第2章质点动力学.doc

质点动力学思考题及其解答2-1回答下列问题：（1）物体的运动方向和合外力方向是否一定相同？（2）物体运动的速率不变，所受合外力是否为零？（3）物体的运动速度很大，所受合外力是否也很大？答：（1）否。在质点作曲线运动时，速度方向沿轨迹曲线的切向，而加速度的方向总是指向轨迹曲线凹的一侧。合外力的方向也总是指向轨迹曲线凹的一侧。因此，一般情况下合外力与同一时刻速度的方向是不同的。（2）否。速度是矢量，物体运动的速率不变，但速度的方向还是可能改变的，亦即所受合外力不为零。例如，物体作匀速率圆周运动时，具有法向加速度，它受到法向力，即向心力作用。（3）不一定。力是使物体运动状态改变的原因。物体受到合外力作用后产生加速度。某时刻物体所具有的加速度是其速度矢量在该时刻的时间变化率（包括大小和方向的变化率），并不决定于速度矢量本身在该时刻的量值。物体的运动速度很大，并不表示其速度的时间变化率很大。因此，加速度不一定很大，即物体所受合外力不一定很大。2-2 物体所受摩擦力的方向是否一定和它的运动方向相反？试举例说明。答：摩擦力的方向与物体间相对运动或相对运动趋势的方向相反，不一定与物体的运动方向相反。例如：运动中的货车上装载着的物体，受到车厢底板对其的摩擦力，其方向与货车运动的方向相同，从而使物体随车一起运动。人在地面能够向前行走，也受到地面对人的向前的摩擦力作用。2-3在水平路面上，一个大人推一辆重车，一个小孩推一辆轻车，各自做匀加速直线运动（阻力不计）。甲、乙两同学在一起议论，甲说：根据牛顿运动定律，大人的推力大，小孩的推力小，因此重车的加速度大。乙同学说：根据牛顿运动定律，重车的质量大，轻车的质量小，因此轻车的加速度大。试讨论上述说法是否正确？请简述理由。答：两种说话都不全面。根据牛顿第二定律可知，。要判断谁的加速度大小，要看各自的F/m的比值，谁的F/m的值大，谁的加速度就大。大人推力虽然大，但车的质量也大，其加速度aM 不一定大；轻车的质量小，但小孩的推力小，其加速度am也不一定大。因此，两种说法都不全面和充分。2-4当你用双手去接住对方猛掷过来的球时，你用什么方法缓和球的冲力？怎样解释？答：手接触到球后，手应顺着球运动的方向再运动一些时间，使球在较长的时间内停下，这样就可缓和球的冲力。因为平均冲力，与改变这球动量所需的时间成反比，所以，增加动量变化所对应的时间可减小冲力。2-5 有两只船与堤岸的距离相同，为什么从小船跳上岸比较难，而从大船跳上岸却比较容易？答：取人和船为质点系作分析。为说明方便，对人和船都以质点近似，不计水的阻力，并假定人以水平速度跳出。在水平方向系统的动量守恒，有得或可见，人从船向岸跳时，船离岸运动；人从大船起跳时因，可获得较大的对岸速度v人，而大船因0，几乎不动。因而从大船跳上岸比较容易。2-6 一个物体沿粗糙斜面下滑。试问在这过程中哪些力作正功？哪些力作负功？哪些力不做功？答：物体沿粗糙斜面下滑时的受力有：重力、滑动摩擦力、斜面的支持力。合力的功为其中，重力G与物体的位移dr间的夹角，所以重力作正功。滑动摩擦力与物体位移dr间的夹角，因与物体位移反向，所以滑动摩擦力作负功。斜面的支持力FN因与物体位移dr相互垂直，所以斜面的支持力不做功。2-7 非保守力做功总是负的，对吗？举例说明之。答：不对（不全面）如果力所做的功与物体所经历的中间路径有关，或者物体沿闭合路径运动一周时，力所作的功不为零，这种力称作非保守力。摩擦力、粘滞力、化学力等作的功都具有这样的特征，它们都是非保守力。但是，像摩擦力这类非保守力做功，并非总是负的，它的功可以增大物体的动能，做正功，例如传送带对物体的静摩擦力的功，使物体的动能获得大于零的增量；摩擦力的功也可以将物体机械运动的能量转化为原子或分子无规热运动的能量（热能），即做负功，例如滑动摩擦力做功，使物体机械运动的动能减小，因此也将摩擦力称为耗散力。 通过非保守力做功，也可以把其他形态的能量，如化学能、电磁能、生物能、核能等转化为机械能而做正功，比如通过蓄电池驱动电机所获得的机械功、静止的爆竹爆炸后，朝四处飞散的碎片的动能等都来自于化学能，在这些过程中，非保守力做功大于零。所以，认为非保守力做功总是负的，这样的看法是不全面的。2-8一个物体可否只具有机械能而无动量？一个物体可否只有动量而无机械能？试举例说明。答：若取保守力系统，物体相对参照系静止，那么物体的动能为零，物体的动量也为零。该系统的机械能就是物体相对系统势能零点所具有的势能。所以，一个物体可以有机械能而无动量。例如：一个质量为m的物体静止在相对于地面为h的高处，此时对于物体和地球系统，具有的机械能为重力势能，其值为mgh。由于此时物体静止，故其动量为零。在保守力系统中，若一个物体运动至某一位置时所具有的动能值，恰等于该位置相对势能零点所具有的负的势能值，则该物体的机械能为零，而因物体具有动能，因而动量不为零。所以，一个物体也可以有动量而无机械能。例如：物体自离地面高为h处自由下落，取物体和地球为系统，并取下落处为重力势能零点。初始时刻系统的机械能，下落至地面时，物体具有速度的大小为v，动能，动量的大小为mv，系统的机械能为。2-9 若航天飞机在一段时间内保持绕地心做匀速圆周运动，则下列说法正确的是：（1）它的速度的大小不变，动量也不变；（2）它不断地克服万有引力做功；（3）它的动能不变，引力势能也不变；（4）它的速度的大小不变，加速度等于零。答：航天飞机在一段时间内保持绕地心做匀速圆周运动，速度的大小不变，但方向时刻在变，加速度向心加速度；速度方向时刻在变化，动量在变化，故（1）、（4）错，运动半径不变，万有引力不做功，（2）错，速度的大小不变，动能不变，引力势能不变，（3）正确。2-10 一个人在以恒定速度运动的火车上竖直向上抛出一石子，此石子能否落入人的手中？如果石子抛出后，火车以恒定的加速度前进，结果又将如何？答：匀速前进的火车可视作相对地面运动的惯性系。水平方向上，相对火车静止的所有物体相对地面具有与火车相同的水平运动速度。在车上竖直上抛的石子水平方向不受力，相对火车没有水平运动速度，因此，石子抛出后一定能落入人的手中。地面观察者对石子运动的描述为斜抛运动，但因为石子运动速度的水平分量与火车相同，因而能够落入车上那人的手中。如果石子抛出后，火车以恒定的加速度前进，那么火车成为非惯性系，有惯性力。在空中的石子相对火车有了水平运动速度，将回不到车上人的手中。地面观察者对石子运动的描述仍为斜抛运动，但因为石子运动速度的水平分量与火车的不同，因而不能落入车上那人的手中。2-11 请回答下述问题，并说明理由。一个人站在医用体重计的测盘上，在人突然下蹲的全过程中，指示针示数变化情况应是：（1）先减小，后还原；（2）先增大，后还原；（3）始终不变；（4）先减小，后增大，再还原。答：应选（4）。人突然下蹲，意味着开始加速度向下，接着加速度向上，最后静止。在此过程中，人只受重力和测盘的支持力两个力的作用。当加速度向下时有，mg； 当加速度向上时有，mg；当人下停止时，就是体重计的的示数。2-12 用绳子系一个物体，在竖直平面内作圆周运动，当物体达到最高点时，（1）有人说：“这时物体受到三个力：重力、绳子的拉力以及向心力”；（2）又有人说：“因为这三个力的方向都是向下的，但物体不下落，可见物体还受到一个方向向上的离心力和这些力平衡”。这两种说法对吗？答：这两种说法都不对用绳子系着的物体，在竖直平面内作圆周运动时，始终只受重力和绳子拉力的作用。这两个力的合力对物体作用的效果，使其能在竖直平面内作圆周运动。在最高点时，这两个力的合力指向圆心。所谓向心力仅是以力的效果来命名的力的一种称谓，其本质仍是惯性参考系中的真实力，是指向圆心的合力，或合力指向圆心的分量。所谓离心力，是向心力的反作用力，作用在其他物体上。需注意的是，在转动非惯性参考系中，所有物体都会受到的“惯性离心力”属惯性力之一，与上述“离心力”是两个不同的概念。练习题及其解答600300m1m2题2-1用图2-1 如本题图所示，kg，两物体和斜面间的摩擦，滑轮轴上的摩擦可忽略，绳和滑轮质量不计，并且绳子不可伸长。求：（1）当kg时，系统运动的加速度多大，绳子的张力是多少？（2）当多大时，系统匀速运动？这时绳子的张力又是多大？ 解：（1）分别以、为研究对象，画出、的隔离体受力图，如题2-1a图所示。设沿斜面下滑，沿斜面向上运动，系统的加速度为a，分别建立xoy坐标系。由牛顿定律对、可分别列出方程600300m1m2题2-1a图xTyN1m1gaxTym2gN2 （1） （2）联立解得（）得负值，说明a的方向与原来所设方向相反，实际上沿斜面向上运动，而沿斜面向下运动，系统的加速度大小为1.05（）。这时绳子的张力为（N）（2）系统匀速运动时。对、分别列出方程 （3） （4）由（3）式可得（N）代入式（4）得（kg）F题2-2用图o2-2 如本题图所示，质量kg的物体，放在水平面上，已知物体与地面间的静摩擦系数为。今要拉动这物体，试求所需要的最小拉力的大小与方向。F题2-2a图MgfoxyN解：在水平地面上，物体受重力Mg，地面支持力N，物体与地面间摩擦力f，外力F（与水平面夹角为），如题2-2a图所示。根据牛顿第二定律，物体刚好可以运动时，其加速度，摩擦力为最大静摩擦力，于是有 x方向： =0 （1） y方向： （2） （3）联列求解式（1）、（2）、（3）得F =对于拉力（0），F要取得最小值，即要取得最大值。由得到 即将此角带入前述结构可解得 =36.4（N）由此可知，所需要的最小的拉力是36.4N，它与水平向右方向的夹角。2-3 长为l的轻绳，一端固定，另一端系一个质量为m的小球，使小球从悬挂着的铅直位置以水平初速度开始运动。如本题图所示，用牛顿运动定律求小球沿逆时针转过角时的角速度和绳中的张力。v0题2-3图lTG解 小球在任意位置时的受力分析如题2-3图所示，则由牛顿第二运动定律可知对法向有对切向有对切向方程两边同乘以，得即亦即 对该式积分由此解得 所以小球沿逆时针转过角时的角速度为 将代入法向方程可得绳中的张力为 2-4 一个质量为10 kg的质点在力F（120 t+40）N的力作用下，沿x轴作直线运动。在t=0时，质点位于x=5.0 m处，其速度ms-1。求质点在任意时刻的速度和位置。解：这是在变力作用下的动力学问题。由于力是时间的函数，而加速度，这时，动力学方程就成为速度对时间的一阶微分方程，解此微分方程可得质点的速度v(t)；由速度的定义用积分的方法可求出质点的位置。 根据牛顿定律有 即 依据质点运动的初始条件，运用分离变量法对上式积分，得 由此解得ms-1即由质点运动的初始条件，对上式分离变量后再积分，有由此解得 2-5 轻型飞机连同驾驶员总质量为1.0103kg。飞机以55.0 ms-1的速率在水平跑道上着陆后，驾驶员开始制动，若阻力与时间成正比，比例系数=5.0102Ns-1，求：(1)10 s后飞机的速率；(2)飞机着陆后10 s内滑行的距离。 解：分析飞机连同驾驶员在水平跑道上运动可视为质点作直线运动其水平方向所受制动力F为变力，且是时间的函数。在求速率和距离时，可根据动力学方程和运动学规律，采用分离变量法求解。 以地面飞机滑行方向为坐标正方向，由牛顿定律及初始条件，有 分离变量并积分由此解得因此。飞机着陆10 s后的速率为 (ms-1)又因为由此解出飞机着陆后10 s内所滑行的距离为（m） 2-6 一个物体自地球表面以速率竖直上抛，假定空气对物体阻力的值为，其中m为物体的质量，k为常量。试求：(1)该物体能上升的高度；(2)物体返回地面时速度的值。(设重力加速度为常量) 解：由于空气对物体的阻力始终与物体运动的方向相反，因此，物体在上抛过程中所受重力P和阻力Fr的方向相同；而下落过程中，所受重力P和阻力Fr的方向则相反。又因阻力是变力，故在解动力学方程时，需用积分的方法。以地面为原点，竖直向上为y轴。(1) 物体在上抛过程中，根据牛顿定律有利用，依据初始条件对上式积分，有 由此解得物体到达最高处时，v =0，故有 (2) 按牛顿第二定律，在物体下落时有利用，上式可改写为对上式积分，有由此解出 2-7 一个质量为10kg的物体，受到力（N）的作用。求：（1）在开始的2s内，此力的冲量大小；（2）若物体的初速度大小为10，方向与F同向，在2s末物体速度的大小。解：在开始的2s内，此力的冲量大小为（）由质点的动量定理得当物体的初速度大小为10，方向与F同向时，在2s末物体速度的大小为（）450mv0题2-8图mvoxy2-8 一个质量为0.25kg的弹性小球，以5的速率和45的仰角投向墙壁，如本题图所示。设小球与墙壁的碰撞时间为0.05s，反弹角度与入射角相等，小球速度的大小不变。求墙壁对小球的平均冲力。解： 建立坐标系如题2-8图所示。由动量定理得到小球所受墙壁的平均冲力的分量为 代入数值计算可得 因此，墙壁对小球的平均冲力为，其方向垂直墙壁向左。2-9 用棒打击质量0.30kg、速率为20的水平飞来的球后，球飞到竖直上方10m的高度。求棒给予球的冲量多大？设球与棒的接触时间为0.02s，求球受到的平均冲力。解法1：如本题图（a）所示，建立坐标系，根据动量原理得 （1） （2）因为 （3）由式（1）、（2）、（3）解得冲量与x轴的夹角可由下式决定有此得小球所受到的平均冲力大小为oxyvyvxmv2mv1题2-9图（a）（b）解法2： 如本题图（b），根据动量原理由此得将kg、m、代入，解得N方向与的反向夹角为 2-10 水管有一段弯成90，已知管中流量为3103，流速v为10，求水流对此弯管的压力大小与方向。解 设时间内，水段以流速v流到，这段水的动量变化avvavb题2-10 图b式中为ab段和段水的质量，。由此得水在弯管处受管的力为由图知，此力的大小为（N）方向沿弯曲90的角平分线向内。2-11 质量为M的人手里拿着一个质量为m的物体，此人用与水平面成角的速率向前跳去。当它达到最高点时，他将物体以相对于人为u的水平速率向后抛出。问：由于人抛出物体，他跳跃的距离增加了多少？（假设人可视为质点）oyx题2-11图v0uvx解：建立如题2-11图所示的坐标系。由于人与物体组成的质点系在水平方向不受外力的作用，所以在最高点向后抛出物体的过程中质点系在水平方向的动量守恒，于是有其中，v为人抛出物体后相对于地面的水平速率，v-u为抛出物体相对于地面的水平速率。由上式可得人的水平速率的增量为而人从最高点到地面的运动时间为所以人跳跃抛出物体后增加的距离为2-12 一个原来静止的原子核，放射性蜕变时放出一个动量的电子，同时还在垂直于此电子运动的方向上放出一个动量的中微子。求蜕变后原子核的动量的大小和方向。-p3题2-12图p3p2p1解：原子核蜕变过程应满足动量守恒定律。以表示蜕变后原子核的动量，应有由本题图可知，的大小为（）的方向应在和所在的平面内，而且与的夹角为2-13 原子核与电子间的吸引力的大小随它们之间的距离r的变化而变化，其规律为，求电子从r1运动到r2（r1r2）的过程中，核的吸引力所做的功。题2-14图yoF解：核的吸引力所做的功为2-14 从10m深的井中，把装有水的水桶匀速上提，水桶总质量为10kg，若每升高1m漏去kg的水。问把水桶从水面提高到井口时外力所做的功。解：以井中水面为坐标原点，竖直向上为y轴正向，画出的示意图如题2-14图。由于水是匀速上提的，所以水桶在高度y时所受到的力为升高dy距离时外力所做的元功为把水桶从水面提高到井口外力所做的总功为 2-15 一个质量为10kg的物体沿x轴无摩擦运动，设时，物体位于原点，速度为零（，）问：当物体在力（N）的作用下移动了3m时（x以m计），它的速度和加速度增为多大？ 解：由牛顿第二定律得（ms-2）以m代入上式得 ms-2由动能定理得于是（ms-1）2-16 质量为kg的子弹，在枪筒中前进受到的合力为（F的单位为N，x的单位为m）。已知子弹射出枪口时的速度为300，求枪筒的长度。解：设枪筒的长度为l，则根据动能定理有即由此得即由此可知枪筒的长度为（m）hl题2-17图m0hmm反跳后的最高位置桩帽泥土桩桩m02-17 柴油打桩机的重锤由气缸、活塞等若干部件组成，气缸与活塞间有柴油与空气的混合物。在重锤与桩碰撞的过程中，通过压缩使混合物燃烧，产生高温高压气体，从而使桩向下运动，锤向上运动，现将柴油打桩机和打桩过程简化如下：设柴油打桩机重锤的质量为m0，锤在桩帽以上高度为h处（如题2-17图）从静止开始沿竖直轨道自由落下，打在质量为m（包括桩帽）的钢筋混凝土桩子上。同时，柴油燃烧，产生猛烈推力，锤和桩分离（这一过程的时间极短）。随后，桩在泥土中向下移动一段距离l。已知锤反跳后到达最高点时，锤与已停下的桩帽之间的距离也为h。若kg，kg，m，m，（取），混合物的质量不计，并设桩向下移动的过程中泥土对桩的作用力F是恒力，求此力的大小。解：锤自由下落，碰桩前速度方向向下，大小为 碰后已知锤上升高度为（），故刚碰后向上的速度为设碰后桩的速度为v，方向向下，由动量守恒定律得在桩下降的过程中，根据动能定理有由以上各式求得代入数据得N。2-18 质量为m 的A球，以速度u飞行，与一个静止的小球B碰撞后，A球的速度变为，其方向与u方向成。B球的质量为5m，它被撞后以速度飞行，的方向与u成角。求：（1）两小球相撞后速度、的大小；（2）碰撞前后两小球动能的变化。解：（1）选坐标系如图（题2-18图）。根据动量守恒定律，在x方向有900v1u题2-18图ABxyov2 （1）在y方向有 （2）联立式（1）、（2），解得 （2）A球碰撞前后动能变化为 B球碰撞前后动能变化为碰撞过程中机械能不守恒，碰撞前后球A失去动能，球B增加动能，而有的机械能因碰撞而转化为其它形式的能量。v0题2-19图Mm2-19 一个质量为kg的物体放在光滑水平面上，并与一个水平轻弹簧相连，如本题图所示。已知弹簧的劲度系数。今有一个质量kg的小球，以水平速度向左运动，与物体M相撞后，又以的速度弹回。求：（1）M起动后，弹簧将被压缩，弹簧可缩短多少？（2）如果小球上涂有粘性物质，相撞后可与M粘在一起，则（1）所问的结果又如何？解：（1）设M对弹簧最大