金融工程与数学模型.doc

金融工程与数学模型金融工程是20世纪80年代出现的一门工程型的新兴学科，其产生发展的直接原因是20世纪70年代开始的全球金融市场汇率及利率的频繁波动。随之而来的经济全球化和金融全球化不仅给市场参与者带来了获取潜在收益的机会，同时也带来了较高的风险管理的要求。为了回避与防范市场风险乃至信用风险，金融家们创造并应用了诸多金融工具(如远期合约、金融期货、金融期权、互换等)，金融工程应运而生，并在不到三十年的时间里得到迅速发展和完善。关于金融工程的定义，普遍为大家所接受的是由约翰芬尼迪提出的，他认为“金融工程学包含创新性金融工具及金融手段的设计、开发和实施，以及对金融问题的创造性地解决.”具体说来，金融工程将工程思维引入金融领域，综合的采用各种工程技术方法(数学建模、数值计算、仿真模拟等)设计、开发和实用新型的金融产品，将现在的金融结构进行重组以获得人们所希望的结果。由于金融工程的产生和发展都是以管理金融风险为目的，因此国内有学者认为“金融工程其核心是风险管理的工程化和系统化”。面对风险，金融工程有两个选择，第一个选择是用确定性来代替风险，这就意味着既防范不利结果的出现，同时也消除有利结果出现的可能性，主要表现为运用远期、期货、互换等产品。所有这些工具都能确保使用者获得既定的金融结果。当然，这属于消除风险的范畴。例如，有一家美国公司，在3个月内将支付一笔日元，它就可以以固定的价格现在购买一笔未来3个月内交割的日元，这笔远期交易就将可能的货币风险避免了。不论在3个月内汇率如何变化，该公司已经以己知的固定价格购买了日元，从而不会受到3个月后的市场汇率高低的影响。另一种方法是消除不利风险，同时保留了有利的获利机会，主要表现为运用期权及其相关产品。这里所谓的“消除不利风险”也不是绝对地从根源上消除了风险，而是将风险转移给交易的另一方，这属于风险转移的范畴。例如，期权则可以替换掉于己不利的风险，同时保留获利的机会。从理论来源上讲，金融工程是以现代科学理论特别是系统工程理论为指导，以现代管理方法为手段的一门自然科学与社会科学交叉融合的新兴学科。它吸收了经济学、金融学和投资学的基本原理，又引进了运筹学、物理学、遗传学、工程学等多门学科的精华和必要的会计、税务知识。因此，从事金融工程研究的人员多是经济学家、数学家、物理学家、计算机专家、他们被业内称之为“火箭科学家”，而一般的研究开发人员则被称为“金融工程师”。但真正作为金融工程理论基础的还是经济学和金融学的基本原理及各种理论学说。由于金融工程最终是通过识辨和利用金融机会来创造价值的，因此，有关价值的来源、价格的确定以及金融市场特性的理论研究构成了金融工程的核心基础理论。它主要包括:估价理论、证券组合理论、资本资产定价理论、套期保值理论、期权定价理论、代理理论、期货市场创新理论等。伴随金融市场国际化相交易与监管的全球化进程，汇率决定理沦、利率理论、利息平价理论等也构成了金融工程的基本理论.对于这些理论的新发展.金融工程师应及时了解和掌握，以使自始至终地处于专门领域的理论前沿，并利用这些前沿理论创造性地开发新产品，解决金融实际问题。金融工程学需要对具体的金融问题提供创造性的结构化解决方案，实际上也就是为具体问题提供一个最优或可行解，这就需要建立一些复杂的数学模型并提供精确快速的计算方法。从目前发展的趋势来看，金融工程的理论与实务中已经使用到了现代数学大部分分支的内容与方法。在说收益和风险规避中数学模型发挥了重要作用。如一单个资产的收益和风险1期望收益(expected return)对于风险资产而言，其未来的收益是一个随机变量。在不同的经济条件下，这个随机变量将取不同的值，而每一种经济条件的出现都有其概率。把资产收益的不同取值乘以不同经济条件出现的概率，就能够对该资产未来的收益做出估计。用公式表示为：式中，为该资产收益的第状态的取值；为资产收益取值的概率；为该资产的期望收益。2收益的方差(Variance)在数学上，方差反映的是一个随机变量对于其数学期望的偏离程度。同时，由于我们把投资的风险定义为投资收益偏离预期收益的潜在可能性，因此我们可以用预期收益的方差来作为衡量风险的标准。用公式表示为：即：方差或者标准差的数值越大就表示投资收益偏离预期收益的幅度越大，也就意味着投资的风险越大。二投资组合的风险与收益1投资组合的构成资产组合就是由几种资产构成的组合。投资者可以按照各种比率（或者称为比重或权重）将其财富分散投资于各种资产上，假设投资者选择投在种资产上的比重为、，则有如下限制条件：s. t. ,其中：=投资组合所包括的资产种类的数量=某种特定的资产=分配给第种资产的比重2投资组合的收益投资组合的收益率取决于两个因素：各种资产的类别；各种资产的投资比率。投资组合的期望收益率记作，其大小等于投资组合中各种资产的平均收益率与各自的投资比重的乘积之和，即：其中：=投资组合所包括的资产种类的数量=第种资产的期望收益率=分配给第种资产的比重3投资组合的风险按照方差的定义，投资组合的方差可以按照下面的方法算出。即：三资产的相关关系和投资组合的风险规避1资产的相关关系(dependency relationship)随机向量的协方差(covariance)协方差的定义：设为二维随机向量，均存在，如果存在，则称其为随机变量与的协方差，记作，即：相关系数(coefficient of correlation)相关系数的定义为：设是一个二维随机向量，和的方差均存在，且均为正，则称为与之间的相关系数。用协方差形式表示的投资组合的风险如果将资产和资产之间的协方差记为，则投资组合的方差也可以表示为：进一步的投资组合的方差的公式也可以写成：用矩阵的形式表示的投资组合的风险：设有种证券其收益为 ，为随机变量，以向量的形式可表示为：其数学期望和方差（协方差矩阵）分别为：设投资组合投资于第种证券的比例为 ,用向量表示就是：根据前面的假设，由于约束条件为，因此上式也可以写成下述向量的形式：某一投资组合的期望收益就是该组合中所有证券期望收益的加权平均。其数学表达式为：投资组合的方差为：2分散投资、资产相关性和风险的规避我们已知投资组合的方差可以表示为：当投资者对每种资产进行等额投资时，也就是，将其带入上式，则有：（1）如果将协方差的平均值记为：那么，可以把（1）式进一步简化为：（2）当资产组合充分多元化时，也就是时，对（2）式求极限可得（当然假设各证券收益的方差有界）；（3） 当资本市场上的资产不是处于完全不相关状态时（这也是资本市场上的一般情况），不全成立，因而不一定成立。由此我们可以得出重要的结论：当投资组合中包含有很多风险资产时，对于整个组合的风险而言，个别资产的风险（）将不再起作用，而各资产之间的协方差虽然存在着正负相抵的可能，但并不能完全消除。 进一步，如果资产组合中的资产两两不相关，此时，投资组合的风险通过分散化投资可以完全消除。但是这种情况在现实生活中不可能出现，因为资本市场上的资产价格不可避免地会受到某个共同因素的影响，不可能表现为完全不相关的情况。 现在我们来考虑资本市场上的一般情况，即资产不是处于完全不相关时的情况。由（3）式我们知道充分的分散化能够消除资产组合的部分风险，但不能消除组合的全部风险。可以消除的那部分风险称为非系统性风险(unsystematic risk)，也就是（2）中的第一项；不能够完全消除的那部分风险称为系统性风险(systematic risk)，也就是（2）式中的第二项。 非系统性风险是某一资产所特有的风险，它是影响特定资产收益的风险因素。例如，对于某一发行证券的企业而言，该企业新产品开发的失败或者应收账款产生呆账等都是只对该企业所发行证券有影响的非系统性风险。而系统风险则对市场上所有的资产都产生影响，如银行利率的下降或者通货膨胀率的上升都不可避免地会影响到整个市场。 试想一下，若有一名投资者构建了一个包括市场上所有资产的投资组合，而且存在一个包括市场上所有资产的市场指数，那么投资者所要做的仅仅是让每种资产