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牛吃草问题例1牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长，这片牧草可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天，那么，供25头吃几天？分析：首先，我们要清楚这样两个量是固定不变的：草地上原有的草量；草的生长速度，而这两个不变量题目中都没有直接告诉我们，因此，求出这两个不变量便是解题的关键。一般说来，解答这类应用题可以分成以下几步：第一步：通过比较两种情况求出牧草的生长速度。第一种情况：10头牛吃20天，共吃了1020200（头/天）的草量。第二种情况：15头牛吃10天，共吃了1510150（头/天）的草量。思考：为什么同一片草地，两种情况吃的总草量会不相等呢？这是因为吃的时间不一样。事实上，第一种情况的：200头/天的草量草地上原有的草量20天里新长出来的草量；同样，第二种情况的：150头/天的草量草地上原有的草量10天里新长出来的草量；通过比较，我们就会发现，两种情况的总草量与“草地上原有的草量”无关，与吃的时间有关系。因此，通过比较，我们就能求出“草的生长速度”这一十分关键的量：（200150）（2010）5（头/天）第二步：求出草地上原有的草量。既然牛吃的草可以分成两部分，那么只要用“一共吃的草量”减去“新长出来的草量”就能求出“草地上原有的草量”。200520100（头/天）或者150510100（头/天）第三步：求可以供25头牛吃多少天？（思考：结果会比10天大还是小？）显然，牛越多，吃的天数越少。在这里，我们还是要紧紧抓住“牛吃的草可以分成两部分”来思考。我们可以将25头牛分成两部分：一部分去吃新生的草；另一部分去吃原有的草。因为草的生长速度是5头/天，所以新生的草恰好够5头牛吃，那么吃原有的草的牛应该有25520（头）。当这20头牛将草地原有的草量吃完时，草地上也就没有草了。100（255）5（天）例2： 一只船发现漏水时，已经进了一些水，现在水匀速进入船内，如果10人淘水，3小时可淘完；5人淘水8小时可淘完。如果要求2小时淘完，要安排多少人？分析：这道题看起来与“牛吃草”毫不相关，其实题目中也蕴含着两个不变的量：“每小时漏水量”（相当于草的生长速度）与“船内原有的水量”（相当于草地上原有的草量）。因此，这道题的解题步骤与“例1”完全一样，请您自己试一试：（在下面评论里进行分析解答）第一步：第二步：第三步：设x人在一小时内可掏尽匀速进入船内的水,y为2小时淘完要安排人数,则 (10-x)*3=(5-x)*8=(y-x)*2 x=2,y=14第一步：（58-103）（8-3）=2（人小时） 第二步：58-28=24（人小时） 第三步：242+2=14（人） 答：如果要求2小时淘完，要安排14人。牛吃草问题综合练习（）牧场上有一片牧草，可供27头牛吃6周，或者供23头牛吃9周。如果牧草每周匀速生长，可供21头牛吃几周？（）有一口水井，如果水位降低，水就不断地匀速涌出，且到了一定的水位就不再上升。现在用水吊水，如果每分吊4桶，则15分钟能吊干，如果每分钟吊8桶，则7分吊干。现在需要5分钟吊干，每分钟应吊多少桶水？（）有一片牧草，每天以均匀的速度生长，现在派17人去割草，30天才能把草割完，如果派19人去割草，则24天就能割完。如果需要6天割完，需要派多少人去割草？（）有一桶酒，每天都因桶有裂缝而要漏掉等量的酒，现在这桶酒如果给6人喝，4天可喝完；如果由4人喝，5天可喝完。这桶酒每天漏掉的酒可供几人喝一天？（）一水库存水量一定，河水均匀入库。5台抽水机连续20天可抽干；6台同样的抽水机连续15天可抽干。若要6天抽干，需要多少台同样的抽水机？第一讲 行程问题例1. 小明上学时坐车，回家时步行在路上一共用了90分。如果他往返都坐车，全部形程需30分。如果他往返都步行，需多少分？分析：根据“往返都坐车，全部行程需30分”可以算出单程作车需要的时间。再根据“上学时坐车，回家时步行，在路上一共用了90分”可以算出单程步行需要的时间。进而可算出往返都步行所需的时间。解： （90302）2=752 =150（分）答：如果他往返都步行，需150分。例2. 甲、乙两城相距280千米，一辆汽车原定用8小时从甲城开到乙城。汽车行驶了一半路程，在中途停留30分。如果汽车要按原定时间到达乙城，那么，在行驶后半段路程时，应比原定的时速加快多少？分析：要求汽车比原来的时速加快多少，先要求出按原定时间到达，需要的时速。而要求按原定时间到达需要的时速，又要求出行剩下一半的路程，还剩下但是时间。解： 分步解答30分=0.5小时（1） 前一半路程已行了多少小时？82=4（时）（2） 还剩下多少小时？840.5=3.5（时）（3） 后半程每小时应行多少千米？28023.5=40（千米）（4） 原来每小时行多少千米？2808=35（千米）（5） 每小时比原来多行多少千米？4035=5（千米）列综合算式解答2802（8820.5）2808=1403.52808=4035=5（千米）答：应比原定的时速加快5千米。例. 甲、乙两人同时从两地出发，相向而行，距离是100千米。甲每小时行6千米，乙每小时行4千米。甲带着一只狗，狗每小时行10千米。这只狗同甲一起出发，碰到乙的时候，它就掉头朝甲这边走，碰到甲时又往乙那边走，直到两人相遇。这只狗一共跑了多少千米？分析：如果想分段算出狗跑的路程，再求出这些路段的和，将很难算出结果来。因此，一定要从整体考虑。要求狗跑的路程，就要求出狗跑的时间，而狗跑的时间正好就是甲、乙两人跑的时间。用狗跑的速度乘以它所跑的时间就可以算出狗跑的路程。解 分步解答（1）甲、乙两人多少小时相遇？100（6+4）=10（时）（2）狗跑的总路程是多少千米？1010=100（千米）列综合算式解答10100（6+4）=1010=100（千米）答：这只狗一共跑了100千米。综合练习（）上学时坐车，回家时步行，在路上共用去1.5小时，如果往返都坐车，全部行程只要30分钟，如果往返都步行，全程则需要多少小时？（）在一次登山比赛中，小明上山时每分钟走50米，18分钟到达山顶；然后按原路下山，每分钟走75米。求小明上、下山的平均速度？ （）一辆汽车从甲地开往300千米处的乙地去，在开始的120千米内平均速度为每小时40千米，要想使这辆汽车从甲地到达乙地的平均速度为每小时50千米，剩下的路程应以什么速度行驶？（）甲、乙两人同时、同地、同向而行，甲骑车每小时行15千米，乙步行每小时行5千米，甲行了120千米时，转身返回，与乙相遇，求相遇时两人各行了多少千米？（）甲、乙两人同时从A、B 两地相对而行，甲骑车每小时行16千米，乙骑摩托车每小时行65千米。甲离出发点62.4千米处与乙相遇。A、B两地相距多少千米？第二讲盈亏问题例题1：将一些糖果分给幼儿园小班的小朋友，如果每人分3粒，就会余下糖果17粒；如果每人分5粒，就会缺少糖果13粒。问：幼儿园小班有多少个小朋友？这些糖果共有多少粒？分析：用作图的方法来分析。我们知道糖果的总数相等，小朋友的人数也是相等的。 3粒 3粒 3粒 余17粒 5粒 5粒 5粒 缺少13粒 想：每个小朋友分3粒与5粒，相差53=2（粒）； 分的糖果的总数就要相差17+13=30（粒）所以小班的人数是302=15（人），这批糖果的总数是315+17=62（粒）或51513=62（粒）。这是盈亏问题中的“一盈一亏”的问题，解答这类问题的数量关系是：（盈数+亏数）两次分得的差 = 人数解： （17+13）（53）=302 =15（人）315+17=62（粒）或：51513=62（粒 ）答：有15个小朋友，62粒糖。例题2：学生搬一批砖，每人搬4块，其中5人要搬两次；如果每人搬5块，就有两人没有砖可搬。搬砖的学生有多少人？这批砖共有多少块？分析：用作图的方法来分析。我们知道砖的总数相等，学生的人数也是相等的。 4块 4块 4块 余下的还需要5人搬一次 也就是多余（45）块 5块 5块 5块 就有两人没有搬 也就是缺少（52）块通过分析，我们把问题转化为盈亏问题的一般情形。每人搬砖数相差54=1（块），搬砖的总数就相差（45）+（52）=30（块）所以，搬砖的学生数是301=30（人），砖的总数是430+20=140（块）。解：（45+52）（54） =301=30（人） 430+45=140（块）答：搬砖的学生有30人，这批砖共有140块。例题3. 某校在植树活动中，把一批树苗分给各班，如果每班分18棵，就会余下24棵；如果每班分20棵，正好分完。这个学校有多少个班？这批树苗共有多少棵？分析：本题中树苗的总棵数是不变的，班级数也是不变的，第二次比第一次每班多分2018=2（棵），就是把第一次分后余下的24棵分完，也就是24棵树中有几个2棵，就有几个班。这道题目是盈亏问题中的一种特例。题目中只出现“盈”，也就是一次分配多了，并没有出现“亏”。我们仍然可以按盈亏问题的思路来思考。在以后的题目中，我们还会遇到一道题目中两次都是“盈”的情况和两次都是“亏”的情况。解： 24（2018）=12（个）2012=240（棵）答：这个学习有12个班，这批树苗有240棵。综合练习（1） 小朋友分糖果，若每人分4粒则多9粒；若每人分5粒则少6粒。问：有多少个小朋友？有多少粒糖果？（） 某校安排新生宿舍，如果每间住12人，就会有34人没有宿舍住；如果每间住14人，就会空出4间宿舍。这个学校有多少间宿舍？要安排多少个新生？（） 体育老师和一个朋友一起上街买足球。他发现自己身边的钱，如果买10个“冠军”牌足球，还差42元；后来他向朋友借了1000元，买了31个“冠军”牌足球，结果多了13元。体育老师原来身边有多少元？（） 全班同学去划船，如果减少一条船，那么每条船正好坐9人；如果增加一条船，那么每条船正好坐6人。全班有多少人？（） 小李拿一根绳子在一个圆柱上绕，绕了2圈时绳子还余2.86米，但要绕5圈还差1.85米。问：绳子有多长？圆柱的周长是多少？第三讲 最短路线问题通常最短路线问题是以“平面内连结两点的线中，直线段最短”为原则引申出来的人们在生产、生活实践中，常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题在本讲所举的例中，如果研究问题的限制条件允许已知的两点在同一平面内，那么所求的最短路线是线段；如果它们位于凸多面体的不同平面上，而允许走的路程限于凸多面体表面，那么所求的最短路线是折线段；如果它们位于圆柱和圆锥面上，那么所求的最短路线是曲线段；但允许上述哪种情况，它们都有一个共同点：当研究曲面仅限于可展开为平面的曲面时，例如圆柱面、圆锥面和棱柱面等，将它们展开在一个平面上，两点间的最短路线则是连结两点的直线段这里还想指出的是，我们常遇到的球面是不能展成一个平面的例如，在地球（近似看成圆球）上A、B二点之间的最短路线如何求呢？我们用过A、B两点及地球球心O的平面截地球，在地球表面留下的截痕为圆周（称大圆），在这个大圆周上A、B两点之间不超过半个圆周的弧线就是所求的A、B两点间的最短路线，航海上叫短程线关于这个问题本讲不做研究，以后中学会详讲在求最短路线时，一般我们先用“对称”的方法化成两点之间的最短距离问题，而两点之间直线段最短，从而找到所需的最短路线像这样将一个问题转变为一个和它等价的问题，再设法解决，是数学中一种常用的重要思想方法例1 如下图，侦察员骑马从A地出发，去B地取情报在去B地之前需要先饮一次马，如果途中没有重要障碍物，那么侦察员选择怎样的路线最节省时间，请你在图中标出来解：要选择最节省时间的路线就是要选择最短路线作点A关于河岸的对称点 A，即作 AA垂直于河岸，与河岸交于点C，且使AC=AC，连接AB交河岸于一点P，这时 P点就是饮马的最好位置，连接 PA，此时 PAPB就是侦察员应选择的最短路线证明：设河岸上还有异于P点的另一点P，连接PA，PB， PAPA+PBPA+PBAB=PA+PB=PA+PB，而这里不等式 PAPBAB成立的理由是连接两点的折线段大于直线段，所以PA+PB是最短路线此例利用对称性把折线APB化成了易求的另一条最短路线即直线段AB，所以这种方法也叫做化直法，其他还有旋转法、翻折法等看下面例题例2 如图一只壁虎要从一面墙壁上A点，爬到邻近的另一面墙壁上的B点捕蛾，它可以沿许多路径到达，但哪一条是最近的路线呢？解：我们假想把含B点的墙顺时针旋转90（如下页右图），使它和含A点的墙处在同一平面上，此时转过来的位置记为，B点的位置记为B，则A、B之间最短路线应该是线段AB，设这条线段与墙棱线交于一点P，那么，折线4PB就是从A点沿着两扇墙面走到B点的最短路线证明：在墙棱上任取异于P点的P点，若沿折线APB走，也就是沿在墙转90后的路线APB走都比直线段APB长，所以折线APB是壁虎捕蛾的最短路线由此例可以推广到一般性的结论：想求相邻两个平面上的两点之间的最短路线时，可以把不同平面转成同一平面，此时，把处在同一平面上的两点连起来，所得到的线段还原到原始的两相邻平面上，这条线段所构成的折线，就是所求的最短路线例3 长方体ABCDABCD中，AB=4，AA=2，AD=1，有一只小虫从顶点D出发，沿长方体表面爬到B点，问这只小虫怎样爬距离最短？（见图（1）解：因为小虫是在长方体的表面上爬行的，所以必需把含D、B两点的两个相邻的面“展开”在同一平面上，在这个“展开”后的平面上 DB间的最短路线就是连结这两点的直线段，这样，从D点出发，到B点共有六条路线供选择从D点出发，经过上底面然后进入前侧面到达B点，将这两个面摊开在一个平面上（上页图（2），这时在这个平面上D、B间的最短路线距离就是连接D、B两点的直线段，它是直角三角形ABD的斜边，根据勾股定理，DB2=DA2+AB2=（1+2）242=25，DB=5容易知道，从D出发经过后侧面再进入下底面到达B点的最短距离也是5从D点出发，经过左侧面，然后进入前侧面到达B点将这两个面摊开在同一平面上，同理求得在这个平面上D、B两点间的最短路线（上页图（3），有：DB222+（1+4）2=29容易知道，从D出发经过后侧面再进入右侧面到达B点的最短距离的平方也是29从D点出发，经过左侧面，然后进入下底面到达B点，将这两个平面摊开在同一平面上，同理可求得在这个平面上D、B两点间的最短路线（见图），DB2=（2+4）2+12=37容易知道，从D出发经过上侧面再进入右侧面到达B点的最短距离的平方也是37比较六条路线，显然情形、中的路线最短，所以小虫从D点出发，经过上底面然后进入前侧面到达B点（上页图（2），或者经过后侧面然后进入下底面到达B点的路线是最短路线，它的长度是5个单位长度利用例2、例3中求相邻两个平面上两点间最短距离的旋转、翻折的方法，可以解决一些类似的问题，例如求六棱柱两个不相邻的侧面上A和B两点之间的最短路线问题（下左图），同样可以把A、B两点所在平面及与这两个平面都相邻的平面展开成同一个平面（下右图），连接A、B成线段AP1P2B，P1、P2是线段AB与两条侧棱线的交点，则折线AP1P2B就是AB间的最短路线圆柱表面的最短路线是一条曲线，“展开”后也是直线，这条曲线称为螺旋线因为它具有最短的性质，所以在生产和生活中有着很广泛的应用如：螺钉上的螺纹，螺旋输粉机的螺旋道，旋风除尘器的导灰槽，枪膛里的螺纹等都是螺旋线，看下面例题例4 景泰蓝厂的工人师傅要给一个圆柱型的制品嵌金线，如下左图，如果将金线的起点固定在A点，绕一周之后终点为B点，问沿什么线路嵌金线才能使金线的用量最少？解：将上左图中圆柱面沿母线AB剪开，展开成平面图形如上页右图（把图中的长方形卷成上页左图中的圆柱面时，A、B分别与A、B重合），连接AB，再将上页右图还原成上页左图的形状，则AB在圆柱面上形成的曲线就是连接AB且绕一周的最短线路圆锥表面的最短路线也是一条曲线，展开后也是直线请看下面例题例5 有一圆锥如下图，A、B在同一母线上，B为AO的中点，试求以A为起点，以B为终点且绕圆锥侧面一周的最短路线解：将圆锥面沿母线AO剪开，展开如下图（把右图中的扇形卷成上图中的圆锥面时，A、B分别与A、B重合），在扇形中连AB，则将扇形还原成圆锥之后，AB所成的曲线为所求例6 如下图，在圆柱形的桶外，有一只蚂蚁要从桶外的A点爬到桶内的B点去寻找食物，已知A点沿母线到桶口C点的距离是12厘米， B点沿母线到桶口 D点的距离是8厘米，而C、D两点之间的（桶口）弧长是15厘米如果蚂蚁爬行的是最短路线，应该怎么走？路程总长是多少？分析 我们首先想到将桶的圆柱面展开成矩形平面图（下图），由于B点在里面，不便于作图，设想将BD延长到F，使DFBD，即以直线CD为对称轴，作出点B的对称点F，用F代替B，即可找出最短路线了解：将圆柱面展成平面图形（上图），延长BD到F，使DF=BD，即作点B关于直线CD的对称点F，连结AF，交桶口沿线CD于O因为桶口沿线CD是 B、F的对称轴，所以OBOF，而A、F之间的最短线路是直线段AF，又AF=AOOF，那么A、B之间的最短距离就是AOOB，故蚂蚁应该在桶外爬到O点后，转向桶内B点爬去延长AC到E，使CE=DF，易知AEF是直角三角形，AF是斜边，EF=CD，根据勾股定理，AF2=（AC+CE）2+EF2 （128）2152625=252，解得AF=25即蚂蚁爬行的最短路程是25厘米例7 A、B两个村子，中间隔了一条小河（如下图），现在要在小河上架一座小木桥，使它垂直于河岸请你在河的两岸选择合适的架桥地点，使A、B两个村子之间路程最短分析 因为桥垂直于河岸，所以最短路线必然是条折线，直接找出这条折线很困难，于是想到要把折线化为直线由于桥的长度相当于河宽，而河宽是定值，所以桥长是定值因此，从A点作河岸的垂线，并在垂线上取AC等于河宽，就相当于把河宽预先扣除，找出B、C两点之间的最短路线，问题就可以解决解：如上图，过A点作河岸的垂线，在垂线上截取AC的长为河宽，连结BC交河岸于D点，作DE垂直于河岸，交对岸于E点，D、E两点就是使两村行程最短的架桥地点即两村的最短路程是AEEDDB例8 在河中有A、B两岛（如下图），六年级一班组织一次划船比赛，规则要求船从A岛出发，必须先划到甲岸，又到乙岸，再到B岛，最后回到A岛，试问应选择怎样的路线才能使路程最短？解：如上图，分别作A、B关于甲岸线、乙岸线的对称点A和B，连结A、B分别交甲岸线、乙岸线于E、F两点，则AEFBA是最短路线，即最短路程为：AEEFFBBA证明：由对称性可知路线AEFB的长度恰等于线段AB的长度而从A岛到甲岸，又到乙岸，再到B岛的任意的另一条路线，利用对称方法都可以化成一条连接A、B之间的折线，它们的长度都大于线段 AB，例如上图中用“”表示的路线AEFB的长度等于折线AEFB的长度，它大于AB的长度，所以AEFBA是最短路线第三讲 周期问题例题1. 有249朵花，按5朵红花，9朵黄花，13朵绿花的顺序轮流排列，最后一朵是什么颜色的花？这249朵花中，红花、黄花、绿花各有多少朵？思路点拨这些花按5红、9黄、13绿的顺序轮流排列，它的一个周期内有5+9+13=27（朵）花。因为24927=96，所以，这249朵花中含有9个周期还余下6朵花。按花的排列规律，这6朵花中前5朵应是红花，最后一朵应是黄花。解：249（5+9+13）=96红花有：59+5=50（朵）黄花有：99+1=82（朵）绿花有：139=117（朵）答：最后一朵是黄花。红花有50朵，黄花有82朵，绿花有117朵。例题2. 2002年元旦是星期二，那么，2003年1月1日是星期几？思路点拨2002年平年。每7天为一个星期，也就是为一个周期；从2002年1月1日到2002年12月31日为365天，到2003年1月1日是第366天。关键在于一个周期的第一天是星期几解：3667=52（周）2天 本题一个周期的第一天是星期二，所以，余2天就是星期三。 答：2003年的1月1日是星期三。 练一练1、今天是星期四，从明天开始第1800天是星期几？2、有同样大小的红珠、白珠、黑珠共160个，按4个红珠，3个白珠，2个黑珠的顺序排列着。黑珠共有几个？第101个珠子是什么颜色？综合练习1、我国农历用鼠牛虎兔龙蛇马羊猴鸡狗猪这12种动物按顺序轮流代表各年的年号。如果1940年是龙年，那么，1996年是什么年？2、科学家进行一项实验，每隔6小时做一次记录。做第10次记录时，挂钟的时针恰好指向7，问：做第一次记录时，时针指向几？3、有同样大小的红珠、白珠、黑珠共160个。按4个红珠、3个白珠、2个黑珠的顺序排列着。黑珠共有几个？第101个珠子是什么颜色的？4、 英文字母A、B、C、D按BCDABAACDABAACDABAACD排列，共250个字母，最后一个字母是什么？A、B、C、D各是多少？5、有13名小朋友编成1到13号，依次围成一个圆圈。现在从1号开始，每数到第3个人发一粒糖。那么，最后一个拿到糖的人是几号？第五讲 巧求面积本讲主要介绍平面图形面积的一些巧妙算法，首先看一个例子如图，BC=CE，AD=CD，求三角形ABC的面积是三角形CDE面积的几倍？解：连结BD，在ABD与BCD中，因为AD=DC，又因为这两个三角形的高是同一条高，所以SABD=SBCD在BCD与DCE中，因为BC=CE，又因为这两个三角形也具有同一条高，所以有SBCD=SCDE因此，SABC=SABD+SBCD=2SCDE从以上的推导中看一看这两个三角形面积之比与这两个三角形的边有什么关系CE于M，如右图，在ACM与DCN中，有ACCD=AMDN因此，即，当两个三角形各有一个角，它们的和是180时，这两个三角形的面积之比等于分别夹这两个角的两条边的长度乘积之比类似可知，当两个三角形各有一个角，它们相等时，这个结论也成立解：在ABC与CDE中，因为AD=DC，所以 AC=2CD，又因为BC=CE，所以SABC=21SCDE=2SCDE答：ABC的面积是CDE面积的2倍下面我们就应用上面这个结论来看几个具体例子例1 如图，三角形ABC的面积为1，并且AE=3AB，BD=2BC，那么BDE的面积是多少？解：在BDE与ABC中，DBE+ABC=180因为AE=3AB，所以BE=2AB又因为BD=2BC，所以SBDE=22SABC=41=4答：BDE的面积是4例2 如图，在ABC中，AB是AD的6倍，AC是AE的3倍如果ADE的面积等于1平方厘米，那么ABC的面积是多少？解：在ABC与ADE中，BAC=DAE因为AB=6AD，AC=3AE，所以SABC=63SADE=181=18（平方厘米）答：ABC的面积为 18平方厘米例3 如图，将ABC的各边都延长一倍至 A、 B、 C，连接这些点，得到一个新的三角形ABC若ABC的面积为1，求ABC的面积解：在ABB与ABC中，ABB+ABC=180因为 AB=AA，所以AB=2AB，又因为BB=BC，所以SABB=12SABC=2SABC=2同理SBCC=21SABC=2SACA=21SABC=2所以SABC=SABB+SBCC+SACA+SABC=2+2+2+1=7答：ABC的面积为7例4 如下图，将凸四边形ABCD的各边都延长一倍至 A、B、 C、D，连接这些点得到一个新的四边形ABCD，若四边形ABCD的面积为30平方厘米，那么四边形ABCD的面积是多少？分析 要求四边形ABCD的面积，必须求出四边形ABCD与四边形ABCD的关系，因而就要求出ABB、BCC、CDD、ADA与四边形ABCD的关系解：连结AC、BD在ABB与ABC中，ABB+ABC=180因为AA=AB，所以AB=2AB，又因为 BB=BC，所以有SABB=21SABC=2SABC同理 有SBCC=21SBCD=2SBCDSCDD=21SADC=2SADCSADA=21SABD=2SABD所以 S四边形ABCD=SABB+SBCC+SCDD+SADA+S四边形ABCD=2SABC+2SBCD+2SADC+2SABD+S四边形ABCD=2（SABC+SADC）+2（SBCD+SABD）+S四边形ABCD=2S四边形ABCD+2S四边形ABCD+S四边形ABCD=5S四边形ABCD则S四边形ABCD=305=6（平方厘米）答：四边形ABCD的面积为6平方厘米B1C1=C1C，A1B1C1的面积为1平方厘米，则ABC的面积为多少平方厘米？解：连接A1C如上图在BB1C与A1B1C1中，BB1C+A1B1C1=180，因为A1B1=所以有SBB1C=22SA1B1C1=41=4（平方厘米）在A1C1C与A1B1C1中，A1C1C+A1C1B1=180，因为CC1=C1B1，A1C1=A1C1，所以有SA1C1C=11SA1B1C1=11=1（平方厘米）在ABD与ADC中，ADB+ADC=180因为BD=DC，在ABA1与ABD中，BAA1=BAD因为AB=AB，AA1=答：三角形ABC的面积为9平方厘米数学运算专题(一)：方阵问题数学运算在近年来的考试中已经成为一个非常重要的考试内容，说它重要主要是因为它的难度越来越大，考生极易失分，所以应考者必须充分地进行备考复习。这一节我们谈一下数学运算中的方阵问题。学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列.如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵(亦叫乘方问题).方阵的基本特点是：方阵不论在哪一层，每边上的人(或物)数量都相同.每向里一层，每边上的人数就少2，每边人(或物)数和四周人(或物)数的关系：四周人(或物)数=每边人(或物)数一14；每边人(或物)数=四周人(或物)数4+1.中实方阵总人(或物)数=每边人(或物)数每边人(或物)数.例1 有陆、海、空三兵种士兵组成的仪仗队，每兵种队伍400人，都分成8竖行并列行进。陆军队前后每人间隔1米，海军队前后每人间隔2米，空军队前后每人间隔3米。每兵种队伍之间相隔4米，三兵种士兵每分都走80米，三兵种队伍的仪仗队通过98米的检阅台需要多少分?分析与解答 这道例题仍是植树问题的逆解题，相当于已知树数、每两株相邻树间的距离，求树列的全长。由于三兵种队伍的仪仗队要通过检阅台，除了三兵种队伍的仪仗队的长度，还必须加上检阅台的长度。知道总长度和士兵步行的速度，就可以求出通过检阅台的时间。(1)三兵种队伍每竖行的人数是：4008=50(人)(2)陆军队伍的长度是：1（50-1)=49(米)(3)海军队伍的长度是：2（50-1)=98(米)(4)空军队伍的长度是：3（50-1)=147(米)(5)三兵种队伍的间隔距离是：4（3-1)=8(米)(6)三兵种队伍的全长是：49+98+147+8=302米)(7)队伍全长与检阅台的总长度是： 302+98=400(米)(8)通过检阅台所需的时间是： 40080=5(分)请你试一试，看看怎样列综合算式?列式后你会应用简便方法进行计算吗?综合列式计算：1（4008-1)+2（40081)+3（40081)+4（31)+9880=49（1+2+3)+8+9880=40080=5(分)答：通过检阅台需要5分。例2 参加中学生运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。如果要使这个正方形队列减少一行和一列，则要减少33人。问参加团体操表演的运动员有多少人？分析 图7-7表示的是一个五行五列的正方形队列。从图中可以看出正方形的每行、每列人数相等；不管是减去哪一行、哪一列，只要是同时横竖各减少一排，那么必然有1人而且只有1人是同时属于被减去的一行和一列，也就是，去掉横竖各排时，去掉的总人数是：原每行人数2-1或者是：减少后每行人数2+1根据图2-4的启示.我们可得到此题的解。 图24解法一 先利用去掉横竖各一排时，去掉的总人数为：原每行人数2-1。求出团体操队列每行有多少人，再求参加团体操运动员的人数。(33+1)2=17(人)1717=289(人)解法二 利用去掉横竖各排时，去掉的总人数为：减少后的每行人数2+1，求出减少人数后的团体操队列的每行人数，再求参加团体撮的运动员人数。(33-1)2=16(人)1616+33=289(人)答：参加团体操表演的有289人。数学运算专题(二)：年龄问题 解决应用题，关键在于掌握题目中的数量关系，从已知条件寻找它们之间的内在联系，注意各种量之间的转换，然后统一到所求量上来。年龄问题特点是：大小年龄差是个不变的量，而年龄的倍数却年年不同。我们可以抓住差不变这个特点，再根据大小年龄之间的倍数关系与年龄之和等条件，解答这类应用题。解答年龄问题的一般方法是： 几年后年龄大小年龄差倍数差一小年龄，几年前年龄小年龄一大小年龄差倍数差。例1 父亲现年50岁，女儿现年14岁。问：几年前父亲年龄是女儿的5倍?分析 父女年龄差是50-1436(岁)。不论是几年前还是几年后，这个差是不变的。当父亲的年龄恰好是女儿年龄的5倍时，父亲仍比女儿大36岁。这36岁是父亲比女儿多的5-14(倍)所对应的年龄。解法1 (50-14)（5-1)9(岁)当时女儿9岁，14-95(年)，也就是5年前。答：5年前，父亲年龄是女儿的5倍。解法2 设年前父亲的年龄是女儿年龄的5倍，是可列方程为：50 =(14 )5， =5。例2 甲对乙说：当我的岁数是你现在岁数时，你才4岁。乙对甲说：当我的岁数到你现在的岁数时，你将有67岁，甲乙现在各有：A.45岁，26岁 B.46岁，25岁 C.47岁24岁 D.48岁，23岁材 (2005年中央真题)解析：此题应直接选用代入法。如果采用方程法，则甲的年龄为X，乙的年龄为Y，则可列方程Y-(X-Y)=4X+(X-Y)=67解得X=46，Y=25所以，正确答案为B。例3 今年父亲年龄是儿子年龄的10倍，6年后父亲年龄是儿子年龄的4倍，则今年父亲、儿子的年龄分别是( )。 (2000年中央真题)A.60岁，6岁 B.50岁，5岁 C.40岁，4岁 D.30岁，3岁解析：依据“年龄差不变”这个关键和核心，今年父亲年龄是儿子年龄的10倍，也即父子年龄差是9倍儿子的年龄。6年后父亲年龄是儿子年龄的4倍，也即父子年龄差是3倍儿子的年龄(6年后的年龄)。依据年龄差不变，我们可知9倍儿子现在的年龄3倍儿子6年后的年龄即9倍儿子现在的年龄3（儿子现在的年龄+6岁)即6倍儿子现在的年龄36岁儿子现在的年龄3岁父现在的年龄30岁注：此种类型题在真考时非常适合使用代入法，只要将四个选项都加上6，看看是否成4倍关系，只有D选项符合，用时不超过10秒，从而成为最优的方法，代入法是窗体顶端Error! Reference source not found.窗体底端公务员考试最常使用的方法，请广大考生借鉴此法。数学运算专题(三)：容斥原理 容斥原理是近年中央国家公务员考试的一个难点，很多考生都觉得无从下手，这一节我们举几个这方面的例题讲解一下，另外在练习及真考的过程中，请借助图例将更有助于解题。例题1：2004年中央A类真题某大学某班学生总数为32人，在第一次考试中有26人及格，在第二次考试中有24人及格，若两次考试中，都没有及格的有4人，那么两次考试都及格的人数是( )。A.22 B.18 C.28 D.26解析：设A第一次考试中及格的人(26)，B第二次考试中及格的人(24)显然，AB262450；AB32-428，则根据公式ABAB-AB50-2822所以，答案为A。例题2：2004年山东真题某单位有青年员工85人，其中68人会骑自行车，62人会游泳，既不会骑车又不会游泳的有12人，则既会骑车又会游泳的有( )人A.57 B.73 C.130 D.69解析：设A会骑自行车的人(68)，B会游泳的人(62)显然，AB6862130；AB85-1273，则根据公式ABAB-AB130-7357所以，答案为A。例题3：电视台向100人调查前一天收看电视的情况，有62人看过2频道，34人看过8频道，11人两个频道都看过。两个频道都没看过的有多少人？解析：设A看过2频道的人(62)，B看过8频道的人(34)显然，AB623496；AB两个频道都看过的人(11)则根据公式ABAB-AB96-1185所以，两个频道都没有看过的人数100-8515所以，答案为15。例题4：2005年中央A类真题对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有：A.22人 B.28人 C.30人 D.36人解析：设A喜欢看球赛的人(58)，B喜欢看戏剧的人(38)，C喜欢看电影的人(52)AB既喜欢看球赛的人又喜欢看戏剧的人(18)BC既喜欢看电影又喜欢看戏剧的人(16)ABC三种都喜欢看的人(12)ABC看球赛和电影、戏剧至少喜欢一种(100)根据公式：ABCABCABBCCA-ABCCAABC-(ABCABBC-ABC)148-(1001816-12)26所以，只喜欢看电影的人C-BC-CAABC52-16-261222数学运算专题(四)：行程问题 我们把研究路程、速度、时间以及这三者之间关系的一类问题，总称为行程问题.在对小学数学的学习中，我们已经接触过一些简单的行程应用题，并且已经了解到：上述三个量之间存在这样的基本关系：路程速度时间。例1 两列火车相向而行，甲车每小时行36千米，乙车每小时行54千米。两车错车时，甲车上一乘客发现：从乙车车头经过他的车窗时开始到乙车车尾经过他的车窗共用了14秒，求乙车的车长。分析 首先应统一单位：甲车的速度是每秒钟36000360010(米)，乙车的速度是每秒钟54000360015(米)。本题中，甲车的运动实际上可以看作是甲车乘客以每秒钟10米的速度在运动，乙车的运动则可以看作是乙车车头的运动，因此，我们只需研究下面这样一个运动过程即可：从乙车车头经过甲车乘客的车窗这一时刻起，乙车车头和甲车乘客开始作反向运动14秒，每一秒钟，乙车车头与甲车乘客之间的距离都增大(10+15)米，因此，14秒结束时，车头与乘客之间的距离为(10+15)14350(米)。又因为甲车乘客最后看到的是乙车车尾，所以，乙车车头与甲车乘客在这段时间内所走的路程之和应恰等于乙车车身的长度，即：乙车车长就等于甲、乙两车在14秒内所走的路程之和。解：(10+15)14350(米)答：乙车的车长为350米。例2 小刚和小强租一条小船，向上游划去，不慎把水壶掉进江中，当他们发现并调过船头时，水壶与船已经相距2千米，假定小船的速度是每小时4千米，水流速度是每小时2千米，那么他们追上水壶需要多少时间?分析 此题是水中追及问题，已知路程差是2千米，船在 顺水中的速度是船速+水速.水壶飘流的速度只等于水速。解：路程差船速=追及时间24=0.5(小时).答：他们二人追回水壶需用0.5小时。例3 商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子嫌扶梯走得太慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒钟向上走2个梯级，女孩每2秒向上走3个梯级。结果男孩用40秒钟到达，女孩用50秒钟到达。则当该扶梯静止时，可看到的扶梯级有：A.80级 B.100级 C.120级 D.140级 (2005年中央真题)解析：这是一个典型的行程问题的变型，总路程为“扶梯静止时可看到的扶梯级”，速度为“男孩或女孩每个单位向上运动的级数”，如果设电梯匀速时的速度为X，则可列方程如下，(X+2)40=(X+3/2)50解得 X=0.5 也即扶梯静止时