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2020 年考研数三真题参考答案 真题网上搜集而做的解答 会有误差 仅供参考 一 选择题 1 设 lim xa f xa b xa 则 sin sin lim xa f xa xa A sinba B cosba C sin bf a D cos af a 解析 sin sinsin sin limlim xaxa f xaf xaf xa xaf xaxa coslimcos xa f xa aba xa 2 函数 1 1ln 1 12 x x ex f x ex 的第二类间断点的个数 A 1 B 2 C 3 D 4 解析 间断点 0 2 1 1 但 021 1 1 lim lim lim lim 2 xxx x f xf xf xf x e 所以选 C 3 对奇函数 f x在 上有连续导数 则 A A 0 cos x f tf t dt 是奇函数 B 0 cos x f tf t dt 是偶函数 C 0 cos x f tf t dt 是奇函数 D 0 cos x f tf t dt 是偶函数 解析 f x为奇函数 则其导数 fx 为偶函数 又cosx为偶函数 则cos f x也是偶函 数 故cos f tft 为偶函数 以 0 为下限 被积函数为偶函数的变限积分函数为奇函 数 所以 A 是正确 4 已知幂级数 1 2 n n n na x 的收敛区间为 2 6 则 2 1 1 n n n a x 的收敛区间为 B A 2 6 B 3 1 C 5 3 D 17 15 解析 由比值法知 要使幂级数收敛 必有 22 1 2 1 lim 1 n n n n n ax ax 2 1 lim 1 1 n n n a x a 1 又由 1 2 n n n na x 的收敛区间为 2 6 所以 1 n n n na x 的收敛半径为 4 即收敛半径为 1 lim4 n n n a R a 所以 22 1 1 lim 1 1 1 4 n n n a xx a 从而得31 x 5 设四阶矩阵 A 不可逆 12 a的代数余子式 12 0A 1234 为矩阵 A 的列向量组 A为 A 的伴随矩阵 则方程组 0A x 的通解为 A 112233 xkkk 123 k k kR B 112234 xkkk 123 k k kR C 112334 xkkk 123 k k kR D 122334 xkkk 123 k k kR 解析 因为 12 0A 所以 A 中有一个 3 阶子式不为零 又 A 不可逆 从而知 R A 3 故 1R A 再由 12 0A 知 134 线性无关 综上可得 134 是 0A x 的一个基础解 系 所以知 C 正确 6 设 A 为 3 阶矩阵 12 为 A 属于 1 的线性无关的特征向量 3 为 A 的属于特征值 1 的特征向量 则满足 1 100 010 001 P AP 的可为 A 1323 B 1223 C 1332 D 1232 解析 由已知可得 112233 1 1 1AAA 所以 121233 1 1AA 令 1232 P 则有 1 100 010 001 P AP 7 已知 11 0 412 P AP BP CP ABP ACP BC 则 A B C 恰好发 生一个的概率为 D A 3 4 B 2 3 C 1 2 D 5 12 解析 P ABCP ABCP ABC 2 P ABCP BACP ABC A B C P APBCP BPACP CPAB A P ACP ABC P BC P ABC P APBP BP AB P ABC P CP ACP BC 因为 P AB 0ABCAB P ABC 所以 原式 11111115 4124124121212 8 若二维随机变量 X Y服从 1 0 0 1 4 2 N 则下列服从标准正态分布且与 X 独立的 是 A 5 5 XY B 5 5 XY C 3 3 XY D 3 3 XY 解析 由二维正态分布可知 1 0 1 0 4 2 XY XNYN 2 3 XY D XYD XD YD X D Y 所以 0 3 XYN 3 0 1 3 XYN 又 Cov X XY X D Y 0 XY Cov X XCov X YD XD 所以 X 与 3 3 XY 相互独立 二 填空题 9 设 arctansin zxyxy 则 0 dz 解析 由 arctansin zxyxy 得tansin zxyxy 两边微分得 2 seccos zdzxdyydxxydxdy 且 0 0z 将 0 0 代入上式得 0 dz cos 0 1dxdxdydxdy 10 已知曲线满足 2 0 xy xye 求曲线在点 0 1 处的切线方程 解析 在方程 2 0 xy xye 的两边同时对 x 求导数 得 2 120 xy yeyxy 3 将点 0 1 代入上式得 0 1 x dy dx 所以切线方程为1yx 11 设 产 量 为 Q 单 价 为 P 厂 商 成 本 函 数 为 10013 C QQ 需 求 函 数 为 800 2 3 Q P P 求厂商取得最大利润时的产量 解析 由 800 2 3 Q P P 得 800 3 2 P Q 则利润函数为 800 3 100 13 2 L QQQ Q 2 1600 16 2 L Q Q 令 0L Q 可得8Q 且有 3 3200 0 2 L Q Q 故当 8Q 时利润最大 12 设平面区域为 2 1 1 21 x Dx yyxx x 则求 D 绕 y 轴旋转一周所成的 旋转体的体积 解析 由题意得旋转体的体积为 1 0 2 y Vxf x dx 1 1 23 2 0 0 11 2ln 1 123 x xdxxx x 1 ln2 3 13 行列式 011 011 110 110 a a D a a 解析 记 011 011 a AB a 则 ABABBABB DAB AB BABAAOAB 42 1111 4 1111 aa aa aa 4 另法 011 011011 110110 110110 aaaaa aa D aa aa 1111 011 110 110 a a a a 1111 11 011 211 0211 211 0211 a a aaa a a a 42 4aa 14 随机变量 X 的分布律为 1 k1 2 Y 2k P Xk 为 X 被 3 除的余数 则 E Y 解析 11 11 03 87 n nn P YP Xn 10 1 14 131 2 87 n nn P YP Xn 142 21011 777 P YP YP Y 所以 所求的数学期望为 1428 012 7777 E Y 三 解答题 15 设 a b为常数 且当n 时 1 1 n e n 与 a b n 等价无穷小 求 a b的值 解析 1 1 lim n n a e n I b n 11 ln 1ln 11 11 limlim 11 nn nn nn aa eeee bb nn 1 ln 11 lim 1 n a n en b n 11 ln 1 lim 1 n a n nne b n 由于 2 111 1 ln 1 2 n nnn 所以得1 a 且 1 1 2 lim1 2 n e Ibe b 16 求 33 8f x yxyxy 的极值 5 解析 令 2 2 30 240 f xy x f yx y 得到驻点 1 1 0 0 6 12 又 222 22 6 1 48 fff Ax BCy xx yy 在 0 0处 有 2 10ACB 且10A 此时有极小值 且 极小值为 33 1 111111 8 6 12612612216 f 17 设 yf x 满足250yyy 且 0 1 0 1 f f 1 求 f x 2 设 n n af x dx 求 1 n n a 解析 1 由250yyy 得特征方程为 2 250 解得 1 2 1 2i 所以 方 程的通解 为 12 cos2sin2 x f xeCxCx 再由条件 0 1 0 1 f f 得 12 1 0CC 从而得 cos2 x f xex 2 由 1 得 1 cos2cos22sin2 5 xxx n nnn af x dxexdxexex 1 5 n e 所以 11 111 551 n n nn ae e 18 设区域 22 1 0Dx yxyy 2 1 D f x yyxxf x y dxdy 计算 D xf x y dxdy 解析 记 D af x y dxdy 则 2 1f x yyxax 两边积分得 2 1 DD ayx dxdyaxdxdy 由区域的对称性及被积函数的奇偶性得 6 1 2 210 D yx dxdy 2 11 2 00 21 x x dxydy 3 1 24 22 00 sin 3 13 1cos 4 2 216 xt xdxtdt 所以 2 3 1 16 f x yyxx 两边乘以 x 后积分得 D xf x y dxdy 2 3 1 16 D x yxx dxdy 222 33 1 1616 DDD xyx dxdyx dxdyx dxdy 1 2 3 2 16 D x dxdy 1 22 31 2 162 D xydxdy 这步利用轮换性 1 2 2 00 3313 1616 2 4128 dr rdr 19 设函数 f x在 0 2上具有连续可导 0 2 0 ff 0 2 max x Mf x 证明 1 存在 0 2 使 fM 2 若对任意的 0 2x fxM 则0M 证明 1 M 0 时 则 0f x 结论成立 当0M 时 不妨设在点 0 2c 处取得最 大 值 f cM 由 拉 格 朗 日 中 值 定 理 得 若 0 1c 则 存 在 1 0 c 使 得 1 0 0 f cfM fM cc 若 1 2c 则 至少 存在一点 2 2 c 使 得 2 2 22 ff cM fM cc 所以 1 fM 或 2 fM 2 对任意的 0 2x 都有 00 0 cc Mf cff cfx dxfx dx 0 M cMc 22 2 cc Mff cf cfx dxfx dx 2 Mc 由 知 1 0 M c 再由 知 1 0 M c 所以 当1c 时 必有0M 7 当1c 时 则有 1 fM 由费尔马引理 知 1 0 f 设 01 g xf xMxx 则有 0g xfxM 求 1 a b 的值 2 正交矩阵 Q 解析 1 记 11 22 122 242 xya xyAB xyb 故 TT fx Ax gy By 因为 xQy 故 TT fy Q AQy 所以 T BQ AQ 其中 Q 为正交矩阵 所以 A B 相似 故 特征值相同 且 tr Atr B AB 从而得 5 40 ab ab 4 1ab 2 由于 1212 0 5 Atr A 知 A B 的特征值都为 12 5 0 解齐次线性方程组 12 0 0EA xEB x 求出特征向量并进行单位化 则有 对 1 5 由 4221 5 2100 EA 知 1 1 1 25 对 2 0 由 1212 0 2400 EA 知 2 2 1 15 同理可得 B 的属于 1 5 的特征向量为 1 2 1 15 属于 2 0 的特征向量为 2 1 1 25 现记 112 12 1 215 Q 212 21 1 125 Q 就有 1122 50 00 TT Q AQQ BQ 所以 2112 TT Q Q AQQB 令 12 T QQQ 43 1221 11 55 21123455 55 则 T BQ AQ 二次型 12 f x x 经正交变换xQy 化为 12 g y y 8 21 设 A 为 2 阶矩阵 PA 其中 是非常向量 且不是 A 的特征向量 1 证明 P 是可逆矩阵 2 若 2 60AA 求 1 P AP 并判断 A 是否相似于对角矩阵 解析 1 反证 若 P 不可逆 则 P 0 即A 与线性相关 所以存在常数 K 使得 Ak 这与 不是 A 的特征向量矛盾 从而 P 是可逆矩阵 2 由 2 60AA 知 320AEAE 记 1 2AE 再由已知 1 0 由 1 30AE 得 1 3 是 A 的对应于 1 的特征值 同理有 230AEAE 记 2 3AE 2 0 由 2 20AE 得 2 2 是 A 的对应于 2 的特征值 所以 A 有二个不同的特征值 12 3 2 从而知 A 可以与对角矩阵相似 22 二维随机变量 X Y在区域 2 y 0y1Dxx 求 1 二维随机变量 12 Z Z的概率分布 2 求 12 Z Z的相关系数 解析 1 X Y服从均匀分布 则可得密度函数为 2 01 2 0 yx f x y 12 1 0 0P ZZP XY XY 12 1 1 1 4 P ZZP XY XY 2 12 Z Z的相关系数为 12 12 XY Cov Z Z D Z D Z 1212 2222 1122 E Z ZE Z E Z E ZEZE ZEZ 9 22 11 3 1 44 4 3 1133 4444 23 设某种电子元件的使用寿命 T 的分布函数为 1 0 0 m t et F t 其他 其中 m 为参数且大于零 1 求概率 P Tt 与 P Tst Ts 其中0 0 st 2 任取 n 个这种元件做寿命试验 测得它们的寿命分别为 12 n t tt 若 m 已知 求 的 最大似然估计值 解析 1 11 P TtP TtF t m t e P Tst TsP Tt m