4.1 自回归过程的性质.pptVIP

1 4 1自回归过程的性质 一 一阶自回归过程AR 1 的性质二 二阶自回归过程AR 2 的性质三 p阶自回归过程AR p 的性质 返回本节首页 下一页 上一页 2 一 时间序列模型的平稳性 Stationarity 平稳性的定义 如果一个时间序列模型可以写成如下形式 其中 xt为零均值平稳序列 at为白噪声 且满足条件就称该模型是平稳的 上式又称Wold展开式 返回本节首页 下一页 上一页 3 4 时间序列模型的可逆性 ivertibility 如果一个时间序列 未必平稳 的模型可以写成如下形式 其中 at为白噪声 且有那么 就称这个模型是可逆的 返回本节首页 下一页 上一页 5 对于一个有限阶的自回归模型AR P 总有 所以 一个有限阶的AR p 模型总是可逆的 6 自回归表示有助于理解预测机制 Box和Jenkins证明在预测时 一个非可逆过程是毫无意义的 7 一 一阶自回归过程AR 1 的性质 一阶自回归模型的形式为 或 返回本节首页 下一页 上一页 8 1 平稳性和可逆性 A 可逆性 一个有限阶的自回归模型总是可逆的 所以 AR 1 模型总是可逆的 B 平稳性 为满足平稳性 的根必须在单位圆外 于是有 9 10 上式说明系统是怎样记忆扰动at上式中的系数客观的描述了该系统的动态性 故这个系数称为记忆函数 格林函数 AR 1 模型的格林函数可表示为平稳序列的这种表示形式 称为 传递形式 用无穷阶MA模型来逼近有限阶AR模型 11 格林函数的意义 是前j个时间单位以前进入系统的扰动对系统现在的影响 客观的刻划了系统动态响应衰减的快慢程度 是系统动态真实描述 格林函数所描述的动态性完全取决于系统参数 12 对于AR 1 来说 若系统受到扰动后 该扰动的作用逐渐减小 直至趋于零 即系统随着时间的增长回到均衡位置 那么该系统就是渐近稳定的 也就是平稳的 系统平稳对于格林函数来说 就是随着j的增加 趋近于零 若格林函数趋于无穷大 那么任意小的扰动 只要给定足够的时间 就会使系统响应正负趋于无穷 永远不会回到其均衡位置 这时系统便是不稳定的 当然是非平稳的 13 2 AR 1 过程的自相关函数 14 15 16 17 通过上述推导可看出 当过程平稳即时 AR 1 过程的自相关函数 ACF 呈指数衰减 如果 那么所有的自相关系数都为正 并逐渐衰减 如果 自相关系数的符号以负号开始 并呈正 负交替逐渐衰减 18 例1 下面两图表分别是模拟生成的249个数据如下AR 1 过程趋势图和自相关图 19 6 4 2 0 2 4 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 例1 模拟生成的AR 1 过程趋势图 20 例1 模拟生成的AR 1 过程自相关图 呈指数衰减 21 例2 下面两图表分别是模拟生成的249个数据如下AR 1 过程趋势图和自相关图 22 6 4 2 0 2 4 6 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 Y 例2 模拟生成的AR 1 过程趋势图 23 例2 模拟生成的AR 1 过程自相关图 呈正负交替指数衰减 24 3 AR 1 过程的偏自相关函数 PACF A 偏自相关函数的一般公式 25 26 27 28 29 B AR 1 过程的偏自相关函数 30 上述结论说明 AR 1 过程的偏自相关函数 PACF 在滞后一阶有一峰值 其符号取决于 滞后一阶以后PACF截尾 31 例1 模拟生成的AR 1 过程自相关图 滞后一阶以后截尾 32 例2 模拟生成的AR 1 过程自相关图 滞后一阶以后截尾 33 二 二阶自回归AR 2 过程的性质 二阶自回归模型的形式为 或 返回本节首页 下一页 上一页 34 B 平稳性 为满足平稳性 的根必须在单位圆外 1 平稳性和可逆性 A 可逆性 AR 2 模型总是可逆的 35 36 注 我们下面对AR 2 性质的讨论中都假定平稳性条件满足 37 2 0 2 1 0 1 实根 复根 AR 2 过程的平稳性区域如下图三角域所示 38 2 AR 2 过程的自相关函数 39 40 41 42 通过上述推导可以如下结论 在AR 2 过程的平稳性条件满足时 如果特征方程的根为实根 即时 AR 2 的自相关函数呈指数衰减 如果特征方程的根为复根 即时 AR 2 的自相关函数呈阻尼正弦波衰减 43 3 AR 2 过程的偏自相关函数 44 45 通过上述证明可以得出如下结论 46 例1 下面两图表分别是模拟生成的250个数据如下AR 2 过程趋势图和自相关图 47 4 2 0 2 4 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 例1 模拟生成的AR 2 过程趋势图 48 例1 模拟生成的AR 2 过程自相关图 呈混合指数衰 滞后二阶以后截尾 49 例2 下面两图表分别是模拟生成的250个数据如下AR 2 过程趋势图和自相关图 50 6 4 2 0 2 4 6 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 例2 模拟生成的AR 2 过程趋势图 51 例2 模拟生成的AR 2 过程自相关图 呈混合指数衰减 滞后二阶以后截尾 52 例3 下面两图表分别是模拟生成的250个数据如下AR 2 过程趋势图和自相关图 53 4 2 0 2 4 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 模拟生成的AR 2 过程趋势图 54 模拟生成的AR 2 过程自相关图 呈阻尼正弦波衰减 滞后二阶以后截尾 55 三 p阶自回归过程AR p 的性质 二阶自回归模型的形式为 或 返回本节首页 下一页 上一页 56 B 平稳性 为满足平稳性 的根必须在单位圆外 1 平稳性和可逆性 A 可逆性 AR p 模型总是可逆的 即如果 1 2 p是的根 那么它们的绝对值 i 1 57 其实也就是要求特征方程的特征根都在单位圆内 即如果 1 2 p是上述特征方程的p个特征根 那么为满足平稳性条件 必须有 i 1 注 下面对AR p 性质的讨论 都假定平稳性条件满足 58 对于高阶的自回归过程 其平稳性条件用其模型参数表示虽比较复杂 但都有最基本的一点 这是自回归过程平稳的必要条件之一 59 一个可逆过程不一定是平稳的 对于一个有限阶的AR P 模型 自回归过程的平稳性条件 stationaritycondition 它是平稳过程的必要条件是 的根都在单位圆外 即如果 1 2 p是的根 那么它们的绝对值必须大于1 返回本节首页 下一页 上一页 60 注 61 移项得 推导过程如下 由 根据数学知识 上式可以展开为幂级数 即 62 根据平稳性的条件有 即级数必须收敛 而要满足这个条件 则必须有 的根都在单位圆外 63 通过上述推导 可以得出如下结论 一个有限阶的AR p 模型 可以表示成一个无限阶的MA模型 64 2 AR p 的自相关函数ACF 65 66 通过上述推导有如下结论 对于平稳过程 有 i 1 AR p 过程的ACF是由差分方程的根确定的 呈混合指数衰减或出现复根时的阻尼正弦波衰减 67 3 AR p 过程的偏自相关函数PACF 68 可以很容易地看出 当k p时 上式分母行列式最后列是同一矩阵前