2019年全国高中数学联赛A卷.pdf

2019 年全国高中数学联赛 A 卷 一试部分 一 填空题 本大题共 8 小题 每题 8 分 共 64 分 1 已知正实数 a 满足 8 9 aa aa 则log 3 a a的值为 2 若实数集合 1 2 3 x 的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和 则 x 的值为 3 平面直角坐标系中 e 是单位向量 向量a 满足2a e 且 2 5 aate 对任意实数 t 成立 则 a 的取值范围是 4 设A B为椭圆 的长轴顶点 E F为 的两个焦点 AB 4 AF 23 P为 上一点 满足 PE PF 2 则 PEF 的面积为 5 在 1 2 3 10 中随机选出一个数 a 在 1 2 3 10 中随机选出一个数 b 则 2 ab 被 3 整除的概率为 6 对任意闭区间 I 用 MI表示函数 y sinx 在 I 上的最大值 若正数 a 满足 M 0 a 2M a 2a 则 a 的值为 7 如图 正方体 ABCD EFGH 的一个截面经过点 A C 及棱 EF 上一点 K 且将正方体分成体积比为 3 1 的两部分 则 EK FK 的值为 8 将 6 个数 2 0 1 9 20 19 按任意次序排成一行 拼成一个 8 位数 首位不为 0 则产生的不同的 8 位数的个数为 二解答题 本大题共 3 小题 满分 56 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 9 本题分16分 在 ABC中 BC a CA b AB c 若b是a与c的等比中项 且sinA是sin B A 与sinC的等差中项 求cosB 的值 10 本题满分 20 分 在平面直角坐标系 xOy 中 圆 与抛物线 y 2 4x 恰有一个公共点 且圆 与 x 轴相切于 的焦 点 F 求圆 的半径 11 本题满分 20 分 称一个复数数列 zn 为 有趣的 若 z1 1 且对任意正整数 n 均有 22 11 420 n nnn zz zz 求最大 的常数 C 使得对一切有趣的数列 zn 及任意正整数 m 均有123 m zzzzC 2019 年全国高中数学联赛 A 卷 加试部分 一 本题满分 40 分 如图 锐角 ABC 中 M 是 BC 边的中点 点 P 在 ABC 内 使得 AP 平分 BAC 直线 MP 与 ABP ACP 的外接圆分别相交于不同于点 P 的两点 D E 证明 若 DE MP 则 BC 2BP 二 本题满分 40 分 设整数 a1 a2 a3 a2019满足 1 a1 a2 a3 a2019 99 记 222 12201913243520172019 faaaa aa aa aaa 求 f 的最小值 f0 并确定使 f f0成立的数组 a1 a2 a2019 的个数 三 本题满分 50 分 设 m 为整数 m 2 整数数列 a1 a2 满足 a1 a2不全为零 且对任意正整数 n 均有 21nnn aama 求证 若存在整数 r s r s 2 使得 ar as a1 则 r s m 四 本题满分 50 分 设 V 就空间中 2019 个点构成的集合 其中任意四点不共面 某些点之间连有线段 记 E 为这些线 段构成的集合 试求最小的正整数 n 满足条件 若 E 至少有 n 个元素 则 E 一定含有 908 个二元子集 其中每个二元子集中 的两条线段有公共端点 且任意两个二元子集的交集为空集 2019 年全国高中数学联赛 A 卷 一试部分 二 填空题 本大题共 8 小题 每题 8 分 共 64 分 1 已知正实数 a 满足 8 9 aa aa 则log 3 a a的值为 答案 9 16 解 由条件知 1 8 9aa 故 9 16 39aa aa 所以 9 log 3 16 a a 2 若实数集合 1 2 3 x 的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和 则 x 的值为 答案 3 2 解 假如 x 0 则最大最小元素之差不超过 3 x 而所有元素之和大于 max 3 x 不符合条件 帮 x 0 即 x 为最小元素 于是 3 x 6 x 解得 3 2 x 3 平面直角坐标系中 e 是单位向量 向量a 满足2a e 且 2 5 aate 对任意实数 t 成立 则 a 的取值范围是 答案 5 2 5 解 不妨设 1 0 e 由于2a e 可设 2 as 则对任意实数 t 有 2222 4 5 5 2 saatets 这等价于 2 45 ss 解得 1 4 s 即 2 1 16 s 于是 2 4 5 2 5 as 4 设A B为椭圆 的长轴顶点 E F为 的两个焦点 AB 4 AF 23 P为 上一点 满足 PE PF 2 则 PEF 的面积为 答案 1 解 不妨设平面直角坐标系中 的标准方程为 22 22 1 0 xy ab ab 根据条件得 2a AB 4 22 23aabAF 可知 a 2 b 1 且 EF 22 22 3ab 由椭圆的定义知 PE PF 2a 4 结合 PE PF 2 得 PE 2 PF 2 PE PF 2 2 PE PF 12 EF 2 所以 EPF 为直角 进而 S PEF PE PF 1 5 在 1 2 3 10 中随机选出一个数 a 在 1 2 3 10 中随机选出一个数 b 则 2 ab 被 3 整除的概率为 答案 37 100 解 数组 a b 共有 10 10 100 种等概率的选法 考虑其中 2 ab 被 3 整除的选法 N 若 a 被 3 整除 则 b 也被 3 整除 此时 a b 各有 3 种选法 这样的 a b 有 3 3 9 组 若 a 不被 3 整除 则 a 2 1 mod3 从 而 b 1 mod3 此时 a 有 7 种选法 b 有 4 种选法 这样的 a b 有 7 4 28 组 因此 N 9 28 37 于是所求的概率为 37 100 6 对任意闭区间 I 用 MI表示函数 y sinx 在 I 上的最大值 若正数 a 满足 M 0 a 2M a 2a 则 a 的值为 答案 513 612 或 解 假如 0 a 2 则由正弦函数图象的性质得 00 满足 b qa c q 2a 因 sinA 是 sin B A 与 sinC 的等差中项 故 2sinA sin B A sinC sin B A sin B A 2sinBsinA 4 分 结合正余弦定理 得 222 sin cos sin2 aAbca A bBbc 即 222 2bcaac 将 代入并化简 可知 q 2 q4 1 2q2 即 q4 q2 1 所以 2 51 2 q 12 分 进而 22242 22 1151 cos 222 cabqq B acqq 10 本题满分 20 分 在平面直角坐标系 xOy 中 圆 与抛物线 y 2 4x 恰有一个公共点 且圆 与 x 轴相切于 的焦 点 F 求圆 的半径 解 易知 的焦点 F 的坐标为 1 0 设圆 的半径为 r r 0 由对称性 不妨设 在 x 轴的上方与 x 轴相切于 F 故 的方程为 x 1 2 y r 2 r2 将 y 2 4x 代入并化简 得 2 2 2 120 4 y yry 显然 y 0 故 2 222 2 1 4 1 2432 yy ry yy 5 分 根据条件 恰好有一个正数解 y 该 y 值对应 与 的唯一公共点 考虑 22 4 0 32 y f yy y 的最小值 由平均值不等式知 3 222 4 44444 44 33333 yyy 从而 3 2 144 3 16 3239 f yy y 15 分 由 有解可知 4 3 9 r 又假如 4 3 9 r 因 f y 随 y 连续变化 且 y 0 及 y 时 f y 可任意大 故 在 2 32 3 0 33 及 上均有解与解的唯一性矛盾 综上 仅有 4 3 9 r 满足条件 此时点 1 2 3 33 是 与 的唯一公共点 20 分 11 本题满分 20 分 称一个复数数列 zn 为 有趣的 若 z1 1 且对任意正整数 n 均有 22 11 420 n nnn zz zz 求最大 的常数 C 使得对一切有趣的数列 zn 及任意正整数 m 均有123 m zzzzC 解 考虑有趣的复数数列 zn 归纳地可知 zn 0 n N 由条件得 2 11 4210 nn nn zz nN zz 解得 1 13 4 n n zi z 因此 11 131 42 nn nn zzi zz 故 1 11 11 22 n nn zznN 5 分 进而有 1 1 1 1333 1 422 n nnn nn n zi zzznN z 记 123 mm TzzzzmN 当 m 2s s N 时 利用 可得 12212212 21 222 3333 2232 s mkkkk k kkk Tzzzzzz 10 分 当 m 2s 1 时 s N 时 由 可知 21212 221 21 13 23 2 skk ss ks zzz 故122122121221 222 3333 2232 s mkkskk k kkk Tzzzzzzz 当 m 1 时 11 3 1 3 Tz 以上表明 3 3 C 满足要求 另一方面 当 z1 1 22 13 2 k k i z 2121 13 2 k k i z k N 时 易验证知 zn 为有趣的数列 此时 211221 21 11 333343 limlim lim 11 8332 ss xkk k sss kk ii Tzzz 这表明 C 不能大于 3 3 综上 所求的 C 为 3 3 20 分 2019 年全国高中数学联赛 A 卷 加试部分 说明 1 评阅卷时 请严格按照本评分标准的评分档次给分 2 如果考生的解答方法和本解答不同只要思路合理 步骤正确 在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分 10 分 为一个档次 不得增加其他中间档次 一 本题满分 40 分 如图 锐角 ABC 中 M 是 BC 边的中点 点 P 在 ABC 内 使得 AP 平分 BAC 直线 MP 与 ABP ACP 的外接圆分别相交于不同于点 P 的两点 D E 证明 若 DE MP 则 BC 2BP 证明 延长 PM 到点 F 使得 MF ME 连接 BF BD CE 由条件可知 BDP BAP CAP CEP CEM 10 分 因为 BM CM 且 EM FM 所以 BF CE 且 BF CE 于是 F CEM BDP 进而 BD BF 20 分 又 DE MP 故 DP EM FM 于是在等腰 BDF 中 由对称性得 BP BM 从而 BC 2BM 2BP 40 分 二 本题满分 40 分 设整数 a1 a2 a3 a2019满足 1 a1 a2 a3 a2019 99 记 222 12201913243520172019 faaaa aa aa aaa 求 f 的最小值 f0 并确定使 f f0成立的数组 a1 a2 a2019 的个数 解 由条件知 2017 22222 12201820192 1 2 ii i faaaaaa 由于 a1 a2及 ai 2 ai i 1 2 2016 均为非负整数 故有 22 1122 aa aa 且 2 22 1 2 2016 iiii aaaa i 于是 20162016 222 12212220172018 11 iiii ii aaaaaaaaaa 10 分 由 得 2222 2017201720172017 1 99 99 49 74007400 2 faaaa 20 分 另一方面 令 a1 a2 a1920 1 a1920 2k 1 a1920 2k k k 1 2 49 a2019 99 此时验证知上述所有不等式均取到等号从而 f 的最小值 f0 7400 30 分 以下考虑 的取等条件 此时 a2017 a2018 49 且 中的不等式均取等 即 a1 a2 1 ai 2 ai 0 1 i 1 2 2016 因此 1 a1 a2 a3 a2018 49 且对每个 k 1 k 49 a1 a2 a2018中至少有两项等于 k 易验证知这也是 的取等的 充分必要条件 对每个 k 1 k 49 设 a1 a2 a2018中等于 k 的项数为 1 nk 则 nk为正整数 且 1 n1 1 n2 1 n49 2018 即 n1 n2 n49 1969该方程的正整数解 n1 n2 n49 的组数为 48 1968 C 且每组解唯一对应一个使 取等的数组 a1 a2 a3 a2019 故使 f f0 成立的数组 a1 a2 a3 a2019 有 48 1968 C 个 三 本题满分 50 分 设 m 为整数 m 2 整数数列 a1 a2 满足 a1 a2不全为零 且对任意正整数 n 均有 21nnn aama 求证 若存在整数 r s r s 2 使得 ar as a1 则 r s m 证明 不妨设 a1 a2互素 否则 若 a1 a2 d 1 则 12 aa dd 互素 并利用 312 aaa ddd 代替 123 a a a 条件与结论不变 由数列递推知 a2 a3 a4 mod m 以下证明 对任意整数 n 3 有 an a2 a1 n 3 a2 m modm 2 10 分 事实上 当 n 3 时 式显然成立 假设 n k 时 成立 其中 k 为某个大于 2 的整数 注意到 有 2 12 mod k mamam 结合归纳假设知 ak 1 ak mak 1 a2 a1 k 3 a2 m ma2 a2 a1 k 2 a2 m modm 2 即 n k 1 时 也成立 因此 对任意整数 n 3 均成立 20 分 注意 当 a1 a2时 对 n 2 也成立 设整数 r s r s 2 满足 ar as a1 若 a1 a2 由 对 n 2 均成立 可知 a2 a1 r 3 a2 m ar as a2 a1 s 3 a2 m modm 2 即 a1 r 3 a2 a1 s 3 a2 mod m 即 r s a2 0 mod m 若 a1 a2 则 ar as a1 a2 故 r s 3 此时由于 对 n 3 均成立 故类似可知 仍成立 我们证明 a2 m 互素 事实上 假如 a2与 m 存在一个公因子 p 则由 得 p 为 a2 a3 a4 的公共因子 而 a1 a2互素 故 a1 这与 ar as a1矛 盾 因此 由 得 r s 0 mod m 又 r s 所以 r s m 50 分 四 本题满分 50 分 设 V 就空间中 2019 个点构成的集合 其中任意四点不共面 某些点之间连有线段 记 E 为这些线 段构成的集合 试求最小的正整数 n 满足条件 若 E 至少有 n 个元素 则 E 一定含有 908 个二元子集 其中每个二元子集中 的两条线段有公共端点 且任意两个二元子集的交集为空集 解 为了叙述方便 称一个图的两条相邻的边构成一个 角 先证明一个引理 设 G V E 是一个简单图 且 G 是连通的 则 G含有 2 E 个两两无公共边的角 这里 表示实数 的整 数部分 引理证明 对 E 的元素个数 E 归纳证明 当 E 0 1 2 3 时 结论显然成立 下面假设 E 4 并且结论在 E 较小时均成立 只 需证明 在 G 中可以选取两条边 a b 构成一个角 在 G 中删去 a b 这两条边后 剩下的图含有一个连通的分支包含 E 2 条 边 对这个连通的分支应用归纳假设即得结论成立 考虑 G 中最长路 P v1 v2 vk其中 v1 v2 vk是互不相同的顶点 因为 G 连通 故 k 3 情形 1 deg v1 2 由于 P 是最长路 v1的邻点均在 v1 v2 vk中 设 v1vi E 其中 3 i k 则 v1v2 v1vi 是一个角 在 E 中删去 这两条边 若v1处还有第三条边 则剩下的图是连通的 若v1处仅有被删去的两条边 则v1成为孤立点 其余顶点仍互相连通 总之 在剩下的图中有一个连通的分支含有 E 2 条边 情形 2 deg v1 1 deg v2 2 则 v1v2 v2v3 是一个角 在 G 中删去这两条边后 v1 v2 都成为孤立点 其余的点互相连通 因此 有一个连通分支含有 E 2 条边 情形 3 deg v1 1 deg v2 3 且 v2与 v4 vk中某个点相邻 则 v1v2 v2v3 是一个角 在 G 中删去这两条边后 v1成为孤立 点 其余点互相连通 因此有一个连通分支含有 E 2 条边 情形 4 deg v1 1 deg v2 3 且 v2与某个 u v1 v3 vk 相邻 由于 P 是最长路 故 u 的邻点均在 v2 vk之中 因 v1v2 v2u 是一个角 在 G 中删去两条边 则 v1是孤立点 若 u 处仅有边 uv2 则删去所述边后 u 也是孤立点 而其余点互相连 通 若 u 处仅还有其他边 uvi 3 i k 则删去所述边后 除 v1外其余点互相连通 总之剩下的图中有一个连通的分支含有 E 2 条边 20 分 引理获证 回到原题 题中的 V 和 E 可看做一个图 G V E 首先证明 n 2795 设 V v1 v2 v2019 在 v1 v2 v61中 首先两两连边 再删去其中 15 条边