还原问题知识讲解及练习.doc

还原问题知识讲解及练习（含答案）已知一个数，经过某些运算之后，得到了一个新数，求原来的数是多少的应用问题，它的解法常常是以新数为基础，按运算顺序倒推回去，解出原数，这种方法叫做逆推法或还原法，这种问题就是还原问题。还原问题又叫做逆推运算问题.解这类问题利用加减互为逆运算和乘除互为逆运算的道理，根据题意的叙述顺序由后向前逆推计算.在计算过程中采用相反的运算，逐步逆推。在解题过程中注意两个相反：一是运算次序与原来相反；二是运算方法与原来相反。板块一、单个变量的还原问题【例 1】 某数先加上3，再乘以3，然后除以2，最后减去2，结果是10，问：原数是多少？【解析】 分析时可以从最后的结果是10逐步倒着推。这个数没减去2时应该是多少？没除以2时应该是多少？没乘以3时应该是多少？没加上3时应该是多少？这样依次逆推，就可以推出某数。如果没减去2，此数是： 如果没除以2，此数是：如果没乘以3，此数是：如果没加上3，此数是：综合算式 【巩固】 1、(2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛)有一个数，如果用它加上，然后乘以，再减去，最后除以，所得的商还是，那么这个数是 。【巩固】 2、一个数减16加上24，再除以7得36，求这个数你知道这个数是几吗?【巩固】 3、少先队员采集树种子，采得的个数是一个有趣的数把这个数除以5，再减去25，还剩25，你算一算，共采集了多少个树种子?【例 2】 牛老师带着37名同学到野外春游休息时，小强问：“牛老师您今年多少岁啦?”牛老师有趣地回答：“我的年龄乘以2，减去16后，再除以2，加上8，结果恰好是我们今天参加活动的总人数”小朋友们，你知道牛老师今年多少岁吗?【解析】 采用倒推法，我们可以从最后的结果“参加活动的总人数”即38倒着往前推这个数没加上8时应是多少？没除以2时应是多少？ 没减去16时应是多少？没乘以2时应是多少？这样依次逆推，就可以求出牛老师今年的岁数没加上8时应是：；没除以2时应是：；没减去16时应是：；没乘以2时应是：，即(岁).【巩固】 1、小智问小康：“你今年几岁？”小康回答说：“用我的年龄数减去8，乘以7，加上6，除以5，正好等于4. 请你算一算，我今年几岁？” 【巩固】2、学学做了这样一道题：某数加上10，乘以10，减去10，除以10，其结果等于10，求这个数根据题意，一个数，经过加法、乘法、减法、除法的变化，得到结果10，应用逆推法，由结果10，根据加、减法与乘、除法的互逆运算，倒着往前计算，解这种还原问题的关键是从最后结果出发，逐步向前一步一步推理，每一步运算都是原来运算的逆运算，即变加为减，变减为加，变乘为除，变除为乘列式时还要注意运算顺序，正确使用括号，这种逆向思维的方法是数学中常用的思维方法综合算式为： 【巩固】 3、学学做了这样一道题：一个数加上3，减去5，乘以4，除以6得16，求这个数小朋友，你知道答案吗？【解析】 根据题意，一个数，经过加法、减法、乘法、除法的变化，得到结果16，应用逆推法，由结果10，根据加、减法与乘、除法的互逆运算，倒着往前计算综合算式为： 【例 3】 一次数学竞赛颁奖会上，小刚问老师：“我得了多少分？”老师说：“你的得分减去后，缩小倍，再加上后，扩大倍，恰好是分”小刚这次竞赛得了多少分？【解析】 从最后一个条件“恰好是分”向前推算扩大倍是分，没有扩大倍之前应是 (分)，加上后是分，没有加上前应是(分)，缩小倍是分，那么没有缩小倍前应是(分)，减去后是分，没有减去前应是(分)综合列式为：(分)【巩固】1、在小新爷爷今年的年龄数减去15后,除以4,再减去6之后,乘以10,恰好是100,问:小新爷爷今年多少岁数?【巩固】 2、学学和思思在游玩时，遇到一位小神仙，他们问这位神仙：“你一定不到100岁吧！”谁知这位神仙摇摇头说：“你们算算吧！把我的年龄加上75，再除以5，然后减去15，再乘以10，恰好是2000岁”小朋友，你知道这位神仙现在有多少岁吗？【例 4】 哪吒是个小马虎，他在做一道减法题时，把被减数十位上的6错写成9，减数个位上的9错写成6，最后所得的差是577，那么这道题的正确答案应该是多少呢？【解析】 被减数十位上的6变成9，使被减数增加，差也增加了30；减数个位上的9错写成6，使减数减少了，这样又使差增加了3，这道题可以说成：正确的差加上30后又加上3得577，求正确差所以列式得： 【巩固】 1、小马虎在做一道加法题时，把一个加数个位上的看作，十位上的看作，结果和是，那么正确的结果应该是多少呢？【巩固】 2、淘气在做一道减法时，把减数个位上的9看成了3，把十位上的4看成了7，得到的结果是164，请你帮淘气算算正确的答案应该是多少呢?.【巩固】 3、小新在做一道加法题，由于粗心，将个位上的5看作9，把十位上的8看作3，结果所得的和是123正确的答案是多少？【例 5】 三只猴子分一堆桃，大猴子先拿了这堆桃的一半少1个；第二只猴子拿了余下的桃子的一半多1个；小猴子分得余下的8个桃，桃子就被全分完了。问，这堆桃子共多少个？【分析与解】此题条件较复杂，我们可以通过画图进行分析，你能从图中发现哪个部分是大猴子拿的桃子吗？其实解决这类问题我们关键是要找到“一半”所对应的数量，从最后进行推算。剩下的一半：81=9（个）； 剩下多少个：92=18（个）一半是多少个：181=17（个）； 一共有多少个桃子：172=34（个）算式：（8+1）212说明：多拿、多吃、多做、多用. 在还原问题算式中表现为“+”；少拿、少吃、少做、少用在还原问题算式中表现为“-” 。 【巩固】1、学学看到太上老君正在用一根绳子拴宝葫芦，第一次用去全长的一半还多2米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后还剩9米，那么这根绳子原来有多少米呢？【解析】 根据题意，画图倒推分析：(米)(米)(米) 综合算式：【巩固】 2、一捆电线，第一次用去全长的一半多3米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后还剩7米。这捆电线原来有多少米？【解析】可依照题意画出右图。从线段图上可以看出：余下的一半第一次用去的3米图210米第二次用去的全长的一半7米第三次用去的15米全长？米【巩固】 3、甲在加工一堆零件，第一天加工了这堆零件的一半又10个，第二天又加工了剩下的一半又10个，还剩下25个没有加工，问：这批零件有多少个？【解析】 如右图所示，按照图与题目的条件，剩下的一半图3零件的一半10个10个？25个列综合算式： 【例 6】 货场原有煤若干吨。第一次运出原有煤的一半，第二次运进450吨，第三次又运出现有煤的一半又50吨，结果剩余煤的2倍是1200吨。货场原有煤多少吨？第二次运进450吨现有煤的一半第一次用去原有煤的一半图41倍第三次运出的原有煤？吨1200吨2倍50吨结合上面的线段图，用倒推法进行分析，题中的数量关系就可以跃然纸上，使学生们一目了然。根据“剩余煤的2倍是1200吨”，就可以求剩余煤的吨数；根据“第三次运出现有煤的一半又50吨”和剩余煤的吨数，就可以求出现有煤的一半是多少吨，进而可求出现有煤的吨数；用现有煤的吨数减去第二次运进的450吨，就可以求出原有煤的一半是多少，最后再求出原有煤多少吨。（1）剩余煤的吨数是：（吨）（2）现有煤的一半是：（吨）（3）现有煤的吨数是：（吨）（4）原有煤的一半是：（吨）（5）原有煤的吨数是：（吨）算式：（600+50）2 - 4502【巩固】1、食堂买进一批大米，第一天吃了全部的一半少千克，第二天吃了余下的一半少千克，最后剩下千克这批大米共有多少千克？【巩固】 2、山顶上有棵桃数，一只猴子偷吃桃子，第一天偷吃了总数的一半多2个，第二天又偷吃了剩下的一半多2个，这时还剩1个，问：树上原来有多少个桃子？【巩固】 3、修建一条下水道，第一周修了全长的一半多米，第二周修了剩下的一半少米，第三周修了米，最后还剩米，这条下水道长多少米？【解析】 如下图，从图中可知是第一周修后余下的一半，米是下水道全长的一半【例 7】 小丽用4元买了一本童话大王，又用剩下的钱的一半买了一本儿童时代，买钢笔又用去第二次剩下的钱的一半多1元，最后还剩4元，问：小丽原有多少钱？4元第一次剩下的一半？第二次剩下的一半1元4元【解析】 用倒推法，第二次剩下的一半是（元），第二次剩下（元），第一次剩下（元），原来有（元）。列综合算式：【巩固】 1、有一筐苹果，甲取出一半又1个；乙取出余下的一半又1个；丙取出再余下的一半又1个，这时筐里只剩下1个苹果。这筐苹果共值6元6角，问每个苹果平均值多少钱？甲取出的余下的一半一半再余下的一半乙取出的1个1个1个1个丙取出的【例 8】 (2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛)工程队要修一条小路，第一天修了全长的一半多米，第二天修了余下的一半少米，第三天修了米，此时还剩下米没有修，则这条小路长 米。【分析】 如图所示，先根据线段图理清数量关系，可得全长为： （米）。【巩固】 1、一个人沿着公园马路走了全长的一半后，又走了剩下路程的一半，还剩下1千米，问：公园马路全长多少千米？【解析】 如图，剩下的一半全长的一半？1千米【例 9】 思思看到织女在织布，她把一段五彩布第一次剪去一半，第二次又剪去余下的一半，这时还剩下8米，你知道这段五彩布原来长多少米吗？【解析】 根据题意，画出线段图，倒推分析 (米) (米)算式：822【巩固】 1、一群蚂蚁搬家，原存一堆食物第一天运出总数的一半少12克第二天运出剩下的一半少12克，结果窝里还剩下43克问蚂蚁家原有食物多少克?【解析】 采用倒推法，教师可画线段图帮助学生理解.如果第二天再多运出12克，就是剩下的一半，所以第一天运出后，剩下的一半重量是(克)；这样，第一天运出后剩下的重(克).那么同理，一半的重量是(克)，原有食物(克).即【巩固】 2、一捆电线，第一次用去全长的一半多3米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后还剩7米，这捆电线原有多少米？【巩固】 3、修建一条下水道，第一周修了全长的一半多米，第二周修了剩下的一半少米，第三周修了米，最后还剩米，这条下水道长多少米？【解析】 如下图，从图中可知是第一周修后余下的一半，米是下水道全长的一半【例 10】 桃园里来了第一群猴子，吃去桃子总数的一半又半个；第二群猴子又来吃掉剩下桃子的一半又半个；第三群猴子又来吃掉剩下桃子数的一半又半个.这时桃园里还只有100个桃了.那么园中原有多少桃？【解析】 第三群猴没吃，相应有桃 (个)第二群猴没吃，相应有桃 (个)第一群猴没吃，相应有桃(即桃园中原有桃) (个) 算式：（100+0.5）2+0.52+0.52 【巩固】 1、山顶上有棵桃数，一只猴子偷吃桃子，第一天偷吃了总数的一半多2个，第二天又偷吃了剩下的一半多2个，这时还剩1个，问：树上原来有多少个桃子？【例 11】 刚打完篮球，冬冬觉得非常渴，就拿起一大瓶矿泉水狂喝他第一口就喝了整瓶水的一半，第二口又喝了剩下的，第三口则喝了剩下的，第四口再喝剩下的，第五口喝了剩下的此时瓶子里还剩0.5升矿泉水，那么最开始瓶子里有几升矿泉水？【解析】 最开始瓶子里有矿泉水：0.5（1-）（1-）（1-）（1-）（1-1/2）即（升）【巩固】 1、有一堆棋子，把它四等分后剩下一枚，取走三份又一枚；剩下的再四等分又剩一枚，再取走三份又一枚；剩下的再四等分又剩一枚，每份一枚.问：原来至少有多少枚棋子？【详解】 棋子最少的情况是最后一次四等分时每份为1枚.由此逆推，得到第三次分之前有(枚)，第二次分之前有(枚)，第一次分之前有(枚).【巩固】 2、有一堆棋子，把它四等分后剩下一枚，取走三份又一枚；剩下的再四等分又剩一枚，再取走三份又一枚；剩下的再四等分又剩一枚，每份两枚.问：原来至少有多少枚棋子？板块二、多个变量的还原问题【例 12】 三人有不等的存款，只知如果甲给乙40元，乙再给丙30元，丙再给甲20元，给乙70元，这样三人各有240元，三人原来各有存款多少元？【解析】 甲：（元）；乙：（元）；丙：【巩固】1、小巧、小亚、小红共有个玻璃球，小巧给小亚个，小亚给小红个，小红给小巧个，他们的玻璃球个数正好相等小巧、小亚、小红原来各有多少个玻璃球？【巩固】2、三棵树上共有36只鸟，有4只鸟从第一棵树上飞到第二棵树上，有8只鸟从第二棵树上飞到第三棵树上，有10只鸟从第三棵树上飞到第一棵树上，这时，三棵树上的鸟同样多原来每棵树上各有几只鸟?【巩固】3、三棵树上共有27只鸟，从第一棵飞到第二棵2只，从第二棵飞到第三棵3只，从第三棵飞到第一棵4只，这时，三棵树上的鸟同样多原来每棵树上各有几只鸟？【巩固】4、三个笼子里共养了78只鹦鹉，如果从第1个笼子里取出8只放到第2个笼子里，再从第2个笼子里取出6只放到第3个笼子里，那么3个笼子里的鹦鹉一样多求3个笼子里原来各养了多少只鹦鹉?【巩固】5、解放军某部参加抗震救灾，从第一队抽调一半人支援第二队，抽调35人支援第三队，又抽调剩下的一半支援第四队，后来又调进8人，这时第一队还有30人，求第一队原有多少人？【例 13】 甲、乙两班各要种若干棵树，如果甲班拿出与乙班同样多的树给乙班，乙班再从现有的树中也拿出与甲班同样多的树给甲班，这时两班恰好都有28棵树，问甲、乙两班原来各有树多少棵？【解析】 如果后来乙班不给与甲班同样多的树，甲班应有树（棵），乙班有（棵），如果开始不从甲班拿出与乙班同样多的树，乙班原有树（棵），甲班原有树（棵）列表倒推如下:甲班乙班原来3521第一次后35-21=1421+14=42第二次后14+14=2842-14=28【巩固】 1、一班、二班、三班各有不同数目的图书如果一班拿出本班的一部分图书分给二班、三班，使这两个班的图书各增加一倍；然后二班也拿出一部分图书分给一班、三班，使这两个班的图书各增加一倍；接着三班也拿出一部分图书分给一班、二班，使这两个班的图书各增加一倍这时，三个班的图书数目都是48本求三个班原来各有图书多少本？【解析】 我们可采用倒推法，再结合列举法进行分析推理在每一次重新变化后，三个班的图书总数目是一个不变的数，由此，可从最后三个班的图书数目都是48本出发进行倒推，求每一次重新变化以前三个班各自的图书数目，逐步倒推出原有的图书数目依据题意可知，一班、二班的图书数目各增加一倍才是48本，因此增加前各应有24本，所以一班、二班的图书数目各应减半，还给三班其余各次，以此类推，把倒推解答的过程用下表表示： 一班 二班 三班 结果 48 48 48 第三次 第二次 第一次【巩固】 2、甲、乙、丙3人共有192张邮票从甲的邮票中取出乙那么多给乙后，再从乙的邮票中取出丙那么多给丙，最后从丙的邮票中取出甲那么多给甲，这时甲、乙、丙3人邮票数相同，甲、乙、丙原来各有多少张？【解析】 甲、乙、丙原共有192张邮票，经过三次交换后，甲乙丙三人仍有邮票192张，而且三人邮票数相同，即3人各有邮票：（张）第三次交换从丙的邮票中取出甲那么多给甲，说明这次交换前甲有邮票（张），丙有邮票：（张），依此类推，就可以推出答案了最后相等时各有（张），列表倒推如下：甲(张)乙(张)丙(张)最后646464前次再前次原来【巩固】3、有甲、乙两堆棋子，其中甲堆棋子多于乙堆现在按如下方法移动棋子：第一次从甲堆中拿出和乙堆一样多的棋子放到乙堆；第二次从乙堆中拿出和甲堆剩下的同样多的棋子放到甲堆；第三次又从甲堆中拿出和乙堆同样多的棋子放到乙堆照此移法，移动三次后，甲、乙两堆棋子数恰好都是32个问甲、乙两堆棋子原来各有多少个？甲乙结果 第三次交换前 第二次交换前 第一次交换前【巩固】4、甲、乙、丙三人各有铜板若干枚，开始甲把自己的铜板拿出一部分给乙、丙，使乙、丙的铜板数各增加了1倍；乙把自己的铜板拿出一部分给甲、丙，使甲、丙的铜板数各增加了1倍；丙把自己的铜板拿出一部分给乙、甲，使乙、甲的铜板数各增加了1倍，这时三人铜板数都是8枚，原来每人各有几枚？甲乙丙结果 第三次交换前 第二次交换前 第一次交换前【例 14】 3个探险家结伴去原始森林探险，路上觉得十分乏味就聚在一起玩牌第一局，甲输给了乙和丙，使他们每人的钱数都翻了一番第二局，甲和乙一起赢了，这样他们俩钱袋里面的钱也都翻了倍第三局，甲和丙又赢了，这样他们俩钱袋里的钱都翻了一倍结果，这3位探险家每人都赢了两局而输掉了一局，最后3人手中的钱是完全一样的细心的甲数了数他钱袋里的钱发现他自己输掉了100元你能推算出来甲、乙、丙3人刚开始各有多少钱吗？【解析】 假设最后每个人手中的钱是8份，三人总共24份，利用倒推法甲乙丙第三局后888第二局后164第一局后2814开始1347从开始到最后甲的份数少了份，说明每份是元所以刚开始时，甲有(元)，乙有(元)，丙有(元)【巩固】1、甲乙丙三人各有糖豆若干粒，甲从乙处取来一些，使自己的糖豆增加了一倍；接着乙从丙处取来一些，使自己的糖豆也增加了一倍；丙再从甲处取来一些，也使自己的糖豆增加了一倍现在三人的糖豆一样多如果开始时甲有51粒糖豆，那么乙最开始有多少粒糖豆？【解析】先假设后来三个人都是4份甲乙丙丙取后444乙取后甲取后开始【例 15】 有甲、乙、丙三个油桶，各盛油若干千克.先将甲桶油倒入乙、丙两桶，使它们各增加原有油的一倍；再将乙桶油倒入丙、甲两桶，使它们的油各增加一倍；最后按同样的规律将丙桶油倒入甲、乙两桶.这时，各桶油都是16千克.问：各桶原有油多少千克？【解析】 列表逆推如下：甲 桶乙 桶丙 桶初始状态第一次变化第二次变化第三次变化161616原来甲、乙、丙桶分别有油26，14，8千克.逆推时注意，每次变化时，有两桶各增加了一倍，逆推时应分别除以2；另一桶减少了上述两桶增加的数，逆推时应使用加法.【巩固】 1、（第四届小数报数学竞赛决赛试题）A、B、C三个油桶各盛油若干千克第一次把A桶的一部分油倒入B、C两桶，使B、C两桶内的油分别增加到原来的2倍；第二次从B桶把油倒入C、A两桶，使C、A两桶内的油分别增加到第二次倒之前桶内油的2倍；第三次从C桶把油倒入A、B两桶，使A、B两桶内的油分别增加到第三次到之前桶内油的2倍，这样，各桶的油都为16千克问A、B、C三个油桶原来各有油多少千克？【解析】 用“倒推法”列出下表ABC结果第三次倒之前第二次倒之前第一次倒之前【巩固】 2、三个容器各放一些水，第一次从第一个容器倒一些水到另两个容器，使得它们的水分别增加到原来的2倍与3倍，第二次从第二个容器倒一些水到第一个与第三个容器中，使它们的水分别增加到3倍与2倍，第三次从第三个容器中倒一些水到第一个与第二个容器中，使它们的水都增加到2倍，这时三个容器中的水都为9