高三数学一轮复习 第六篇 数列 第2节 等差数列课件 理.ppt

第2节等差数列 知识链条完善 考点专项突破 类题探源精析 知识链条完善把散落的知识连起来 提示 充分必要条件 2 如何推导等差数列的通项公式 提示 可用累加法 3 如何推导等差数列的前n项和公式 提示 利用倒序相加法推导 知识梳理 1 等差数列的相关概念 1 定义 如果一个数列从第2项起 每一项与它的前一项的都等于常数 那么这个数列就叫做等差数列 符号表示为 n 2 n n d为常数 差 同一个 an an 1 d 2 等差数列的通项公式 1 若等差数列 an 的首项是a1 公差为d 则其通项公式为an 2 通项的推广 an am d a1 n 1 d n m 4 等差数列 an 的性质 1 若m n p q 则am an ap aq 其中m n p q n 特别地 若p q 2m 则ap aq p q m n 2 若等差数列 an 的前n项和为sn 则sk s2k sk s3k s2k 成等差数列 3 若下标成等差数列 则相应的项也成等差数列 即ak ak m ak 2m k m n 成等差数列 4 若等差数列 an 的前n项和为sn 则s2n 1 2n 1 an 2am 5 等差数列的增减性与最值公差d 0时为递增数列 且当a10时 前n项和sn有最大值 6 等差数列与一次函数的关系由等差数列的通项公式an a1 n 1 d可得an dn a1 d 如果设p d q a1 d 那么an pn q 其中p q是常数 当p 0时 n an 在一次函数y px q的图象上 即公差不为零的等差数列的图象是直线y px q上的均匀排开的一群孤立的点 当p 0时 an q 等差数列为常数列 此时数列的图象是平行于x轴的直线 或x轴 上的均匀排开的一群孤立的点 重要结论 1 等差数列 an 中 若am n an m 则am n 0 2 等差数列 an 的前n项和为sn 若sm sn m n 则sm n 0 3 等差数列 an 的前n项和为sn 若sm n sn m 则sm n m n 夯基自测 1 2015高考新课标全国卷 设sn是等差数列 an 的前n项和 若a1 a3 a5 3 则s5等于 a 5 b 7 c 9 d 11 a c d 4 2015高考陕西卷 中位数为1010的一组数构成等差数列 其末项为2015 则该数列的首项为 解析 设数列的首项为a1 则a1 2015 2 1010 2020 所以a1 5 故该数列的首项为5 答案 5 答案 27 考点专项突破在讲练中理解知识 考点一 等差数列的基本量运算 例1 1 2015榆林模拟 等差数列 an 前n项和为sn a3 7 s6 51 则公差d的值为 a 2 b 3 c 3 d 4 解析 1 根据已知得a1 2d 7且6a1 15d 51 消去a1 解得d 3 故选b 2 2015河南三市联考 设sn为等差数列 an 的前n项和 a1 1 a3 5 sk 2 sk 36 则k的值为 a 8 b 7 c 6 d 5 解析 2 由2d a3 a1 5 1 4得d 2 所以an 1 n 1 2 2n 1 由sk 2 sk ak 2 ak 1 2 k 2 1 2 k 1 1 4k 4 36 得k 8 故选a 反思归纳等差数列基本运算的方法策略 1 等差数列中包含a1 d n an sn五个量 可知三求二 解决这些问题一般设基本量a1 d 利用等差数列的通项公式与求和公式列方程 组 求解 体现方程思想 即时训练 1 2016河南六市第一次联考 在等差数列 an 中 首项a1 0 公差d 0 若ak a1 a2 a3 a7 则k等于 a 22 b 23 c 24 d 25 解析 1 因为a1 0 所以ak k 1 d 所以a1 a2 a3 a7 1 2 3 4 5 6 d 21d k 1 d 所以k 22 故选a 2 2016郑州第一次质量预测 等差数列 an 的前n项和为sn 且s3 6 a3 0 则公差d等于 a 1 b 1 c 2 d 2 考点二 等差数列的判断与证明 例2 2014高考新课标全国卷 已知数列 an 的前n项和为sn a1 1 an 0 anan 1 sn 1 其中 为常数 1 证明 an 2 an 1 证明 由题设 anan 1 sn 1 an 1an 2 sn 1 1 两式相减得an 1 an 2 an an 1 由于an 1 0 所以an 2 an 2 是否存在 使得 an 为等差数列 并说明理由 2 解 存在满足题意的 由题设 a1 1 a1a2 s1 1 可得a2 1 由 1 知 a3 1 令2a2 a1 a3 解得 4 故an 2 an 4 由此可得 a2n 1 是首项为1 公差为4的等差数列 a2n 1 4n 3 a2n 是首项为3 公差为4的等差数列 a2n 4n 1 所以an 2n 1 an 1 an 2 因此存在 4 使得数列 an 为等差数列 反思归纳 判定数列 an 是等差数列的常用方法 1 定义法 对任意n n an 1 an是同一个常数 2 等差中项法 对任意n 2 n n 满足2an an 1 an 1 3 通项公式法 数列的通项公式an是n的一次函数 4 前n项和公式法 数列的前n项和公式sn是n的二次函数 且常数项为0 2 求sn及an 等差数列的性质 考点三 答案 1 b 2 2015兰州高三诊断 已知等差数列 an 的前n项和为sn 若a4 18 a5 则s8等于 a 18 b 36 c 54 d 72 答案 2 d 3 等差数列 an 的前m项和为30 前3m项和为90 则它的前2m项和为 答案 3 60 反思归纳 一般地 运用等差数列性质可以优化解题过程 但要注意性质运用的条件 如m n p q 则am an ap aq m m p q n 即时训练 1 等差数列 an 中 a1 a7 26 a3 a9 18 则数列 an 的前9项和为 a 66 b 99 c 144 d 297 答案 1 b 2 设sn是公差不为零的等差数列 an 的前n项和 且a1 0 若s5 s9 则当sn最大时 n等于 a 6 b 7 c 8 d 9 答案 2 b 解析 2 因为s5 s9 所以a6 a7 a8 a9 0 又a6 a9 a7 a8 所以a7 a8 0 又a1 0 所以a7 0 a8 0 所以当n 7时sn最大 故选b 3 2015高考广东卷 在等差数列 an 中 若a3 a4 a5 a6 a7 25 则a2 a8 答案 3 10 解析 3 因为 an 是等差数列 所以a3 a7 a4 a6 a2 a8 2a5 a3 a4 a5 a6 a7 5a5 25 即a5 5 a2 a8 2a5 10 备选例题 例2 在等差数列 an 中 1 若a4 a17 20 求s20 2 若共有n项 且前四项之和为21 后四项之和为67 前n项和sn 286 求n 例3 已知等差数列 an 公差d 0 前n项和为sn 且满足a2a3 45 a1 a4 14 1 求数列 an 的通项公式及前n项和sn 例4 在公差为d的等差数列 an 中 已知a1 10 且a1 2a2 2 5a3成等比数列 1 求d an 解 1 由题意得a1 5a3 2a2 2 2 由a1 10 an 为公差为d的等差数列得 d2 3d 4 0 解得d 1或d 4 所以an n 11 n n 或an 4n 6 n n 2 若d 0 求 a1 a2 a3 an 类题探源精析把复杂的问题简单化