高中数学第三章三角恒等变换3.2二倍角的三角函数导学案苏教版.docx

3.2 二倍角的三角函数课堂导学三点剖析1.二倍角公式应用初步【例1】（1）求coscos的值；（2）求cos20cos40cos80；（3）求的值.思路分析：本题主要涉及给角求值问题，应充分利用倍角公式及变形形式，抓住题目中各角之间的关系.解：（1）coscos=cossin=2cossin=sin=.（2）原式=.（3）=温馨提示 对于这类给角求值的问题，应首先观察题目中各角之间的关系.（1）根据、两角互余，将cos换成sin，再配以系数2即可逆用二倍角公式求值；（2）由于各角之间具有倍数关系，40=220，80=240，故分子分母同乘以sin20，便可逆用二倍角公式求值；（3）由结构特点看应先通分，分子正好逆用两角差的正弦公式，分母逆用二倍角公式，约分后即可求值.2.二倍角公式的变形应用【例2】设sin（-x）=,0x,求的值.思路分析：注意到角之间的关系，2x是x的二倍角，-x与+x互为余角，是特殊角.解法1：0x,0-x,cos(-x)=.又cos（+x）=sin(-x)=,原式= =2cos(-x)=.解法2：cos2x=cos2x-sin2x=(cosx+sinx)(cosx-sinx)=sin(x+)cos(x+)=2sin(x+)cos(x+).原式=2sin(x+)=2cos(-x).后面同解法一.温馨提示 仔细分析角与角的关系，如-x与+x互为余角；2x是x的倍角，且cos2x=sin(2x)=sin2（x）.分析角的关系，往往是解题的突破口.3.二倍角变形应用【例3】（1）化简；（2）设（，2），化简解：（1）原式=2|sin4+cos4|+2|cos4|.因为4（，），所以sin40,cos40.故原式=-2（sin4+cos4）-2cos4=-2sin4-4cos4=-2（sin4+2cos4）.（2）因为（，2），所以cos0，cos0.故，原式=温馨提示（1）带有根号的化简问题，首先要去掉根号，想办法将根号内的式子化成完全平方式，即三角函数中常用的解题技巧：“变次”，其中用到了二倍角正弦和余弦的两个重要的变形：1sin=（sincos）2，1cos=2cos2.（2）脱掉根号时要注意符号问题，如|cos|，利用所在的象限，判断cos的正负，然后去掉绝对值符号.各个击破类题演练1化简.（1）cos72cos36；（2）coscoscoscoscos.思路分析：对于（1）要注意72=236；对于（2）要注意（k=1，2，n）.注意到以上的特点，可同乘除一个恰当的因式，然后用倍角公式解之.解：（1）cos36cos72=.（2）原式同乘除因式sin，然后逐次使用倍角公式解得原式=.变式提升1已知（，），|cos2|=，则sin的值是（ ）A. B. C. D.思路分析：（，），sin0，且2（，3），cos20.|cos2|=，cos2=.由cos2=1-2sin2，得sin2=，sin=.答案：D类题演练2已知sin+cos=,且0,求sin2、cos2、tan2的值.解：sin+cos=,sin2+cos2+2sincos=,sin2=-且sincos=0.又0,sin0,cos0,sin-cos0.sin-cos=,cos2=cos2-sin2=(cos+sin)(cos-sin)=()=.tan2=.变式提升2化简.解法1：原式=.解法2：原式=.类题演练3等于( )A.-2cos5 B.2cos5 C.-2sin5 D.2sin5解析：原式=2（cos50-sin50）=2sin（-5）=-2sin5，故选C.答案：C变式提升3已知函数f（x）=cos4x-2sinxcosx-sin4x.（1）求f（x）的最小正周期；（2）若x0，,求f（x）的最大值、最小值.解：（1）因为f（x）=cos4x-2sinxcosx-sin4x=（cos2x+sin2x）（cos2x-sin2x）-sin2x=cos2x-sin2x=cos（2x+），所以f（x）的