高中数学第三章导数及其应用3.1.3导数的几何意义学案含解析.docx

31.3导数的几何意义导数的几何意义提出问题如图，Pn的坐标为(xn，f(xn)(n1,2,3，4，)，P的坐标为(x0，y0)，直线PT为在点P处的切线问题1：割线PPn的斜率kn是什么？提示：割线PPn的斜率kn.问题2：当点Pn趋近于点P时，割线PPn与在点P处的切线PT有什么关系？提示：当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于在点P处的切线PT.问题3：当Pn无限趋近于点P时，kn与切线PT的斜率k有什么关系？提示：kn无限趋近于切线PT的斜率k.问题4：如何求得过点P的切线PT的斜率？提示：函数f(x)在xx0处的导数就是切线PT的斜率k，即kf(x0)导入新知导数的几何意义函数f(x)在xx0处的导数就是切线PT的斜率k，即kf(x0).化解疑难曲线yf(x)在点P处的切线的斜率，即函数yf(x)在点P处的导数，反映了曲线在点P处的变化率.导函数提出问题已知函数f(x)x22.问题1：如何求f(x0)?提示：f(x0) (2x0x)2x0.问题2：若x0是一变量x，f(x)是常量吗？提示：f(x)2x，说明f(x)不是常量，而是关于x的函数导入新知导函数的定义对于函数yf(x)，当xx0时，f(x0) 是一个确定的数，当x变化时，f(x) 便是一个关于x的函数，我们称它为函数yf(x)的导函数(简称为导数)，即f(x)y.化解疑难函数yf(x)“在点x0处的导数”“导函数”“导数”之间的区别与联系(1)函数在点x0处的导数，就是在该点的函数改变量与自变量改变量的比的极限，它是一个数值，不是变数(2)导函数也简称导数，所以f(x)在一点x0处的导数(特殊)导函数(一般)(3)函数yf(x)在点x0处的导数f(x0)就是导函数f(x)在点xx0处的函数值曲线的切线方程例1若函数f(x)x，求它与x轴交点处的切线方程解由f(x)x0，得x1，即与x轴的交点坐标为(1,0)，(1,0)f(x)1，切线的斜率k12.切线的方程为y2(x1)或y2(x1)，即2xy20或2xy20.类题通法求曲线在点P(x0，y0)处的切线方程的步骤(1)求出函数yf(x)在x0处的导数f(x0)，得到切线的斜率kf(x0)(2)根据直线的点斜式方程，得到切线方程yy0f(x0)(xx0)活学活用已知曲线y3x2，求过点A(1,3)的曲线的切线方程解:63x，y|x1 (63x)6.曲线在点A(1,3)处的切线斜率为6.所求的切线方程为y36(x1)，即6xy30.求切点坐标例2已知抛物线y2x21，问：(1)抛物线上哪一点的切线的倾斜角为45？(2)抛物线上哪一点的切线平行于直线4xy20?(3)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x8y30?解设点的坐标为(x0，y0)，则y2(x0x)212x14x0x2(x)2.4x02x.当x无限趋近于零时，无限趋近于4x0，即f(x0)4x0.(1)抛物线的切线的倾斜角为45，斜率为tan 451，即f(x0)4x01，得x0，该点为.(2)抛物线的切线平行于直线4xy20，斜率为4，即f(x0)4x04，得x01，该点为(1,3)(3)抛物线的切线与直线x8y30垂直，斜率为8，即f(x0)4x08，得x02，该点为(2,9)类题通法求曲线切点坐标的五个步骤(1)先设切点坐标(x0，y0)；(2)求导数f(x)；(3)求切线的斜率f(x0)；(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，求出x0；(5)由于点(x0，y0)在曲线f(x)上，将(x0，y0)代入求得y0的值，得切点坐标(x0，y0)活学活用已知曲线y2x2a在点P处的切线方程为8xy150，求切点P的坐标和实数a的值解：设切点P的坐标为(x0，y0)，切线斜率为k.由y (4x2x)4x，得ky|xx04x0.根据题意得4x08，x02，分别代入y2x2a和y8x15，得y08a1，得故所求切点为P(2,1)，a7.导数几何意义的综合应用例3设函数f(x)x3ax29x1(a0)，若曲线yf(x)的斜率最小的切线与直线12xy6平行，求a的值解yf(x0x)f(x0)(x0x)3a(x0x)29(x0x)1(xax9x01)(3x2ax09)x(3x0a)(x)2(x)3，3x2ax09(3x0a)x(x)2.3x2ax09，即f(x0)3x2ax09329.当x0时，f(x0)取最小值9.斜率最小的切线与12xy6平行，该切线斜率为12.912.解得a3.又a0，a3.类题通法解决导数几何意义的综合应用问题的关键是对函数进行求导，利用题目所提供的诸如斜率的值、斜率的最值、斜率的范围等建立方程或不等式求解此处常与函数、不等式等知识点结合活学活用已知抛物线yx2，直线xy20，求抛物线上的点到直线的最短距离解：根据题意可知与直线xy20平行的抛物线yx2的切线对应的切点到直线xy20的距离最短设切点坐标为(x0，x)，则y|2x01，所以x0，所以切点坐标为.切点到直线xy20的距离为d，所以抛物线上的点到直线xy20的最短距离为.典例已知曲线y2x27，求曲线过点P(3,9)的切线方程解y(4x2x)4x.由于2327119，故点P(3,9)不在曲线上设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率为k4x0，故所求的切线方程为yy04x0(xx0)将P(3,9)及y02x7代入上式，得9(2x7)4x0(3x0)，解得x02或x04，所以切点为(2,1)或(4,25)从而所求切线方程为8xy150或16xy390.易错防范1解答本题误认为切线斜率kf(3)因点P(3,9)不在曲线上，从而点P不是切点，故切线斜率不是在x3处的导数2求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异过点P的切线，点P不一定是切点，也不一定在曲线上3如果已知点不在曲线上，求曲线的切线方程，要先设出切点的坐标，再根据导数的定义求出切点处的导数，最后求出切线的直线方程成功破障求经过点(2,0)且与曲线y相切的直线方程解 可以验证点(2,0)不在曲线上，设切点为P(x0，y0)由y| ，故所求直线方程为yy0(xx0)，由点(2,0)在所求的直线上，得xy02x0，再由P(x0，y0)在曲线y上，得x0y01，联立可解得：x01，y01，所以直线方程为xy20. 随堂即时演练1设f(x0)0，则曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线()A不存在B与x轴平行或重合C与x轴垂直 D与x轴斜交解析：选Bf(x0)0，说明曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线斜率为0，所以与x轴平行或重合2在曲线yx2上切线倾斜角为的点是()A(0,0) B(2,4)C. D.解析：选Dyx2，ky (2xx)2x，2xtan1，x，则y.3对于函数f(x)ax4，若f(1)2，则a_.解析：因为f(x0)a，f(1)2，所以a2.答案：24设函数yf(x)在xx0处可导，且f(x0)0，则曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的倾斜角的范围是_解析：已知f(x0)0，设切线的倾斜角为，则tan 0.又0，)，所以.答案：5在抛物线yx2上求一点P，使在该点处的切线垂直于直线2x6y50.解：设点P的坐标为(x0，y0)，则抛物线yx2在点P处的切线斜率为f(x0)2x0.直线2x6y50的斜率为.由题设知2x01，解得x0，此时y0，所以点P的坐标为.课时达标检测一、选择题1下列说法正确的是()A曲线的切线和曲线有且只有一个交点B过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点C若f(x0)不存在，则曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处无切线D若yf(x)在点(x0，f(x0)处有切线，则f(x0)不一定存在解析：选D曲线的切线和曲线除有一个公共切点外，还可能有其他的公共点，故A、B错误；f(x0)不存在，曲线yf(x)在点(x0，f(x0)的切线的斜率不存在，但切线可能存在，此时切线方程为xx0，故C错误、D正确2y在点处的切线方程是()Ayx2ByxCy4x4 Dy4x2解析：选C先求y的导数：y， ，即y，所以y在点处的切线斜率为ky|x4.所以切线方程是y24，即y4x4.3若曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程为3xy50，则()Af(x0)0 Bf(x0)0Cf(x)0 Df(x0)不存在解析：选B由y3x5，知f(x0)30.4设曲线yax2在点(1，a)处的切线与直线2xy60平行，则a的值为()A1 B.C D1选Ay(2aax)2a.2a2，a1.5曲线yf(x)x3在点P处切线的斜率为k，当k3时点P的坐标为()A(2，8) B(1，1)或(1,1)C(2,8) D.解析：选B设点P的坐标为(x0，y0)，则kf(x0)li li li(x)23x3x0x3x.k3，3x3，x01或x01，y01或y01.点P的坐标为(1，1)或(1,1)二、填空题6曲线y1在点A处的切线的斜率为_解析：y，即k .答案：7已知函数yf(x)在点(2,1)处的切线与直线3xy20平行，则y|x2_.解析：因为直线3xy20的斜率为3，所以由导数的几何意义可知y|x23.答案：38如图是函数f(x)及f(x)在点P(2，f(2)处切线的图象，则f(2)f(2)_.解析：由题图可知切线方程为yx，所以f(2)，f(2)，所以f(2)f(2).答案：三、解答题9已知抛物线yx24与直线yx10.求：(1)它们的交点坐标；(2)抛物线在交点处的切线方程解：(1)由得或抛物线与直线的交点坐标为(2,8)或(3,13)(2)yx24，y(x2x)2x.y|x24，y|x36，即在点(2,8)处的切线斜率为4，在点(3,13)处的切线斜率为6.