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文档简介
_专题:旋转相似模型:手拉手相似模型,旋转相似成双对。条件:CDAB(本质即为OCDOAB),将OCD绕点O旋转到图1和图2的位置。结论:、OCDOAB OACOBD。即连接对应点所得的一对新三角形相似。 、延长AC交BD于点E,则AEB=BOA(用蝴蝶形图证明)(能得到点A、O、E、B四点共圆)模型特例:共直角顶点的直角三角形相似当AOB=COD=90时,除 、OCDOAB OACOBD 、延长AC交BD于点E,则AEB=BOA=90(用蝴蝶形图证明)外,还有结论 、 、因为ACBD于点E,那么,若连AD、BC,则四边形ABCD对角线互相垂直,则 例题讲解例1.已知ABC与DEF都是等腰三角形,AB、EF的中点均为O,且顶角ACB=EDF.(1)如图1,若ACB=900,探究BF与CD间的数量关系;(2)如图2,若tanACB=,求的值;(3)如图3,若ABC中AC=BC=a ,将DEF绕点O旋转,设直线CD与直线BF交于点H,则最大值为_(用含a的式子表示)。 分析: (1)连OC,OD,OBF OCD,BF=CD (2)构造手拉手旋转相似。可证OBC OFD, ODC OFB=tan问题转化为已知tanACB=,求tan的问题,必须熟悉等腰三角形中有关三角函数值的常见处理方法。由右图提示可得tan=; (3)由(2)OBC OFD, ODC OFB,蝴蝶形图易得CHB=COB=90;又BC=a ,定边定角,点H在以BC为直径的圆上,易求例2.如图,已知在正方形ABCD和正方形BEFG中,求证:AGCE;求的值分析:如图2,证,AG=CE 如图2,连接BD,BF,DF,易证, 变式:如图3,正方形ABCD和EFGH中,O为BC,EF中点(1)求证:AH=DG;(2)求的值。分析:(1)连接 易证: AEDBC例3.如图,ACBDCE90,ABCCEDCAE30,AC3,AE8,求AD的长。分析:连接BE,由基本图形易得可证ACDBCE,AD BE,BAE90在RtABE作,由勾股定理求得BE10AEDBC则AD 练习1.如图,点A是DBC内一点,求BD得长。分析:构造旋转相似,由基本图形可得出以下几种方法,求出BD=10.练习2如图,在ABC中,ACB90,BC2AC,F、G分别为AC、BC的中点,将CFG绕点C顺时针旋转,直线AF与直线BG交于点I.(1) 求证:AFBG;(2) 当旋转角小于90时,求的值;(3) 若AC4,直接写出ACI面积的最大值_. 分析:(3)需分析出I点轨迹,由A、C、I、B四点共圆可得AIC=ABC,又AC=4,定边定角得I轨迹为圆弧。练习3将等腰RtABC和等腰RtADE按图1方式放置,A90,AD边与AB边重合,AB2AD4将ADE绕点A逆时针旋转(旋转角不超过180),BD的延长线交直线CE于点P(1)如图2,BD与CE的数量关系是_,位置关系是_;(2)在旋转的过程中,当ADBD时,求CP的长;(3)当点D落在BA的延长线上时,求点P所经过的路径的长AEDBCAEBC图1图2DADBCEP分析:(1)BDCE BDCE(2)BDCE,ADBD,ADPDPE90又DAE90,ADAE,四边形ADPE为正方形AB2AD4,PEAD2CEBD2CP22(3)取BC中点O,连接OA、OP在旋转过程中,BDCE,BPC90AEBCDOPOP BC2点P的运动路径是以O为圆心、半径为2的一段圆弧即ABC外接圆的一部分则AOP2ABP易知点D在以A为圆心、半径为2的半圆上运动当BP与半圆A相切于点D时,ABP最大,从而AOP最大AD AB,ABP30,AOP60即当ADE从初始位置旋转60时,点P沿圆弧从A点运动到AOP60当ADE继续旋转,直至点D落在BA的延长线上时,A
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