拉格朗日方程ppt课件.ppt

分析力学 1 正则变换 2 研究机械运动的着眼点 二 分析力学的特点 导论 1 把力学系统作为一个整体考虑 牛顿力学是先质点 再质点系 2 具有简单统一的微分方程 3 4 扩大了坐标的概念 引入广义坐标 能量概念适用于量子力学 甚至非力学体系 3 使用范围更广 n个质点 k个约束 广义坐标可以是联系着能量的各种物理量 电压 电流 温度 压强 成为推广到非力学体系的首要条件 分析力学 力学量L T V 或H T V 不同 力学体系不同 牛顿力学 运动微分方程不同 4 5 提出新的力学原理代替牛顿定律 力学第一原理 三者本质上相同 可以相互证明 相当于 几何公理 5 第2章拉格朗日方程 内容 基本概念 理想完整系的拉格朗日方程 对称性和守恒定律重点 完整保守系的拉格朗日方程难点 拉格朗日方程的推导 6 经典动力学的两个发展方面 拓宽研究领域 矢量动力学又称为牛顿 欧拉动力学 牛顿运动定律由单个自由质点 受约束质点和质点系 以达朗贝尔原理为基础 欧拉将牛顿运动定律 刚体和理想流体 寻求新的表达形式 将虚位移原理和达朗贝尔原理综合应用于动力学 建立分析力学的新体系 拉格朗日力学 7 牛顿力学理论几乎都以力为基础 因此它的应用只局限于纯力学问题的范畴 运算也比较烦琐 18世纪伯努利 达朗贝尔 欧拉等人发展了经典力学的分析形式 1788年拉格朗日发表了名著 分析力学 建立了经典力学的拉格朗日形式 用体系的动能和势能取代了牛顿形式的加速度和力 将力学的研究和应用范围开拓到整个物理学 8 约瑟夫 路易斯 拉格朗日 Joseph LouisLagrange1735 1813 法国数学家 物理学家 1736年1月25日生于意大利都灵 1813年4月10日卒于巴黎 他在数学 力学和天文学三个学科领域中都有历史性的贡献 其中尤以数学方面的成就最为突出 拉格朗日1736年1月25日生于意大利西北部的都灵 父亲是法国陆军骑兵里的一名军官 后由于经商破产 家道中落 据拉格朗日本人回忆 如果幼年是家境富裕 他也就不会作数学研究了 因为父亲一心想把他培养成为一名律师 拉格朗日个人却对法律毫无兴趣 到了青年时代 在数学家雷维里的教导下 拉格朗日喜爱上了几何学 17岁时 他读了英国天文学家哈雷的介绍牛顿微积分成就的短文 论分析方法的优点 后 感觉到 分析才是自己最热爱的学科 从此他迷上了数学分析 开始专攻当时迅速发展的数学分析 18岁时 拉格朗日用意大利语写了第一篇论文 是用牛顿二项式定理处理两函数乘积的高阶微商 他又将论文用拉丁语写出寄给了当时在柏林科学院任职的数学家欧拉 不久后 他获知这一成果早在半个世纪前就被莱布尼兹取得了 这个并不幸运的开端并未使拉格朗日灰心 相反 更坚定了他投身数学分析领域的信心 1755年拉格朗日19岁时 在探讨数学难题 等周问题 的过程中 他以欧拉的思路和结果为依据 用纯分析的方法求变分极值 第一篇论文 极大和极小的方法研究 发展了欧拉所开创的变分法 为变分法奠定了理论基础 变分法的创立 使拉格朗日在都灵声名大震 并使他在19岁时就当上了都灵皇家炮兵学校的教授 成为当时欧洲公认的第一流数学家 1756年 受欧拉的举荐 拉格朗日被任命为普鲁士科学院通讯院士 1764年 法国科学院悬赏征文 要求用万有引力解释月球天平动问题 他的研究获奖 接着又成功地运用微分方程理论和近似解法研究了科学院提出的一个复杂的六体问题 木星的四个卫星的运动问题 为此又一次于1766年获奖 1766年德国的腓特烈大帝向拉格朗日发出邀请时说 在 欧洲最大的王 的宫廷中应有 欧洲最大的数学家 于是他应邀前往柏林 任普鲁士科学院数学部主任 居住达20年之久 开始了他一生科学研究的鼎盛时期 在此期间 他完成了 分析力学 一书 这是牛顿之后的一部重要的经典力学著作 书中运用变分原理和分析的方法 建立起完整和谐的力学体系 使力学分析化了 他在序言中宣称 力学已经成为分析的一个分支 9 1783年 拉格朗日的故乡建立了 都灵科学院 他被任命为名誉院长 1786年腓特烈大帝去世以后 他接受了法王路易十六的邀请 离开柏林 定居巴黎 直至去世 这期间他参加了巴黎科学院成立的研究法国度量衡统一问题的委员会 并出任法国米制委员会主任 1799年 法国完成统一度量衡工作 制定了被世界公认的长度 面积 体积 质量的单位 拉格朗日为此做出了巨大的努力 1791年 拉格朗日被选为英国皇家学会会员 又先后在巴黎高等师范学院和巴黎综合工科学校任数学教授 1795年建立了法国最高学术机构 法兰西研究院后 拉格朗日被选为科学院数理委员会主席 此后 他才重新进行研究工作 编写了一批重要著作 论任意阶数值方程的解法 解析函数论 和 函数计算讲义 总结了那一时期的特别是他自己的一系列研究工作 1813年4月3日 拿破仑授予他帝国大十字勋章 但此时的拉格朗日已卧床不起 4月11日早晨 拉格朗日逝世 拉格朗日科学研究所涉及的领域极其广泛 他在数学上最突出的贡献是使数学分析与几何与力学脱离开来 使数学的独立性更为清楚 从此数学不再仅仅是其他学科的工具 拉格朗日总结了18世纪的数学成果 同时又为19世纪的数学研究开辟了道路 堪称法国最杰出的数学大师 同时 他的关于月球运动 三体问题 行星运动 轨道计算 两个不动中心问题 流体力学等方面的成果 在使天文学力学化 力学分析化上 也起到了历史性的作用 促进了力学和天体力学的进一步发展 成为这些领域的开创性或奠基性研究 在柏林工作的前十年 拉格朗日把大量时间花在代数方程和超越方程的解法上 作出了有价值的贡献 推动了代数学的发展 他提交给柏林科学院两篇著名的论文 关于解数值方程 和 关于方程的代数解法的研究 把前人解三 四次代数方程的各种解法 总结为一套标准方法 即把方程化为低一次的方程 称辅助方程或预解式 以求解 他试图寻找五次方程的预解函数 希望这个函数是低于五次的方程的解 但未获得成功 然而 他的思想已蕴含着置换群概念 对后来阿贝尔和伽罗华起到启发性作用 最终解决了高于四次的一般方程为何不能用代数方法求解的问题 因而也可以说拉格朗日是群论的先驱 在数论方面 拉格朗日也显示出非凡的才能 他对费马提出的许多问题作出了解答 如 一个正整数是不多于4个平方数的和的问题等等 他还证明了圆周率的无理性 这些研究成果丰富了数论的内容 在 解析函数论 以及他早在1772年的一篇论文中 在为微积分奠定理论基础方面作了独特的尝试 他企图把微分运算归结为代数运算 从而抛弃自牛顿以来一直令人困惑的无穷小量 并想由此出发建立全部分析学 但是由于他没有考虑到无穷级数的收敛性问题 他自以为摆脱了极限概念 其实只是回避了极限概念 并没有能达到他想使微积分代数化 严密化的目的 不过 他用幂级数表示函数的处理方法对分析学的发展产生了影响 成为实变函数论的起点 拉格朗日也是分析力学的创立者 拉格朗日在其名著 分析力学 中 在总结历史上各种力学基本原理的基础上 发展达朗贝尔 欧拉等人研究成果 引入了势和等势面的概念 进一步把数学分析应用于质点和刚体力学 提出了运用于静力学和动力学的普遍方程 引进广义坐标的概念 建立了拉格朗日方程 把力学体系的运动方程从以力为基本概念的牛顿形式 改变为以能量为基本概念的分析力学形式 奠定了分析力学的基础 为把力学理论推广应用到物理学其他领域开辟了道路 他还给出刚体在重力作用下 绕旋转对称轴上的定点转动 拉格朗日陀螺 的欧拉动力学方程的解 对三体问题的求解方法有重要贡献 解决了限制性三体运动的定型问题 拉格朗日对流体运动的理论也有重要贡献 提出了描述流体运动的拉格朗日方法 拉格朗日的研究工作中 约有一半同天体力学有关 他用自己在分析力学中的原理和公式 建立起各类天体的运动方程 在天体运动方程的解法中 拉格朗日发现了三体问题运动方程的五个特解 即拉格朗日平动解 此外 他还研究了彗星和小行星的摄动问题 提出了彗星起源假说等 近百余年来 数学领域的许多新成就都可以直接或间接地溯源于拉格朗日的工作 所以他在数学史上被认为是对分析数学的发展产生全面影响的数学家之一 被誉为 欧洲最大的数学家 10 约束的概念 约束 对物体运动位置或速度的限制 n个质点如有k个约束 则只有3n k个坐标是独立的 n个质点的系统状态由3n个位置坐标和3n个速度坐标确定 2 1约束 11 二 约束方程 由约束物体预先给定的对力学系统运动的限制叫做约束 初始条件和受力决定轨迹是直线 约束物 铁丝 限制包括对位置和对速度的限制 设系统由n个质点组成 以xi yi zi表示第i个质点的坐标 则约束方程为 1 球面摆的约束 OM为刚性轻杆 设O点为直角坐标原点 则质点m的坐标方程满足 若O点不固定 在x方向有一恒定速率v t 0时O点处于坐标原点 则约束方程为 若刚性轻杆换成柔软轻绳 绳长仍为l 不可伸长 则约束方程为 O点固定 O点不固定 2 半径为R的车轮沿水平直线轨道做无滑滚动 约束方程表示为 在一定初始条件下积分可得 两组约束方程分别表明了地面对车轮的位置和速度的限制 3 在水平冰面上滑行的冰鞋上装有冰刀 冰面对冰刀横向运动的限制使冰刀质心的速度方向只能沿着冰刀的纵向 以冰刀的质心坐标xc yc和转角 作为冰刀的位置坐标 则冰刀的约束方程为 上式还可写成 由于cot 与yc的函数关系不能确定 所以不可积分 三 约束的分类 1 完整约束 几何约束 和非完整约束 微分约束 约束方程仅含质点的坐标和时间的约束称为完整约束 约束方程形式为 如果约束方程不仅包含质点的坐标 还包含坐标对时间的导数或坐标的微分 而且不能通过积分使之转化为仅包含坐标和时间的完整约束方程 则这种约束称为非完整约束 其约束方程形式为 不受非完整约束的系统称为完整系 本教材只研究 完整约束 完整约束 完整约束 完整约束 完整约束 非完整约束 2 定常约束 稳定约束 和非定常约束 非稳定约束 约束方程中不显含时间t的约束称为定常约束 约束方程形式为 约束方程中显含时间t的约束称为非定常约束 约束方程形式为 3 双侧约束 不可解约束 和单侧约束 可解约束 若约束方程是等式 这种约束就是双侧约束 若约束方程含有不等式 就称为单侧约束 4 理想约束和非理想约束 根据约束力的性质划分 完整约束 完整约束 完整约束 完整约束 定常约束 定常约束 非定常约束 非定常约束 双侧约束 双侧约束 单侧约束 单侧约束 非完整约束 定常约束 双侧约束 定常约束 双侧约束 例1 圆环在水平面上作纯滚动 如果 轨迹为 直线 则为完整约束 曲线 则为非完整约束 直线 运动约束 几何约束 积分 微分 4个坐标 22 法夫方程 法夫方程完全可积 即有积分曲面族 的充要条件 结论 可积分的运动约束与几何约束在物理实质上没有区别 合称为完整约束 从数学上看 一个函数 23 对于完整系 确定系统位置所需要的独立坐标的数目 称为该系统的自由度 用s表示 一个自由质点 质点被约束在曲面上 质点被约束在曲线上 n个质点 受k个完整约束 推广 n个质点 m个刚体 受k个完整约束 2 3自由度 曲线有两个约束条件 例 一卧倒的圆锥限制在一个平面上的运动 接触点可以滑动 解 A点的位置由坐标 x y 表示 对称轴方位可由接触线AB与x轴夹角 确定 圆锥自转角由 确定 例 两个叠放在一起的陀螺 下面的陀螺支点固定 例 长度同为l的四根轻杆 用光滑铰链连接成一菱形ABCD AB AD两边支于同一水平线上相距为2a的两根钉上 BD间则用一轻绳连接 C点上系一重W的物体 求系统自由度 解 有绳连接时 系统的自由度为0 将绳子剪断 系统的自由度为1 例 长为l的细杆AB的一端被约束在水平桌面上 确定其自由度 法一 刚体 细杆 无绕轴自转 A点被限制在平面上 s 6 xA yA zA s 5 s 4 法二 A B两点确定 细杆位置确定 2个约束方程 2 3广义坐标 自由度 系统广义坐标的独立变分数目 即可以独立变化的坐标变更数 n个质点 k个约束的系统的自由度 非完整系中 自由度 广义坐标数 广义坐标 确定力学体系空间位置的一组独立坐标 s维抽象空间 位形空间 即 独立的坐标变更数 独立坐标数 28 如果 却不独立 所以 广义坐标数为4 自由度为2 如前例1 圆环在地面上作纯滚动 如果则4个坐标相互独立 但的变更 29 说明 3 是标量 不一定是位矢分量 不一定有公共原点 仅是描述体系作为整体的位置 状态 4 广义速度 广义加速度 约束 反 力 约束条件 限制物体的运动行为 牛顿力学解决 分析力学课题 30 在给定的约束条件下 能够完全确定力学系统位置的一组相互独立的变量称为系统的广义坐标 在完整系中 广义坐标的数目与自由度数目相等 对于一个给定的系统 广义坐标的数目是一定的 而广义坐标的选择不是唯一的 不可以 可以 最佳 举例 广义坐标一般用符号q表示 如果系统有s个自由度 就需要s个广义坐标q1 q2 qs 也可缩写成q 1 2 s 2 坐标变换方程 广义坐标与直角坐标的变换关系 坐标变换方程 或写成矢量形式 则坐标变换方程为 广义坐标对时间的导数称为与该广义坐标对应的广义速度 写成 一 实位移与虚位移 实位移 质点运动实际发生的位移 虚位移 假想的 符合约束条件的 无限小的 即时的位置变更 讨论 1 即时性 2 虚位移在约束面上有任意方向的无穷多个 而是许多中的一个 稳定约束情况 始终在约束点的切平面内 2 4虚功原理 虚位移不需要时间 又称 可能位移 34 比较 5 d变分运算法则 对完整保守系 有 约束面以v0向上运动 理解 当质点速度 v0 时 dt 由A到B的时间 0 如图 4 某点的虚位移必在该点曲面的切平面上 即垂直于法线 与微分基本相同 35 二 理想约束 虚功 定义 如果约束反力Ri的虚功之和为零 即 理解 关键是虚位移与约束力始终正交 1 如光滑的面 线 铰链上的约束力 刚性杆 不可伸长的绳 刚体纯滚动时的静摩擦力 刚体的内力 2 摩擦力 空气阻力 不是理想约束 可看成是未知的主动力 36 三 虚功原理 微分变分原理 平衡时 对每一质点有 虚功原理 理想 完整 稳定约束体系平衡的充要条件是主动力虚功之和为零 虚功 37 用广义坐标表示为 由 得 因广义坐标相互独立 其变更数与自由度数相同 0 所以 广义力 或 38 静力学问题的一般解题步骤 确定自由度 选取一组独立的广义坐标 方法一 按定义求 方法二 有时更方便 求的方法 仅是有一变化各力所作的总虚功 39 用广义坐标表出的动力学方程称为拉格朗日方程 可以直接由牛顿第二定律导出 1 达朗贝尔方程 给质点i以虚位移 得 对整个质点系 40 2 6 上式称为达朗贝尔 d Alembert 方程 是理想约束体系动力学普遍方程 在理想约束条件下 有 41 达朗贝尔是法国著名的物理学家 数学家和天文学家 一生研究了大量课题 完成了涉及多个科学领域的论文和专著 其中最著名的有八卷巨著 数学手册 力学专著 动力学 23卷的 文集 百科全书 的序言等等 他的很多研究成果记载于 宇宙体系的几个要点研究 中 达朗贝尔生前为人类的进步与文明做出了巨大的贡献 也得到了许多荣誉 但在他临终时 却因教会的阻挠没有举行任何形式的葬礼 达朗贝尔的科学成就数学是达朗贝尔研究的主要课题 他是数学分析的主要开拓者和奠基人 达朗贝尔为极限作了较好的定义 但他没有把这种表达公式化 波义尔做出这样的评价 达朗贝尔没有摆脱传统的几何方法的影响 不可能把极限用严格形式阐述 但他是当时几乎唯一一位把微分看成是函数极限的数学家 达朗贝尔是十八世纪少数几个把收敛级数和发散级数分开的数学家之一 并且他还提出了一种判别级数绝对收敛的方法 达朗贝尔判别法 即现在还使用的比值判别法 他同时是三角级数理论的奠基人 达朗贝尔为偏微分方程的出现也做出了巨大的贡献 1746年他发表了论文 张紧的弦振动是形成的曲线研究 在这篇论文里 他首先提出了波动方程 并于1750年证明了它们的函数关系 1763年 他进一步讨论了不均匀弦的振动 提出了广义的波动方程 另外 达朗贝尔在复数的性质 概率论等方面也都有所研究 而且他还很早就证明了代数基本定理 达朗贝尔在数学领域的各个方面都有所建树 但他并没有严密和系统的进行深入的研究 他甚至曾相信数学知识快穷尽了 但无论如何 十九世纪数学的迅速发展是建立在他们那一代科学家的研究基础之上的 达朗贝尔为推动数学的发展做出了重要的贡献 达朗贝尔认为力学应该是数学家的主要兴趣 所以他一生对力学也作了大量研究 达朗贝尔是十八世纪为牛顿力学体系的建立作出卓越贡献的科学家之一 动力学 是达朗贝尔最伟大的物理学著作 在这部书里 他提出了三大运动定律 第一运动定律是给出几何证明的惯性定律 第二定律是力的分析的平行四边形法则的数学证明 第三定律是用动量守恒来表示的平衡定律 书中还提出了达朗贝尔原理 它与牛顿第二定律相似 但它的发展在于可以把动力学问题转化为静力学问题处理 还可以用平面静力的方法分析刚体的平面运动 这一原理使一些力学问题的分析简单化 而且为分析力学的创立打下了基础 牛顿是最早开始系统研究流体力学的科学家 但达朗贝尔则为流体力学成为一门学科打下了基础 1752年 达朗贝尔第一次用微分方程表示场 同时提出了著名的达朗贝尔原理 流体力学的一个原理 虽然这一原理存在一些问题 但是达朗贝尔第一次提出了流体速度和加速度分量的概念 达朗贝尔在力学和数学方面的研究推动了他对天文学的研究 他运用他的力学的知识为天文学领域做出了重要贡献 十八世纪 牛顿运动理论已经不能完善的解释月球的运动原理了 达朗贝尔开始涉足这一领域 在当时 达朗贝尔和另一个科学家克莱洛是学术上的竞争对手 他们在写论文 作报告等工作中相互竞争多年 在研究月球运动时 达朗贝尔和克莱洛在同一天提交了关于月球运动的报告 他们都对月球近地点移动的现象做出了解释 并在1749年提交了更详细的报告 1754年 他们又都发表了月球运动数值表 这是最早的月球历之一 达朗贝尔在天文学上的另一个主要研究是关于地球形状和自传的理论 达朗贝尔发现了流体自转时平衡形式的一般结果 克莱洛以此为基础研究了地球的自转 1749年 达朗贝尔发表了关于春分点 岁差和章动的论文 为天体力学的形成和发展做出了奠定了基础 达朗贝尔对青年科学家十分热情 他非常支持青年科学家研究工作 也愿意在事业上帮助他们 他曾推荐著名科学家拉格朗日到普鲁士科学院工作 推荐著名科学家拉普拉斯到巴黎科学院工作 达朗贝尔自己也经常与青年科学家进行学术讨论 从中发现并引导他们的科学思想发展 在十八世纪的法国 让 达朗贝尔不仅灿烂了科学事业的今天 也照亮了科学事业的明天 42 拉格朗日 Lagrange 方程 主动力 虚位移 广义坐标 第i个质点的位矢 43 一 拉格朗日关系式的推导 坐标间相互独立 唯在qk方向上积分不为零 44 对任意一个广义坐标qj求偏导数 如果将位矢对任意一个广义坐标qj求偏导数 再对时间求导数 则得到 第二个拉格朗日关系式 45 二 拉格朗日方程的推导 46 47 48 49 50 3 保守体系的拉格朗日方程 将上式代入理想完整系的拉格朗日方程式 得 2 17 想一想 2 17 式的成立 适用条件是什么 主动力都是保守力 为拉格朗日函数 是表征体系约束运动状态和相互作用等性质的特征函数 51 一般情况 广义动量 拉氏力 主动力 即 广义坐标下的动量定理 广义动量的时间变化率等于广义力 主动力 拉氏力 拉格朗日方程的一般形式 4 如果 广义力有广义势 同样可得上式 习题20 52 称为广义动量 可以是线动量 角动量 3 讨论 1 推导思路 2 L中的 相互独立 在作 运算时 其它变量是瞬时 冻结 了的约束条件所允许的 与t无关的任意广义坐标 如虚位移的概念 但由拉氏方程表示的是实际质点的运动 实位移是虚位移中的一个 因而解出的是t的函数 是的时间变化率 ref 粱P 83 53 分析力学的优点 与牛顿力学比较 7 L 方程也可以从哈密顿原理导出 中不包含约束反力 可用 求 分析力学特点优点 缺点 L T V 是力学体系的一个特性函数 表征系统的约束 运动状态 相互作用等性质 54 承认前者导出后者比承认后者导出前者更简洁 更富有概括性 故称为力学的普遍原理 8 分析力学的普遍原理 考虑非理想约束情况 达朗伯 拉格朗日方程表述为 主动力 非理想约束力和惯性力的虚功之和为零 牛顿定律 55 5 对拉格朗日方程的评价 拉氏方程的特点 优点 是一个二阶微分方程组 方程个数与体系的自由度相同 形式简洁 结构紧凑 而且无论选取什么参数作广义坐标 方程形式不变 方程中不出现约束反力 因而在建立体系的方程时 只需分析已知的主动力 不必考虑未知的约束反力 体系越复杂 约束条件越多 自由度越少 方程个数也越少 问题也就越简单 拉氏方程是从能量的角度来描述动力学规律的 能量是整个物理学的基本物理量而且是标量 因此拉氏方程为把力学规律推广到其他物理学领域开辟了可能性 成为力学与其他物理学分支相联系的桥梁 拉氏方程的价值 拉氏方程在理论上 方法上 形式上和应用上用高度统一的规律 描述了力学系统的动力学规律 为解决体系的动力学问题提供了统一的程序化的方法 不仅在力学范畴有重要的理论意义和实用价值 而且为研究近代物理学提供了必要的物理思想和数学技巧 56 对于只具有完整约束 自由度为N的系统 可以得到由N个拉格朗日方程组成的方程组 应用拉格朗日方程 一般应遵循以下步骤 首先 要判断约束性质是否完整 主动力是否有势 决定采用哪一种形式的拉格朗日方程 其次 要确定系统的自由度 选择合适的广义坐标 按照所选择的广义坐标 写出系统的动能 势能或广义力 将动能或拉格朗日函数 广义力代入拉格朗日方程 拉格朗日方程的应用 57 例题1 已知 m1 m2 R 摩擦系数f F求 板的加速度 解 1 系统具有二个自由度 取x 为其广义坐标 2 计算系统的动能 其中 3 计算广义力 1 令 2 令 58 4 应用拉格朗日方程 解得 59 例题2 质量为m 长度为l的均质杆AB可以绕A端的铰链在平面内转动 A端的小圆轮与刚度系数为k的弹簧相连 并可在滑槽内上下滑动 弹簧的原长为l0 求 系统的运动微分方程 k 解 1 系统的约束为完整约束 主动力为有势力 2 系统具有两个自由度 广义坐标选择为q x x坐标的原点取在弹簧原长的下方 60 3 计算系统的动能 不计弹簧的质量 系统的动能即为AB杆的动能 速度vC的确定 系统的势能由弹簧势能与重力势能所组成 以O点为共同的势能零点 61 拉格朗日函数 4 应用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程 62 63 64 解 1 系统的约束为完整约束 主动力为有势力 2 系统具有两个自由度 广义坐标选择为q x x坐标的原点取在弹簧原长处 65 3 计算系统的动能 速度vC的确定 系统的势能由弹簧势能与重力势能所组成 纯滚条件 重力势能y 0为零势面 66 拉格朗日函数 4 应用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程 67 68 69 解 1 系统的约束为完整约束 主动力为有势力 2 系统具有两个自由度 广义坐标选择为q 70 3 计算系统的动能 由运动学可知 建立随质心O1平动的坐标系O1x1y1 纯滚条件 71 3 计算系统的动能 系统的势能 72 拉格朗日函数 4 应用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程 73 74 75 解 1 求运动规律 体系的自由度为1 以r为广义坐标 拉格朗日函数为 1 例1 转动杆上质点的运动 76 上式为二阶线性常系数非齐次微分方程 设 3 是 2 式的一个特解 将 3 式对t求二次导数 得 4 77 代入 6 式 得质点的运动规律 7 2 求约束反力 9 式代入 8 式得约束反力 78 例2 平面上的约束质点的运动 教材P 45 例4 解 1 求体系质点的L函数 运动方程及其解 质点的自由度为1 选取图中的 角为广义坐标 则 79 2 80 由 3 式有 81 2 18 2 18 和 2 19 式即是体系的拉格朗日平衡方程 2 5拉格朗日方程对平衡问题的应用 82 例3 求体系的平衡位置 教材 P 46 例1 解 体系自由度 2 广义坐标 83 所以 例4 求体系平衡时所受的力 教材 P 48 例3 解 本题要求的是体系平衡时杆AO和BO所受的约束力 由于拉氏方程不出现约束 力 故不能直接应用拉氏方程求约束力 但如果去掉约束条件 增加一个自由度 把相应的约束力当作主动力 则仍可应用拉氏方程求解约束力 84 如图2 6所示 体系自由度为1 广义坐标为 广义力 85 例5 带电粒子在电磁场中的拉氏函数 教材 2 5 解 1 带电粒子在电磁场中拉氏函数的一般式 86 1 的形式 式中函数 2 因此 仍可得到保守系的拉氏方程 4 根据电磁理论可以导出带电粒子在电磁场中的广义势和拉氏函数分别为 为电磁场的标势 87 2 本例中相应的矢势和标势为 拉氏函数 7 8 88 7 8 9 式即为粒子的运动微分方程 9 89 2 4对称性和守恒定律 2 4 1运动积分 拉格朗日方程是S个二阶常微分方程组 在某些特殊条件下方程的部分第一积分 运动积分 很容易求得 于是得到一个运动积分 2 20 90 讨论 如有心力场中 循环积分为 角动量守恒 1 一个循环坐标 可遗坐标 一个循环积分 初积分 一个物理守恒量 重力场中 x y为循环坐标 分量守恒 角度 为线动量 为力 为角动量 为力矩 91 齐次函数的欧勒定理 2 广义能量积分 证明 两边对c求导 其中恒满足 令c 1 即得 92 或 体系的动能 93 其中 94 所以 2 22 齐次函数的欧拉定理 能量积分 95 96 由能量积分得 因L函数不显含 故 为循环坐标 系统存在循环积分 97 98 2 4 2对称性与守恒量的关系 99 运动积分有二类 一类具有可加性 另一类不具有可加性 具有可加性的运动积分称为守恒量 具有可加性的运动积分的不变性和时空的基本性质 时空对称性 即时空的均匀性和各向同性 相联系 100 2 27 由于坐标轴原点和方向的任意选取不引起时间的变化 t 0 所以 101 1 空间均匀性导致动量守恒 2 空间各向同性导致角动量守恒 则L函数改变 102 可见 3 时间均匀性导致能量守恒 103 结论 一个对称性对应一个守恒律 104 对称现象举例 105 106 107 108 109 分析力学基础 拉氏第二类方程 拉格朗日函数 例 例 EXIT 水平面上一斜面B1上有一滑块B2 质量分别为m1与m2 斜面倾角为q 1 设初始时B2在B1的顶点 两物体均无速度求当滑块B2下滑离开斜面时 落差为h 求B1的速度与B2相对斜面的速度 2 如果斜面B1在力的作用下以匀速v向右运动 求滑块B2脱离斜面时 它相对斜面的速度 110 分析力学基础 拉氏第二类方程 拉格朗日函数 解 解 1 EXIT 惯性基 B1的连体基 两个自由度 O1绝对坐标 斜面速度 平动 C2相对坐标 滑块速度 广义坐标 111 分析力学基础 拉氏第二类方程 拉格朗日函数 解 EXIT 惯性基 B1的连体基 两个自由度 O1绝对坐标 C2相对坐标 B1作水平平动 B2质心垂直方向的位移 初始位置为零势面 系统势能 势能 112 分析力学基础 拉氏第二类方程 拉格朗日函数 解 EXIT 惯性基 B1的连体基 两个自由度 O1绝对坐标 C2相对坐标 x1为循环坐标 循环积分 能量积分 定常约束 找初积分 113 分析力学基础 拉氏第二类方程 拉格朗日函数 解 EXIT t 0 初积分方程 定常数 降阶的动力学方程 114 分析力学基础 拉氏第二类方程 拉格朗日函数 解 EXIT 滑块离开斜面 滑块相对斜面的速度 斜面的速度 115 分析力学基础 拉氏第二类方程 拉格朗日函数 解 解 2 EXIT 惯性基 B1的连体基 广义坐标 C2相对坐标 滑块速度 斜面B1以匀速v向右运动 已知 系统的自由度为1 系统势能 系统动能 对象滑块 116 分析力学基础 拉氏第二类方程 拉格朗日函数 解 EXIT 惯性基 B1的连体基 广义坐标 C2相对坐标 广义能量积分 找初积分 117 分析力学基础 拉氏第二类方程 拉格朗日函数 解 EXIT 惯性基 B1的连体基 广义坐标 C2相对坐标 t 0 滑块离开斜面 滑块相对斜面的速度 定常数 降阶的动力学方程 118 2 5解题指导 拉格朗日方程是处理力学体系特别是约束体系动力学问题的主要理论和有效工具之一 通常是应用拉氏方程建立体系的动力学方程 1 用拉氏方程解题的步骤 分析体系的约束类型和主动力性质 判定是否符合L方程的条件 判定体系的自由度 选取适当的广义坐标 写出体系的动能T 势能V和拉氏函数L 并将L表成 和t函数 将L代入拉氏方程 得出体系的运动微分方程 解方程并讨论 119 在半径为R的光滑圆环上穿有一质量为m的小球 圆环以恒定角速度 绕竖直直径转动 求小球的运动微分方程 2 范例 例1 质点在旋转圆环上运动 解 小球在随圆环转动坐标系中自由度为1 以 为广义坐标 其动能和势能为 L函数 势能以O为零势能位置 120 代入L方程 得运动微分方程为 例2 移动的摆杆 如图2 9所示 均质杆AB长为b 质量为m 光滑斜面的倾角为 滚轮A的质量忽略不计 试用拉氏方程建立系统的运动微分方程 解 自由度 2 选取广义坐标x 121 动能 势能 O为零势能位置 L函数 代入拉氏方程 得 122 例 EXIT 一双质点摆 摆球P1与P2的质量分别为m1与m2 摆长分别为l1与l2 试利用拉格朗日第二类方程建立该双质点摆的动力学方程 123 解 EXIT 惯性基 广义坐标 自由度为2 导数 动能 摆球坐标 124 EXIT 125 EXIT 主动力广义力 126 EXIT 双质点摆的动力学方程 127 例3 约束单摆的运动 如图2 10所示 摆长为L质量为m1的单摆可在竖直平面内摆动 另一质量为m2小球置于半径为R的半圆形底座上 并套在单摆的OA杆上 可沿OA自由滑动 假设m1和m2可视为质点 OA杆的质量及一切摩擦忽略不计 求单摆的运动微分方程及微振动周期 如图 有 势能 O为零势能位置 解 体系的自由度为1 广义坐标选为 128 微振动时 上式简化为 或 129 上式即所求的体系微振动微分方程 式中 为圆频率 微振动周期为 130 分析力学基础 拉氏第二类方程 拉格朗日函数 例 例 EXIT 一单摆B2 不计 的支点固定在一可沿光滑的水平直线轨道平行移动的滑块B1上 利用拉格朗日第二类方程建立系统的动力学方程 且分析系统的运动 131 分析力学基础 拉氏第二类方程 拉格朗日函数 解 解 EXIT 惯性基 滑块连体基 广义坐标 滑块速度 二自由度 动能 摆的速度 动点C2的速度 132 分析力学基础 拉氏第二类方程 拉格朗日函数 解 EXIT 惯性基 广义坐标 主动力为有势力 以y 0为零势面 拉格朗日函数 系统的势能 133 分析力学基础 拉氏第二类方程 拉格朗日函数 解 EXIT 惯性基 广义坐标 拉格朗日函数 134 分析力学基础 拉氏第二类方程 拉格朗日函数 解 EXIT 运动分析1 摆球 微振动的情况 令 为小量 摆作微振动的周期为 线性化 135 分析力学基础 拉氏第二类方程 拉格朗日函数 解 EXIT 运动分析2 滑块 系统动量px守恒 令系统初始时 B1与B2的速度为零 136 分析力学基础 拉氏第二类方程 拉格朗日函数 解 EXIT 讨论1 摆球质心的水平位置 系统质心的水平位置 令系统初始时 B1与B2的速度为零 系统在运动的过程中系统质心的水平位置保持不变 滑块质心的水平位置 137 分析力学基础 拉氏第二类方程