员射击一次命中7 10环的概率如下表所示 求该射击队员射击一次 1 射中9环或10环的概率 2 命中不足8环的概率 跟踪训练3 解析答案 返回 解记事件 射击一次 命中k环 为ak k n k 10 则事件ak彼此互斥 1 记 射击一次 射中9环或10环 为事件a 那么当a9 a10之一发生时 事件a发生 由互斥事件的加法公式得p a p a9 p a10 0 28 0 32 0 60 2 设 射击一次 至少命中8环 的事件为b 又b a8 a9 a10 由互斥事件概率的加法公式得p b p a8 p a9 p a10 0 18 0 28 0 32 0 78 因此 射击一次 命中不足8环的概率为0 22 返回 思想与方法系列 典例 14分 某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息 安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据 如下表所示 已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55 1 确定x y的值 并估计顾客一次购物的结算时间的平均值 思想与方法系列 22 用正难则反思想求互斥事件的概率 解析答案 思维点拨 温馨提醒 返回 易错提示 思维点拨若某一事件包含的基本事件多 而它的对立事件包含的基本事件少 则可用 正难则反 思想求解 解析答案 温馨提醒 易错提示 规范解答解 1 由已知得25 y 10 55 x 30 45 所以x 15 y 20 2分 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体 所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本 顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计 其估计值为 解析答案 温馨提醒 易错提示 2 记a为事件 一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟 a1 a2分别表示事件 该顾客一次购物的结算时间为2 5分钟 该顾客一次购物的结算时间为3分钟 温馨提醒 易错提示 1 要准确理解题意 善于从图表信息中提炼数据关系 明确数字特征含义 2 正确判定事件间的关系 善于将a转化为互斥事件的和或对立事件 切忌盲目代入概率加法公式 易错提示 温馨提醒 1 对统计表的信息不理解 错求x y 难以用样本平均数估计总体 2 不能正确地把事件a转化为几个互斥事件的和或对立事件 导致计算错误 返回 易错提示 思想方法感悟提高 1 对于给定的随机事件a 由于事件a发生的频率fn a 随着试验次数的增加稳定于概率p a 因此可以用频率fn a 来估计概率p a 2 从集合角度理解互斥事件和对立事件从集合的角度看 几个事件彼此互斥 是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集 事件a的对立事件所含的结果组成的集合 是全集中由事件a所含的结果组成的集合的补集 方法与技巧 1 正确认识互斥事件与对立事件的关系 对立事件是互斥事件 是互斥事件中的特殊情况 但互斥事件不一定是对立事件 互斥 是 对立 的必要不充分条件 2 需准确理解题意 特别留心 至多 至少 不少于 等语句的含义 失误与防范 返回 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 下列命题 将一枚硬币抛两次 设事件m 两次出现正面 事件n 只有一次出现反面 则事件m与n互为对立事件 若事件a与b互为对立事件 则事件a与b为互斥事件 若事件a与b为互斥事件 则事件a与b互为对立事件 若事件a与b互为对立事件 则事件a b为必然事件 其中 真命题是 解析答案 解析对 一枚硬币抛两次 共出现 正 正 正 反 反 正 反 反 四种结果 则事件m与n是互斥事件 但不是对立事件 故 错 对 对立事件首先是互斥事件 故 正确 对 互斥事件不一定是对立事件 如 中两个事件 故 错 对 事件a b为对立事件 则一次试验中a b一定有一个要发生 故 正确 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析设 从中取出2粒都是黑子 为事件a 从中取出2粒都是白子 为事件b 任意取出2粒恰好是同一色 为事件c 则c a b 且事件a与b互斥 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 3 从一箱产品中随机地抽取一件 设事件a 抽到一等品 事件b 抽到二等品 事件c 抽到三等品 且已知p a 0 65 p b 0 2 p c 0 1 则事件 抽到的产品不是一等品 的概率为 解析 抽到的产品不是一等品 与事件a是对立事件 所求概率 1 p a 0 35 0 35 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 4 从存放的号码分别为1 2 3 10的卡片的盒子中 有放回地取100次 每次取一张卡片并记下号码 统计结果如下 则取到号码为奇数的卡片的频率是 解析取到号码为奇数的卡片的次数为 13 5 6 18 11 53 0 53 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 5 对一批产品的长度 单位 毫米 进行抽样检测 下图为检测结果的频率分布直方图 根据标准 产品长度在区间 20 25 上的为一等品 在区间 15 20 和 25 30 上的为二等品 在区间 10 15 和 30 35 上的为三等品 用频率估计概率 现从该批产品中随机抽取一件 则其为二等品的概率为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析设区间 25 30 对应矩形的另一边长为x 则所有矩形面积之和为1 即 0 02 0 04 0 06 0 03 x 5 1 解得x 0 05 产品为二等品的概率为0 04 5 0 05 5 0 45 答案0 45 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6 在200件产品中 有192件一级品 8件二级品 则下列事件 在这200件产品中任意选出9件 全部是一级品 在这200件产品中任意选出9件 全部是二级品 在这200件产品中任意选出9件 不全是二级品 其中 是必然事件 是不可能事件 是随机事件 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 7 已知某运动员每次投篮命中的概率都为40 现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率 先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数 指定1 2 3 4表示命中 5 6 7 8 9 0表示不命中 再以每三个随机数为一组 代表三次投篮的结果 经随机模拟产生了如下20组随机数 907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989据此估计 该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析20组随机数中表示三次投篮恰好有两次命中的是191 271 932 812 393 以此估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为0 25 答案0 25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8 若随机事件a b互斥 a b发生的概率均不等于0 且p a 2 a p b 4a 5 则实数a的取值范围是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 9 2014 陕西 某保险公司利用简单随机抽样方法 对投保车辆进行抽样 样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 若每辆车的投保金额均为2800元 估计赔付金额大于投保金额的概率 解设a表示事件 赔付金额为3000元 b表示事件 赔付金额为4000元 以频率估计概率得 由于投保金额为2800元 赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3000元和4000元 所以其概率为p a p b 0 15 0 12 0 27 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 2 在样本车辆中 车主是新司机的占10 在赔付金额为4000元的样本车辆中 车主是新司机的占20 估计在已投保车辆中 新司机获赔金额为4000元的概率 解设c表示事件 投保车辆中新司机获赔4000元 由已知 样本车辆中车主为新司机的有0 1 1000 100 辆 而赔付金额为4000元的车辆中 车主为新司机的有0 2 120 24 辆 由频率估计概率得p c 0 24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 10 从某学校的800名男生中随机抽取50名测量其身高 被测学生身高全部介于155cm和195cm之间 将测量结果按如下方式分组 第一组 155 160 第二组 160 165 第八组 190 195 如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分 已知第一组与第八组人数相同 第六组的人数为4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 求第七组的频率 所以第七组的频率为1 0 08 5 0 008 2 0 016 0 04 2 0 06 0 06 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 2 估计该校的800名男生的身高的中位数以及身高在180cm以上 含180cm 的人数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解身高在第一组 155 160 的频率为0 008 5 0 04 身高在第二组 160 165 的频率为0 016 5 0 08 身高在第三组 165 170 的频率为0 04 5 0 2 身高在第四组 170 175 的频率为0 04 5 0 2 由于0 04 0 08 0 2 0 320 5 估计这所学校的800名男生的身高的中位数为m 则170 m 175 由0 04 0 08 0 2 m 170 0 04 0 5 得m 174 5 所以可估计这所学校的800名男生的身高的中位数为174 5 由直方图得后三组频率为0 08 0 06 0 008 5 0 18 所以身高在180cm以上 含180cm 的人数为0 18 800 144 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生 记他们的身高分别为x y 事件e x y 5 事件f x y 15 求p e f 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解第六组 180 185 的人数为4 设为a b c d 第八组 190 195 的人数为2 设为a b 则从中选两名男生有ab ac ad bc bd cd aa ba ca da ab bb cb db ab 共15种情况 因事件e x y 5 发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组 解析答案 由于 x y max 195 180 15 所以事件f x y 15 是不可能事件 p f 0 由于事件e和事件f是互斥事件 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11 在一次随机试验中 彼此互斥的事件a b c d的概率分别是0 2 0 2 0 3 0 3 则下列说法正确的是 a b与c是互斥事件 也是对立事件 b c与d是互斥事件 也是对立事件 a c与b d是互斥事件 但不是对立事件 a与b c d是互斥事件 也是对立事件 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析由于a b c d彼此互斥 且a b c d是一个必然事件 故其事件的关系可由如图所示的venn图表示 由图可知 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件 任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件 正确 答案 12 如图所示 茎叶图表示的是甲 乙两人在5次综合测评中的成绩 其中一个数字被污损 则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析记其中被污损的数字为x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11