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数学分析III答案一 叙述题（每小题10分，共30分）1 设为定向的可求长连续曲线，起点为，终点为。在曲线上每一点取单位切向量，使它与的定向相一致。设=+是定义在上的向量值函数，则称为定义在上的第二类曲线积分（如果右面的第一类曲线积分存在）。2函数在可积且平方可积，则成立等式 。3 若是以为周期且在上可积的函数，则 称为函数的Fourier系数，以的Fourier系数为系数的三角级数 称为函数的Fourier级数，记为 。收敛定理：设函数在上可积且绝对可积，且满足下列两个条件之一，则的Fourier级数在收敛于。（1）在某个区间上是分段单调函数或若干个分段单调函数之和。（2）在处满足指数为的Holder条件。二 计算题（每小题10分，共50分）1。解 。在直线段上得在直线段上得在直线段上得所以 。2解 .3解 由题意，目标函数与约束条件分别为与作Lagrange函数则有由此解得于是有并且易知它是极小值点.4解 由于 ，其中，这里表示椭球面 或 。它的面积为 。于是 。同理可得 ， 。所以 。 5计算含参变量积分的值。解 因为，所以。注意到在域：上连续。又积分对是一致收敛的。事实上，当时，但积分收敛。故积分是一致收敛的。于是，利用对参数的积分公式，即得 。从而得 。三 讨论题（每小题10分，共20分）1 当时， 。，于是，当时，。当时， 。2首先注意到 。若，则当充分大时，从而当充分大时函数是递减的，且这时。又因（对任何），故收敛。若，则恒有，故函数在上是递增的。
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