21.2.4一元二次方程根与系数的关系 (2).docx

第二十一章一元二次方程*21.2.4一元二次方程的根与系数的关系学习目标1.探究并能推导一元二次方程的根与系数的关系.2.熟练运用根与系数的关系求两根和、两根积.3.提高综合运用基础知识解决较复杂问题的能力.学习过程一、设计问题,创设情境(一)温故知新1.一元二次方程的一般形式是什么?2.一元二次方程的求根公式是什么?使用它的前提又是什么?3.你能说一下一元二次方程的解的情况？(二)探究活动1.一元二次方程的根与系数之间的联系还有其他表现方式吗?填写下表:方程两个根两根之和两根之积x1x2x1+x2x1x2x2-x-12=0x2-4x+3=02x2-7x+3=03x2+x-2=02.你发现了吗:如果x2+px+q=0有两个根x1,x2,那么这两个根与系数有怎样的关系?3.一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a0)如果有两个根x1,x2,那么它们与系数会有怎样的关系呢?你能推导出你的结论吗?二、信息交流,揭示规律1.学生尝试推导得出的结论方法一:ax2+bx+c=0(a0)x2+bax+ca=0,那么就有:x1+x2=-ba,x1x2=ca.方法二:根据求根公式x=-bb2-4ac2a(b2-4ac0),推导:2.师生共同得出结论:如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根分别是x1,x2,那么:3.教师总结:上述结论称为一元二次方程的根与系数的关系,也叫韦达定理(可以根据学生能力决定是否给出定理的名字).三、运用规律,解决问题1.例题:根据一元二次方程的根与系数的关系,求下列方程两个根x1与x2的和与积:(1)x2-6x-15=0; (2)3x2+7x-9=0; (3)5x-1=4x2.练习:1：不解方程,求下列方程两个根的和与积:(1)2x2+3x=0;(2)3x2=1;(3)x2-3 x=152：方程2 x2 - ax +2b=0 两根和为4,积为-3，则a=_,b=-.3:求一个一元二次方程，使它的两个根是2和3，如-4.学生讨论:通过前面的练习,总结在运用一元二次方程根与系数关系解决问题时对步骤有什么要求?四、变式训练,深化提高例2.已知方程5x2+Kx-6=0的一个根是2,求它的另一个根及K值.例3.设x1、 x2是方程2x2+4x-3=0的两个根,利用根与系数的关系求下列格式的值： （1）x12+x22 （2） 1x1+1x2例3（变式）设x1、 x2是方程2x2+4x-3=0的两个根,利用根与系数的关系求下列格式的值： (1) (x1+1)( x2+1) (2) x12x2+x1x22 (3) （x1-x2）2 (4) x1-x2例4、若关于X的一元二次方程x2+kx+4k2-3=0的两个实数根分别是x1 、 x2且满足x1+x2=x1x2，求k值。练习：已知关于x的方程kx2-2(k+1)x+k-1=0有两个不相等的实数根，（1） 求k的取值范围；（2） 是否存在实数k，使此方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在求出k的值。五、反思小结,观点提高1.本节课我们学习了一个什么关系?2.应用一元二次方程根与系数的关系时，首先要把已知方程化成什么形式？3.同学们会利用根与系数的关系解决哪些类型的问题了?在解决问题的过程中你有哪些收获和疑惑? 参考答案一、设计问题,创设情境(一)温故知新1.ax2+bx+c=0(a0).2.x=-bb2-4ac2a(b2-4ac0).3.根的判别式求根公式.(二)探究活动填写下表方程两个根两根之和两根之积x1x2x1+x2x1x2x2+x-6=0-32-1-6x2+10x+9=0-1-9-109x2-6x+8=024682.x1+x2=-p,x1x2=qx1+x2=-ba,x1x2=ca二、信息交流,揭示规律1.x1+x2=-b+b2-4ac2a+-b-b2-4ac2a=-b+b2-4ac-b-b2-4ac2a=-2b2a=-ba.x1x2=-b+b2-4ac2a-b-b2-4ac2a=(-b)2-(b2-4ac)4a2=4ac4a2=ca.2.x1+x2=-ba;x1x2=ca.三、运用规律,解决问题1.解:(1)x1+x2=-(-6)=6,x1x2=-15.(2)x1+x2=-73,x1x2=-3.(3)方程化为4x2-5x+1=0.x1+x2=54,x1x2=14.2.解:(1)原方程化为x2-3x-15=0,则x1+x2=3,x1x2=-15.(2)原方程化为3x2+4x+1=0,则x1+x2=-43,x1x2=13.(3)原方程化为x2-x-1=0,则x1+x2=1,x1x2=-1.(4)原方程化为2x2-2x+1=0,则x1+x2=1,x1x2=12.3.略四、变式训练,深化提高1.412.1-23.32-34.2-15.6.解:根据根与系数的关系,x1+x2=3,x1x2=32,所以1x1+1x2=x1+x2x1x2=332=2,x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=32-232=6,x12x2+x1x22=(x1+x2)x1x2=332=92.7.解:(1)根据根与系数的关系,x1+x2=-k;x1x2=k-12,所以(x