高考数学一轮复习 6.2推理与证明精品学案 新人教A版.doc

第二节 推理与证明【高考新动向】一、合情推理与演绎推理1、考纲点击（1）了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用；（2）了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理；（3）了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。2、热点提示（1）归纳推理与数列相结合问题是考查重点；（2）类比推理、演绎推理是重点，也是难点；（3）以选择题、填空题的形式考查合情推理；考查演绎推理的各种题型都有，难度不大，多以中低档题为主。二、直接证明与间接证明1、考纲点击（1）了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点；（2）了解间接证明的一种基本方法反证法，了解反证法的思考过程、特点；2、热点提示（1）本考点在历年高考中均有体现，主要以考查直接证明中的综合法为主；（2）分析法的思想应用广泛，反证法仅作为客观题的判官方法，一般不会单独命题；（3）题型以解答题为主，主要在与其他知识点交汇处命题。三、数学归纳法1、考纲点击（1）了解数学归纳法的原理；（2）能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。2、热点提示（1）归纳猜想证明仍是高考重点；（2）常与函数、数列、不等式等知识结合，在知识的交汇处命题是热点；（3）题型以解答题为主，难度中等偏上。【考纲全景透析】一、合情推理与演绎推理1.推理（1）定义：推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程.（2）分类：推理一般分为_合情推理_与_演绎推理_两类.2.合情推理归纳推理类比推理定义由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理归纳推理类比推理特点由部分到整体、由个别到一般的推理由特殊到特殊的推理一般步骤(1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确的一般性命题(猜想)(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)3演绎推理（1）定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理.（2）特点：演绎推理是由一般到特殊的推理.（3）模式：三段论“三段论”是演绎推理的一般模式：“三段论”的结构大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情况；结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断“三段论”的表示大前提m是p.小前提s是m.结论s是p注：归纳推理和类比推理的特点与区别：类比推理和归纳推理的结论都是有待于证明的。归纳推理是由特殊到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理。二、直接证明与间接证明1、直接证明1.直接证明（1）综合法定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法.框图表示： (p表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，q表示所要证明的结论).文字表示为：“因为所以”或“由得”.思维过程：由因导果.(2)分析法定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止的证明方法.框图表示：(q表示要证明的结论）.文字表示为：“要证”，“只需证”，“即证”思维过程：执果索因.注：分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上寻求它的充分条件；综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件。分析法与综合法各有其特点，有些具体的待证命题，用分析法或综合法均能证明出来，往往选择较简单的一种。2、间接证明反证法：假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫反证法。三、数学归纳法数学归纳证题的步骤：（1）证明当n取第一值时命题成立：（2）假设n=k(k,k)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立。注：1、第一个值是否一定为1呢？不一定，要看题目中n的要求，如当n3时，则第一个值应该为3。2、数学归纳法两个步骤有何关系？数学归纳法中两个步骤体现了递推思想，第一步是递推基础，也叫归纳奠基，第二步是递推的依据，也叫归纳递推。两者缺一不可。【热点难点全析】一、合情推理与演绎推理（一）归纳推理相关链接1、归纳推理的特点：（1）归纳是依据特殊现象推断出一般现象，因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围；（2）归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础之上的。2、归纳推理的一般步骤：（1）通过观察个别情况发现某些相同本质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题。注：归纳推理所得结论未必正确，有待进一步证明。例题解析例设，先分别求，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明。思路解析：由f(x)计算各和式得出结论归纳猜想证明解答：，同理可得：。证明：设（二）类比推理相关链接1、类比推理是由特殊到特殊的推理，其一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）。2、类比是科学研究最普遍的方法之一。在数学中，类比是发现概念、方法、定理和公式的重要手段，也是开拓新领域和创造新分支的重要手段。类比在数学中应用广泛。数与式、平面与空间、一元与多元、低次与高次、相等与不等、有限与无限之间有不少结论，都是先用类比法猜想，而后加以证明的。注：类比推理推得的结论不一定正确，其正确性，有待进一步证明。例题解析例1请用类比推理完成下表：平面空间三角形两边之和大于第三边三棱锥任意三个面的面积之和大于第四个面的面积三角形的面积等于任意一边的长度与这边上高的乘积的一半三棱锥的体积等于任意一个面的面积与该面上的高的乘积的三分之一三角形的面积等于其内切圆半径与三角形周长的乘积的一半思路点拨：由表格一、二两个问题的类比可知，线对面，长度对面积，从而内切圆应相对内切球，从而可解。解答：本题由已知前两组类比可得到如下信息：平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象；三角形各边的边长与三棱锥的各面的面积是类比对象；三角形边上的高与三棱锥面上的高是类比对象；三角形的面积与三棱锥的体积是类比对象；三角形的面积公式中的“二分之一”，与三棱锥的体积公式中的“三分之一”是类比对象。由以上分析可知：故第三行空格应填：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥表面积的乘积的三分之一。（本题结论可用等体积法，将三棱锥分割成四个小三棱锥去证明，此处略）例2平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行。类似地，写出空间中的一个四棱锥为平行六面体的两个充要条件：充要条件： 充要条件： 解答：两组对边分别平行类比可得三组对面分别平行。一组对边平行且相等类比可得两组对面分别平行且全等。答案：三组对面分别平行；两组对面分别平行且全等。注：类比推理是根据两个对象有一部分属性类似，推出这两个对象其他属性亦类似的一种推理方法。例如分式与分数类比、平面几何与立体几何的某些对象类比等。当然类比时有能出现错误，如：在平面内，直线a、b、c，若ab,bc，则ac；在空间，三个平面、，若,，但与之间可能平行，也可能相交。（三）演绎推理例1（1）证明函数在上是增函数；（2）当时，是增函数还是减函数？思路解析：（1）证明本题的大前提是增函数的定义，即增函数满足：在给定区间内任取自变量的两个值且，小前提是函数，x，结论满足增函数定义。（1）关键是看与的增区间或减区间的关系。解答：（1）方法一：任取，则于是，根据“三段论”可知，在上是增函数；方法二：（2），而是区间的子区间，在上是增函数。注：三段论推理的依据用集合论的观点来讲就是：若集合m的所有元素都具体性质p，s是m的子集，那么s所有元素都具体性质p。三段论推理中包含三个原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况；这两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断：结论。例2用三段论的形式写出下列演绎推理。（1）若两角是对顶角，则该两角相等，所以若两角不相等，则该两角不是对顶角；（2）矩形的对角线相等，正方形的是矩形，所以正方形的对角线相等；（3）是有理数；（4）y=sinx(xr)是周期函数。解答：（1）两个角是对顶角，则两角相等，大前提1和2不相等小前提1和2不是对顶角结论（2）每个矩形的对角线相等大前提正方形是矩形小前提正方形的对角线相等结论（3）所有的循环小数是有理数，大前提是循环小数，小前提所以是有理数结论（4）三角函数是周期函数，大前提y=sinx是三角函数，小前提y=sinx是周期函数结论二、直接证明与间接证明（一）综合法证明不等式相关链接1、综合法是“由因导果”，它是从已知条件出发，顺着推证，经过一系列的中间推理，最后导出所证结论的真实性。用综合法证明题的逻辑关系是：（a为已知条件或数学定义、定理、公理等，b为要证结论），它的常见书面表达是“，”或“”；2、综合法是中学数学证明中常用方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法。例题解析例已知x+y+z=1，求证.思路点拨：利用，同时变形利用x+y+z=1，从而（x+y+z）2=1可证。解答：（二）分析法证明不等式相关链接1、分析法也是中学数学证明问题的常用方法，其主要过程是从结论出发，逐步寻求使结论成立的充分条件；2、分析法是“执果索因”，它是从要证的结论出发，倒着分析，逐渐地靠近已知事实。用分析法证“若p则q”这个命题的模式是：为了证明命题为真，从而有这只需证明命题为真，从而有这只需证明命题为真，从而有这只需证明命题p为真。而已知p为真，故q必为真。注：用分析法证题时，一定要严格按格式书写，否则容易出错。例题解析例已知非零向量，且，求证：。思路解析：。同意注意，将要证式子变形平方即可获证。解答：，要证，只需证，只需证（三）反证法证明相关链接1、反证法是间接证明问题的一种常用方法，其证明问题的一般步骤为：（1）反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面（否定命题）成立；（否定结论）（2）归廖：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾与已知条件、已知的公理、定义、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；（推导矛盾）（3）结论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的廖误。既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立。（结论成立）注：用反证法证明问题时要注意以下三点：（1）必须否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全是；（2）反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法；（3）推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的。2、常见的“结论词”与“反设词”如下：原结论词反设词原结论词反设词至少有一个一个也没有对所有x成立存在某个x不成立至多有一个至少有两个对任意x不成立存在某个x成立至少有n个至多有n-1个p或q且至多有n个至多有n+1个p且q或例题解析例已知是互不相等的实数，求证：由确定的三条抛物线至少有一条与轴有两个不同的交点。思路解析：利用反证法，否定命题的结论利用同向不等式求和推出矛盾得结论解答：假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与有两个不同的交点（即任何一条抛物线与轴没有两个不同的交点），由得（四）综合问题的证明例请先阅读：在等式（）的两边求导，得：，由求导法则，得，化简得等式：（1）利用上题的想法（或其他方法），试由等式（1x）n（，正整数），证明：（2）对于正整数，求证：（i）0；（ii）0；（iii）证明：（1）在等式两边对求导得 移项得 （*）（2）（i）在（*）式中，令，整理得 所以 （ii）由（1）知两边对求导，得在上式中，令 即 ，亦即 （1） 又由（i）知 （2）由（1）+（2）得（iii）将等式两边在上对积分 由微积分基本定理，得 所以 注：证明问题是初等数学中常见问题，也是高考常考问题，在各章知识中均有所体现，函数、数列、不等式、立体几何、解析几何中常有证明问题，本例就是导数应用到证明问题的直接体现，这就需要对各章知识灵活应用，如应用二项展开式亦可证明有关数学中整除性及不等式问题。三、数学归纳法（一）用数学归纳法证明等式相关链接1、用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型，其关键点在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始n0是多少；2、由n=k到n=k+1时，除等式两边变化的项外还要充分利用n=k时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明。例题解析例用数学归纳法证明：。思路解析：按数学归纳法的证明步骤。解答：（1）当n=1时，等式左边=，等式右边=，等式成立.(2)假设n=k(k1.k)时等式成立,即成立,那么当n=k+1时,即n=k+1时等式成立.由(1)、(2)可知,对任意n等式均成立.(二)用数学归纳法证明整除问题相关链接整除问题是常见数学问题,除了在二项式定理中利用二项式定理证明整除外,有些还可用数学归纳法,应用数学归纳法证明整除性问题时,关键是“凑项”，采用增项、减项、拆项和因式分解等方法。也可以说将式子“硬提公因式”，即将n=k时的项从n=k+1时的项中“硬提出来”，构成n=k时的项，后面的式子相对变形，使之与n=k+1时的项相同，从而达到利用假设的目的。例题解析例用数学归纳法证明能被整除（n）。思路解析：验证n=1时命题是否成立假设n=k时命题成立推证n=k+1时命题成立得结论。解答：（1）当n=1时，（2）假设n=k(k)时，能被整除，则当n=k+1时，（三）用数学归纳法证明几何问题相关链接在几何问题中，常有与n有关的几何证明，其中有交点个数、内角和、将平面分成若干部分等问题。这些问题可用数学归纳法证明，利用数学归纳法证明这些问题时，关键是“找项”，即几何元素从k个变成k+1个时，所证的几何量将增加多少，这需用到几何知识或借助于几何图形来分析，在实在分析不出来的情况下，将n=k+1和n=k分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧。例题解析例1平面内有n条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，求证：这n条直线把平面割成个区域。思路解析：n=k+1时，第k+1条直线被前k条直线分成（k+1）段，而每一段将它们所在区域一分为2，故增加了k+1个区域。解答：（1）当n=1时，一条直线把平面分成两部分，又n=1时命题成立。（2）假设n=k(k)时，命题成立，即k条满足题意的直线把平面分割成个区域。那么，当n=k+1时，k+1条直线中的k条直线把平面分成个区域，第k+1条直线被这k条直线分成k+1段，每段把它们所在的区域分成了两块。因此增加了k+1区域，k+1条直线把平面分成了个区域。n=k+1时命题也成立。由（1）、（2）知，对一切的n,此命题均成立。例2平面内有n个圆，其中每两个圆都交于两点，且无三个圆交于一点，求证：这n个圆将平面分成n2+n+2个部分.证明：（1）n=1时，1个圆将平面分成2部分，显然命题成立。（2）假设n=k(k)时，k个圆将平面分成k2-k+2个部分。当n=k+1时，第k+1个圆k+1交前面2k个点，这2k个点将圆k+1分成2k段，每段各自所在区域一分为二，于是增加了2k个区域，所以这k+1个圆将平面分成k2-k+2+2k个部分，即(k+1)2-(k+1)+2个部分。故n=k+1时，命题成立。由（1）、（2）可知，对任意n命题成立。注：用数学归纳法证明不等式的关键是由n=k成立得n=k+1成立，主要方法有：放缩法；利用基本不等式；作差比较法等。（四）数学归纳法证明数列问题例（安徽卷21）（本小题满分13分）设数列满足为实数（1）证明：对任意成立的充分必要条件是；（2）设，证明：;（3）设，证明：思路解析：（1）充要条件的证明要从充分性和必要性两个方面证明，证明充分性时可用数学归纳法；（2）注意应用（1）的结论，利用放缩法证明。解答： (1) 必要性 ： ， 又 ，即充分性 ：设，对用数学归纳法证明 当时，.假设 则，且，由数学归纳法知对所有成立 (2) 设 ，当时，结论成立 当 时， ,由（1）知，所以 且 (3) 设 ，当时，结论成立 当时，由（2）知 【高考零距离】1. （2012江西高考文科5）观察下列事实|x|+|y|=1的不同整数解（x,y）的个数为4 ， |x|+|y|=2的不同整数解（x,y）的个数为8， |x|+|y|=3的不同整数解（x,y）的个数为12 .则|x|+|y|=20的不同整数解（x，y）的个数为a.76 b.80 .86 d.92【解题指南】观察并发现规律，归纳出整数解个数。【解析】选b 由已知条件得，的整数解个数为，故的整数解的个数为80。2. （2012陕西高考数学文科12）与（2012陕西高考理科11）相同观察下列不等式，照此规律，第五个不等式为 .【解题指南】观察不等式两边式子的特点，总结指数、项数、分子、分母之间的数量关系.【解析】左边的式子的通项是，右边的分母依次增加1，分子依次增加2，还可以发现右边分母与左边最后一项分母的关系，所以第五个不等式为答案：3. （2012福建高考文科20） (本小题满分12分) 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数（1）； （2）； （3）； （4）； （5）.（）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数 （）根据（）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论本题主要考查同三角函数的关系，两角和与差的三角函数公式，二倍角公式等基础知识，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查特殊与一般思想、化归与转化思想解法一： （i）选择（2）式，计算如下： （ii）三角恒等式为证明如下： 解法二：（i）同解法一.（ii）三角恒等式为证明如下： 4. （2012北京高考文科20）设a是如下形式的2行3列的数表，abcdef满足性质p：a，b，c，d，e，f-1,1,且a+b+c+d+e+f=0.记ri（a）为a的第i行各数之和（i=1,2），j（a）为第j列各数之和（j=1，2，3）；记k（a）为|r1(a)|, |r2(a)|, |c1(a)|，|c2(a)|，|c3(a)|中的最小值。对如下数表a，求k（a）的值11-0.80.1-0.3-1设数表a形如111-2ddd-1其中-1d0.求k（a）的最大值；（）对所有满足性质p的2行3列的数表a ，求k(a)的最大值【解题指南】（1）直接按照定义计算即可；（2）按照定义把k(a)转化为关于d的函数，再求函数的最大值；（3）首先构造一个数表，求出最大，再证明他就是所求的最大值。【解析】（i）0.7（ii）k(a)=min|3-2d|,|2d-1|,|1+d|,|1+d|,|2d|-1d0,k(a)=min3-2d, 1-2d, 1+d, 1+d, -2d=min1+d, -2d,当时，k(a)取最大值。（iii）k(a)的最大值为1首先构造k(a)=1的，经计算知，a中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且，1，。下面证明1是最大值。若不然，则存在一个2行3列的数表a，使得。由k(a)的定义知a的每一列两个数之和的绝对值都不小于x，而两个绝对值不超过1的数的和，其绝对值不超过2，故a的每一列两个数之和的绝对值都在区间x,2中。由于x1，故a的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值不小于x-1. 设a中有1列的列和为正，有h列的列和为负，有对称性不放设h2。另外，由对称性不妨设a的第一行行和为正，第二行行和为负。考虑a的第一行，由前面结论知a的第一行有不超过1个正数和不少于2个负数，每个正数的绝对值不超过1（即每个证书均不超过1），每个负数的绝对值不小于x-1（即每个负数均不超过1-x）。因此故a的第一行行和的绝对值小于x，与假设矛盾。因此k(a)的最大值为1。【考点提升训练】一、选择题（每小题5分，共20分）1.（2012太原模拟）已知an=()n，把数列an的各项排成如下的三角形：a1a2a3a4a5a6a7a8a9记a（s,t）表示第s行的第t个数，则a（11，12）=( )(a)(b)()(d)2.（2012海口模拟）记sn是等差数列an前n项的和,tn是等比数列bn前n项的积，设等差数列an公差d0，若对小于2 011的正整数n，都有sn=s2 011-n成立，则推导出a1 006=0,设等比数列bn的公比q1，若对于小于23的正整数n，都有tn=t23-n成立，则( )(a)b11=1(b)b12=1()b13=1(d)b14=13.（2012厦门模拟）“所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故该奇数是3的倍数.”上述推理（ ）(a)小前提错 (b)结论错 ()正确 (d)大前提错4.若a,b,c是不全相等的实数，求证：a2+b2+c2ab+bc+ca.证明过程如下：a、b、cr,a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ac,又a,b,c不全相等,以上三式至少有一个“=”不成立,将以上三式相加得2(a2+b2+c2)2(ab+bc+ac),a2+b2+c2ab+bc+ca.此证法是( )（a）分析法（b）综合法（）分析法与综合法并用（d）反证法5.（2012福州模拟）用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是( )（a）假设三内角都不大于60度（b）假设三内角都大于60度（）假设三内角至多有一个大于60度（d）假设三内角至多有两个大于60度6.设函数f(x)是定义在r上的以3为周期的奇函数，若f(1)1,则a的取值范围是( )（a）a（b）a或a-1（d）-1a1,，则按此规律可猜想第n个不等式为_.8. (2012泉州模拟）设p=，q=-，r=-，则p、q、r的大小顺序是_.9.设x,y,z是空间的不同直线或不同平面，且直线不在平面内，下列条件中能保证“若xz,且yz，则xy”为真命题的是_（填写所有正确条件的代号）.x为直线,y,z为平面；x,y,z为平面；x,y为直线，z为平面；x,y为平面，z为直线;x，y，z为直线.三、解答题（每小题15分，共30分）10.如图，一个树形图依据下列规律不断生长：1个空心圆点到下一行仅生长出1个实心圆点，1个实心圆点到下一行生长出1个实心圆点和1个空心圆点.（1）求第n行实心圆点个数与第n-1,n-2行实心圆点个数的关系.（2）求第11行的实心圆点的个数.11.（易错题）已知实数a,b,c,d满足a+b=c+d=1,ac+bd1,求证:a,b,c,d中至少有一个是负数.【探究创新】（16分）凸函数的性质定理为：如果函数f(x)在区间d上是凸函数，则对d内的任意x1,x2,xn都有已知函数f(x)=sinx在(0,)上是凸函数，则（1）求ab中，sina+sinb+sin的最大值.（2）判断f(x)=2x在r上是否为凸函数. 答案解析1.【解析】选d.由于该三角形数阵的每一行数据个数分别为1，3，5，7，9，可得前10行共有个数，a（11，12）表示第11行的第12个数，则a（11，12）是数列an的第100