【解析版】无锡市2013年秋学期普通高中期末考试试卷高三数学.doc

无锡市2013年秋学期普通高中期末考试试卷高三数学试题参考公式：样本数据x1，x2，xn的方差s2(xi)2，其中xi一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分不需要写出解答过程，请把答案直接填写在相应位置上1已知集合A0，m，B1，2，AB1，则AB_2若z132i，z21ai(aR)，z1z2为实数，则a等于_3已知p：x22x30；q：b0)右支上一点P到左焦点的距离是到右准线距离的6倍，则该双曲线离心率的范围为_12已知数列an的前n项和Sn满足：4Sn(an1)2.设bna2n1，Tnb1b2bn(nN*)，则当Tn2 013时，n的最小值为_13设函数f(x)g(x)asina2(a0)若存在x1、x20，1，使得f(x1)g(x2)成立，则实数a的取值范围为_14若第一象限内的动点P(x，y)满足1，Rxy，则以P为圆心，R为半径且面积最小的圆的方程为_二、 解答题：本大题共6小题，共90分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15(本小题满分14分)在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知平面BB1C1C平面ABC，ABAC，D是BC中点，且B1DBC1.求证：（第15题）(1) A1C平面B1AD；(2) BC1平面B1AD.16(本小题满分14分)在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，cosC.(1) 若，求c的最小值；(2) 设向量x(2sinB，)，y，且xy，求sin(BA)的值17(本小题满分14分)如图，已知椭圆E的中心为O，长轴的两个端点为A、B，右焦点为F，且7，椭圆E的右准线l的方程为x.(1) 求椭圆E的标准方程；（第17题）(2) 若N为准线l上一点(在x轴上方)，AN与椭圆交于点M，且0，记，求.18(本小题满分16分)如图所示，把一些长度均为4 m(PAPB4 m)的铁管折弯后当作骨架制作“人字形”帐篷根据人们的生活体验知道：人在帐篷里的“舒适感”k与三角形的底边长和底边上的高度有关，设AB为x，AB边上的高PH为y，则k.若k越大，则“舒适感”越好(1) 求“舒适感”k的取值范围；(2) 已知M是线段AB的中点，H在线段AB上，设MHt，当人在帐篷里的“舒适感”k达到最大值时，求y关于自变量t的函数解析式，并求出y的最大值(请说明详细理由)（第18题）19(本小题满分16分)在正数数列an(nN*)中，Sn为an的前n项和，若点(an，Sn)在函数y的图象上，其中c为正常数，且c1.(1) 求数列an的通项公式；(2) 是否存在正整数M，使得当nM时，a1a3a5a2n1a101恒成立？若存在，求出使结论成立的c的取值范围和相应的M的最小值；(3) 若存在一个等差数列bn，对任意nN*，都有b1anb2an1b3an2bn1a2bna13nn1成立，求bn的通项公式及c的值20(本小题满分16分)已知函数f(x)axb的图象在点A(1，f(1)处的切线与直线l：2x4y30平行(1) 证明：函数yf(x)在区间(1，e)上存在最大值；(2) 记函数g(x)xf(x)c，若g(x)0对一切x(0，)，b恒成立，求c的取值范围无锡市2013年秋学期普通高中期末考试试卷高三数学加试题(满分40分，考试时间30分钟)21【选做题】从A、B、C、D四小题中选做两小题，每小题10分，共20分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤A(选修41：几何证明选讲)（本小题满分10分）（第21A题）如图，锐角三角形ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E，若ABC面积SADAE，求BAC的大小B(选修42：矩阵与变换)（本小题满分10分）求使等式M成立的矩阵M.C(选修44：坐标系与参数方程)（本小题满分10分）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2cos，如图，曲线C与x轴交于O、B两点，P是曲线C在x轴上方图象上任意一点，连结OP并延长至M，使PMPB，当P变化时，求动点M轨迹的长度（第21B题）D(选修45：不等式选讲)（本小题满分10分）已知a、b、c均为正数，且a2b4c3.求的最小值，并指出取得最小值时a、b、c的值【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤22（本小题满分10分）已知过一个凸多边形的不相邻的两个端点的连线段称为该凸多边形的对角线(1) 分别求出凸四边形、凸五边形、凸六边形的对角线的条数；(2) 猜想凸n边形的对角线条数f(n)，并用数学归纳法证明23（本小题满分10分）从集合M1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取三个元素构成子集a，b，c(1) 求a、b、c中任意两数之差的绝对值均不小于2的概率；(2) 记a、b、c三个数中相邻自然数的组数为(如集合3，4，5中3和4相邻，4和5相邻，2)，求随机变量的分布列及其数学期望E()无锡市2013年秋学期普通高中期末考试试卷高三数学参考答案及评分标准一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 10，1，2 2 3(1，2) 4甲 555636 7 82，0 9 10m11(1，23，6) 1210 131，4 14(x3)22二、 解答题：本大题共6小题，共90分15证明：(1) 连结BA1交AB1于点O，由棱柱知侧面AA1B1B为平行四边形， O为BA1的中点，又D是BC中点， ODA1C.(3分) A1C平面B1AD，OD平面B1AD， A1C平面B1AD.(6分)(2) D是BC中点，ABAC， ADBC.(7分) 平面BB1C1C平面ABC，平面BB1C1C平面ABCBC，AD平面ABC， AD平面BB1C1C.(11分) BC1平面BB1C1C， ADBC1.(12分)又BC1B1D，且ADB1DD， BC1平面B1AD.(14分)16解：(1) ， abcosC， ab15.(2分) c2a2b22abcosC2ab2ab21.(4分) c0，c， c的最小值为.(6分)(2) xy， 2sinBcos2B0，2sinBcosBcos2B0，(8分)即sin2Bcos2B0，(9分) tan2B， 2B或， B或.(10分) cosC， C， B舍去， B.(11分) sin(BA)sinB(BC)sin(12分)sinCcoscosCsin.(14分)17解：(1) 由题意，设椭圆方程为1，半焦距为c，由7，得ac7(ac)，得3a4c.由准线方程，得.(2分)解得a4，c3. b2a2c27.(5分) 所求椭圆E的标准方程为1.(6分)(2) 设M坐标为(x，y)，由0，即0，得(x4)(3x)y20， y2x2x12.(8分)又点M满足1，消y得9x216x800，解得x或x4(舍去)(11分)将A、M、N的横坐标代入，得4， 2.(14分)18解：(1) k，(2分) x2y22xy， 1(当且仅当xy时，取“”号)， k.(4分) 0， k1， k的取值范围是(1，(6分)(2) 由PAPB4及(1)的结论，得4，(8分) 4.两边平方、化简得y4，(10分)当H与M重合时，t0，当H与A重合时，有PAABy， y2y2(4y)2， y44，即t22，(12分) y4(0t22)(13分) 0t22， ， 1，(15分) ymax，此时t0.(16分)说明：若没有过程，直接求出y的最大值得2分19解：(1) Sn，n2时，SnSn1，an，(c1)anan1an，canan1， an是等比数列(2分)将(a1，S1)代入y中，得a1c，(3分)故an.(4分)(2) 由a1a3a5a2n1a101，得c， .(5分)若1，即0c99，得n11或n9(舍去)；(6分)若1时，n(n2)99，得9nM时，a1a3a5a2n1a101恒成立，故舍去(7分) c的取值范围是(0，1)，相应的M的最小值为11.(8分)(3) 由(1)知，an，由bn为等差数列，设bnb1(n1)d.b1anb2an1b3an2bn1a2bna13nn1(nN*)，当n1时，b1c31.(9分)当n2时，b1an1b2an2b3an3bn2a2bn1a13n1(n1)1，注意到b2b1b3b2bnbn1d.得b1and(an1an2a2a1)3n3n1，(11分)将an代入上式，得b123n1，整理得23n1.(13分) 式对一切n(n2)恒成立，则必有(14分)解，得故bn10n9，c.(16分)20(1) 证明：对f(x)求导，f(x)a，(1分)由函数图象在点A处的切线与直线l平行，且l的斜率为， f(1)，1a， a.(3分) f(x). f(1)0，f(e)0， f(x)在(1，x0)上单调增；当x(x0，e)时，f(x)0)，则ch1(x)min.(8分)h1(x)xb.令h1(x)0，得x2bx10， x.(10分) b， x10(舍去)，x2(1，2)(12分)当0xx2时，h1(x)x2时，h1(x)0，h1(x)单调增， h1(x)minh1(x2)xbx2lnx2x1xlnx2xlnx21.(14分)记h2(x)xlnx21， h2(x)在(1，2)上单调减， h2(x)h2(2)1ln2， c1ln2，故c的取值范围是(，1ln2(16分)无锡市2013年秋学期普通高中期末考试试卷高三数学加试题参考答案及评分标准21A解：连结BE，由AD是BAC的平分线， BAECAE.由圆周角结论，得AEBACB， ABEADC， ADAEABAC.(5分) SABCABACsinBACADAE， sinBAC. BAC， BAC.(10分)B解：设M，(3分) .(6分) ， M.(10分)C解：设M(，)，则OP2cos，PB2sin. OPPB2cos2sin，(4分) 22sin2cos.转化为普通方程：x2y22x2y，(8分) M的轨迹方程为(x1)2(y1)22(x0，y0)(9分) 点M的轨迹长度为.(10分)D解： a2b4c3， (a1)2(b1)4(c1)10.(3分) a、b、c为正数， 由柯西不等式得(a1)2(b1)4(c1)()(12)2.当且仅当(a1)22(b1)24(c1)2，等号成立(6分)， 2(c1)2(c1)4(c1)10， c，b，a.(10分)22解：(1) 凸四边形的对角线条数为2条；凸五边形的对角线条数为5条；凸六边形的对角线条数为9条(3分)(2) 猜想f(n)(n3，nN*)(4分)证明：当n3时，f(3)0成立；(5分)设当nk(k3)时猜想成立，即f(k)，则当nk1时， 考察k1边形A1A2AkAk1， k边形A1A2Ak中原来的对角线也都是k1边形中的对角线，且边A1Ak也成为k1边形中的对角线； 在Ak1与A1，A2，Ak连结的k条线段中，除Ak1A1、Ak1Ak外，都是k1边形中的对角线，共计有f(k1)f(k)1(k2)1(k2)，即猜想对nk1时也成立(9分)综上，得f(n)对任何n3，nN*都成立(10分)23解：(1) 从9个不同的元素中任取3个不同元素，为古典概型记“a、b、c中任意两数之差的绝对值均不小于2”为事件A，其基本事件总数为nC.(2分)由题意，a、b、c均不相邻，利用插空法得，事件A包含基本事件数mC.(4分)故P(A). a、b、c中任意两数之差的绝对值均不小于2的概率为.(6分)(2) 012P(9分) E()012.(10分)无锡市2013年秋学期普通高中期末考试试卷高三数学参考答案及解析10，1，2解析： AB1， m1，从而AB0，1，2本题考查集合的概念与基本运算本题属于容易题2解析：z1z2(32i)(1ai)33ai2i2a(32a)(3a2)iR.从而a.本题考查复数的概念与四则运算本题属于容易题3(1，2)解析：由题设知p真且q为真从而有(x3)(x1)0，且x20，即1x2.本题考查命题与简易逻辑的概念，一元二次不等式的解法等基础知识本题属于容易题4甲解析：V甲(61657879818386878890)79.8，V乙73.2.本题考查茎叶图，平均数的概念等基础知识本题属于容易题555解析：由流程图知循环体执行8次，第1次m1，b2，a1，第2次m2，b3，a2，第3次m3，b5，a3，依次类推知退出时m31，b55，a31.本题考查流程图的基础知识本题属于容易题636解析：由题意设底面正六边形边长为a，则S侧6a672，即a2.从而V体Sha26636.本题考查正棱柱基本概念及面积与体积的计算本题属于容易题7解析：基本事件总数列举为(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)共16种，其中符合|ab|1的有10种，从而P(心有灵犀).本题考查古典概型的基本概念，以及列举法求古典概型的概率本题属于容易题82，0解析：由题设画出可行域如下图，等价于点(x，y)到点(2，0)连线的斜率；又kAB2，kBO0，从而2，0本题考查线性规划基本知识以及斜率的几何意义本题属于容易题9解析：由题设可知C2的曲线方程ysin(2x)，令2k2x2k，得kxk.令k0得C2在0，上的单减区间为.本题考查三角函数图象的平移以及单调性的性质，属于容易题10m解析：假设A、B、C三点共线，即有.又(2，1)，(1m，m6)，从而，即m，所以当A、B、C三点能够组成三角形时，m.本题考查三点共线等平面向量的基础知识，同时也考查了正难则反的“补集”思想本题属于中等题11(1，23，6)解析：设P到右准线距离为d，则有e，又由题设知PF16dPF2，由双曲线的定义知PF1PF22a，从而有PF2PF22a，即有PF2(1)2a，即PF2ca，两边同除a，整理化简可得0，即0，即1e2或3eb0)左、右焦点分别为F1，F2，设点P到右准线距离为d，则由题意得点P到左焦点的距离为PF16d由于PF1PF22a，所以PF26d2a，所以，所以d又因为da，所以解得此双曲线的离心率e的取值范围是(1，23，6)1210 解析： 4Sn(an1)2， n2时有4Sn1(an11)2，两式相减，得4(SnSn1)(anan12)(anan1)，n2，进一步整理可知(anan1)(anan12)0.又an0，从而anan12(n2)，从而an2n1，bna2n12n1， Tn2n1(n2)2 013，n10时，Tn2013，且T92013的解集为当anan12时，数列an是首项为1，公差为2的等差数列，所以an12(n1)2n1，所以bna 2n1，所以Tnb1b2bnn2n12n令Tn2013，2n12n2013，2n1n2015，当n9时，21092015，所以n的最小值为1013a2解析：由题设易知f(x)的值域为A0，1，g(x)的值域为，由题设知AB，又当AB时，有2