广东省实验中学高三数学上学期第一次段考试卷 文（含解析）.doc

广东省实验中学2015届高三上学 期第一次段考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1（5分）从编号为150的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是（）a5，10，15，20，25b3，13，23，33，43c1，2，3，4，5d2，4，8，16，322（5分）如图，设全集为u=r，a=x|x（x2）0，b=x|y=ln（1x），则图中阴影部分表示的集合为（）ax|x1bx|1x2cx|0x1dx|x13（5分）已知复数z1，z2在复平面上对应的点分别为a（1，2），b（1，3），则=（）a1+ibic1idi4（5分）如图是某高中举办的2010年元旦学生歌曲大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的众数和中位数分别为（）a84，85b84，84c85，84d85，855（5分）水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图，若图中“努”在正方体的后面，那么这个正方体的前面是（）a定b有c收d获6（5分）已知an为等差数列，其前n项和为sn，若a3=6，s3=12，则公差d等于（）a1bc2d37（5分）在abc中，若 sinasinacosc=cosasinc，则abc 的形状是（）a正三角形b等腰三角形c直角三角形d等腰直角三角形8（5分）已知直线l丄平面，直线m平面，则“lm”是“”的（）a充要条件b必要条件c充分条件d既不充分又不必要条件9（5分）若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2+的离心率为（）abc或d或10（5分）各项互不相等的有限正项数列an，集合a=a1，a2，an，集合b=（ai，aj）|aia，aja，aiaja，1i，jn，则集合b中的元素至多有（）个ab2n11cdn1二、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分（一）必做题（1113题）11（5分）各项都是正数的等比数列an中，a2，a1成等差数列，则=12（5分）在abc中，ab=1，则bc=13（5分）已知点a（x1，ax1），b（x2，ax2）是函数y=ax（a1）的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段ab总是位于a、b两点之间函数图象的上方，因此有结论成立运用类比思想方法可知，若点a（x1，sinx1），b（x2，sinx2）是函数y=sinx（x（0，）的图象上任意不同两点，则类似地有成立二.选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）（几何证明选讲选做题）14（5分）（几何证明选讲）如图，点a、b、c都在o上，过点c的切线交ab的延长线于点d，若ab=5，bc=3，cd=6，则线段ac的长为三.（坐标系与参数方程选做题）15在极坐标系中，过点作圆=4sin的切线，则切线的极坐标方程是三解答题：本大题共6小题，共80分，解答填写出文字说明、证明过程或演算步骤.16（12分）已知函数（）求的值；（）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间17（12分）为了宣传今年10月在济南市举行的“第十届中国艺术节”，“十艺节”筹委会举办了“十艺节”知识有奖问答活动，随机对市民1565岁的人群抽样n人，回答问题统计结果如图表所示：组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的频率频率分布直方图 第1组15，25）50.5第2组25，35）a0.9第3组35，45）27x第4组45，55）90.36第5组55，65）30.2（1）分别求出a，x的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，“十艺节”筹委会决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率18（14分）如图，斜三棱柱a1b1c1abc中，侧面aa1c1c底面abc，底面abc是边长为2的等边三角形，侧面aa1c1c是菱形，a1ac=60，e、f分别是a1c1、ab的中点求证：（1）ec平面abc；（2）求三棱锥a1efc的体积19（14分）等比数列cn满足cn+1+cn=104n1（nn*），数列an的前n项和为sn，且an=log2cn（）求an，sn；（）数列的前n项和，是否存在正整数m，k（1mk），使得t1，tm，tk成等比数列？若存在，求出所有m，k的值；若不存在，请说明理由20（14分）已知函数f（x）=，g（x）=alnxx（a0）（）求函数f（x）的单调区间；（）求证：当a0时，对于任意x1，x2（0，e，总有g（x1）f（x2）成立21（14分）已知点列b1（1，y1），b2（2，y2），bn（n，yn），（nn*）顺次为直线上的点，点列a1（x1，0），a2（x2，0），an（xn，0），（nn*）顺次为x轴上的点，其中x1=a（0a1），对任意的nn*，点an、bn、an+1构成以bn为顶点的等腰三角形（1）证明：数列yn是等差数列；（2）求证：对任意的nn*，xn+2xn是常数，并求数列xn的通项公式；（3）对上述等腰三角形anbnan+1添加适当条件，提出一个问题，并做出解答（根据所提问题及解答的完整程度，分档次给分）广东省实验中学2015届高三上学期第一次段考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1（5分）从编号为150的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是（）a5，10，15，20，25b3，13，23，33，43c1，2，3，4，5d2，4，8，16，32考点：系统抽样方法 专题：计算题分析：由系统抽样的特点知，将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，分段的间隔要求相等，这时间隔一般为总体的个数除以样本容量从所给的四个选项中可以看出间隔相等且组距为10的一组数据是由系统抽样得到的解答：解：从50枚某型导弹中随机抽取5枚，采用系统抽样间隔应为 =10，只有b答案中导弹的编号间隔为10，故选b点评：一般地，要从容量为n的总体中抽取容量为n的样本，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本2（5分）如图，设全集为u=r，a=x|x（x2）0，b=x|y=ln（1x），则图中阴影部分表示的集合为（）ax|x1bx|1x2cx|0x1dx|x1考点：venn图表达集合的关系及运算 专题：集合分析：由韦恩图中阴影部分表示的集合为a（rb），然后利用集合的基本运算进行求解即可解答：解：a=x|x（x2）0=x|0x2，b=x|y=ln（1x）=x|1x0=x|x1，则rb=x|x1由韦恩图中阴影部分表示的集合为a（rb），a（rb）=x|1x2，故选b点评：本题主要考查集合的基本运算，利用韦恩图确定集合关系，然后利用数轴求基本运算是解决此类问题的基本方法3（5分）已知复数z1，z2在复平面上对应的点分别为a（1，2），b（1，3），则=（）a1+ibic1idi考点：复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算 专题：计算题分析：利用复数的运算法则和几何意义即可得出解答：解：由复数的几何意义可知z1=1+2i，z2=1+3i，故选a点评：熟练掌握复数的运算法则和几何意义是解题的关键4（5分）如图是某高中举办的2010年元旦学生歌曲大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的众数和中位数分别为（）a84，85b84，84c85，84d85，85考点：众数、中位数、平均数；茎叶图 专题：计算题分析：按照要求调整数据以后，这组数据是84，85，86，84，87，在这组数据中出现的次数最多的是84，把这组数据按照从小到大的顺序排列，最中间一个是85，得到众数和中位数解答：解：去掉一个最高分和一个最低分后，这组数据是84，85，86，84，87，在这组数据中出现的次数最多的是84，众数是84，把这组数据按照从小到大的顺序排列，最中间一个是85，中位数是85，故选a点评：对于一组数据，通常要求的是这组数据的众数，中位数，平均数分别表示一组数据的特征，这样的问题可以出现在选择题或填空题考查最基本的知识点5（5分）水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图，若图中“努”在正方体的后面，那么这个正方体的前面是（）a定b有c收d获考点：棱柱的结构特征 专题：数学模型法分析：利用正方体及其表面展开图的特点以及题意解题，把“努”在正方体的后面，然后把平面展开图折成正方体，然后看“努”相对面解答：解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“努”与面“有”相对，所以图中“努”在正方体的后面，则这个正方体的前面是“有”故选b点评：本题考查了正方形相对两个面上的文字问题，同时考查空间想象能力注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题6（5分）已知an为等差数列，其前n项和为sn，若a3=6，s3=12，则公差d等于（）a1bc2d3考点：等差数列的前n项和 专题：等差数列与等比数列分析：设出等差数列的首项和公差，由a3=6，s3=12，联立可求公差d解答：解：设等差数列an的首项为a1，公差为d，由a3=6，s3=12，得：解得：a1=2，d=2故选c点评：本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，是基础的会考题型7（5分）在abc中，若 sinasinacosc=cosasinc，则abc 的形状是（）a正三角形b等腰三角形c直角三角形d等腰直角三角形考点：三角形的形状判断 专题：计算题分析：由sinasinacosc=cosasinc，结合两角和的正弦公式即可得a，b的关系，从而可判断解答：解：sinasinacosc=cosasinc，sina=sinacosc+cosasinc=sin（a+c）=sinba=b（a+b=舍去），是等腰三角形故选b点评：本题主要考查了两角和的 正弦公式的简单应用，属于基础试题8（5分）已知直线l丄平面，直线m平面，则“lm”是“”的（）a充要条件b必要条件c充分条件d既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：规律型分析：利用充分条件和必要条件和必要条件的定义进行判断解答：解：直线l丄平面，lm，m丄平面，直线m平面，成立若，当直线l丄平面时，则l或l，但lm，不一定成立，“lm”是“”的充分条件故选：c点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用线面垂直和面面垂直的性质和判定定理是解决本题的关键9（5分）若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2+的离心率为（）abc或d或考点：圆锥曲线的共同特征；等比数列的性质 专题：计算题分析：先根据等比中项的性质求得m的值，分别看当m大于0时，曲线为椭圆，进而根据标准方程求得a和b，则c可求得，继而求得离心率当m0，曲线为双曲线，求得a，b和c，则离心率可得最后综合答案即可解答：解：依题意可知m=4当m=4时，曲线为椭圆，a=2，b=1，则c=，e=当m=4时，曲线为双曲线，a=1，b=2，c=则，e=故选d点评：本题主要考查了圆锥曲线的问题，考查了学生对圆锥曲线基础知识的综合运用，对基础的把握程度10（5分）各项互不相等的有限正项数列an，集合a=a1，a2，an，集合b=（ai，aj）|aia，aja，aiaja，1i，jn，则集合b中的元素至多有（）个ab2n11cdn1考点：集合中元素个数的最值 分析：根据各项互不相等的有限正项数列an，不妨假设数列是单调递增的，进而分类讨论，利用数列的求和公式，即可得到结论解答：解：因为各项互不相等的有限正项数列an，所以不妨假设数列是单调递增的因为集合a=a1，a2，an，集合b=（ai，aj）|aia，aja，aiaja，1i，jn，所以j=1，i最多可取2，3，nj=2，i最多可取3，n，j=n1，i最多可取n所以集合b中的元素至多有1+2+（n1）=故选a点评：本题主要考查集合与元素的关系，考查组合的有关知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题二、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分（一）必做题（1113题）11（5分）各项都是正数的等比数列an中，a2，a1成等差数列，则=考点：等差数列与等比数列的综合 专题：计算题分析：由a2，a3，a1成等差数列可得a1、a2、a3的关系，结合等比数列的通项公式即可求出q，而由等比数列的性质可得 则=，故本题得解解答：解：设an的公比为q（q0），由a3=a2+a1，得q2q1=0，解得q=则=故答案为点评：此题考查学生灵活运用等差数列的性质及等比数列的性质化简求值，灵活运用等比数列的通项公式化简求值，是一道基础题12（5分）在abc中，ab=1，则bc=1或考点：余弦定理 专题：解三角形分析：由三角形的面积求得sina的值，可得cosa的值，再由余弦定理求得bc的值解答：解：由题意可得 =abacsina=，故sina=，故cosa=，当cosa= 时，由余弦定理求得bc2=ab2+ac22abaccosa=1+22=1，故bc=1当cosa= 时，由余弦定理求得bc2=ab2+ac22abaccosa=5，故bc=，故答案为 1或点评：本题主要考查三角形的面积公式、余弦定理、同角三角函数的基本关系的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题13（5分）已知点a（x1，ax1），b（x2，ax2）是函数y=ax（a1）的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段ab总是位于a、b两点之间函数图象的上方，因此有结论成立运用类比思想方法可知，若点a（x1，sinx1），b（x2，sinx2）是函数y=sinx（x（0，）的图象上任意不同两点，则类似地有成立考点：类比推理 专题：探究型；推理和证明分析：由类比推理的规则得出结论，本题中所用来类比的函数是一个变化率越来越大的函数，而要研究的函数是一个变化率越来越小的函数，其类比方式可知解答：解：由题意知，点a、b是函数y=ax（a1）的图象上任意不同两点，函数是变化率逐渐变大的函数，线段ab总是位于a、b两点之间函数图象的上方，因此有结成立；而函数y=sinx（x（0，）其变化率逐渐变小，线段ab总是位于a、b两点之间函数图象的下方，故可类比得到结论故答案为：点评：本题考查类比推理，求解本题的关键是理解类比的定义，及本题类比的对象之间的联系与区别，从而得出类比结论二.选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）（几何证明选讲选做题）14（5分）（几何证明选讲）如图，点a、b、c都在o上，过点c的切线交ab的延长线于点d，若ab=5，bc=3，cd=6，则线段ac的长为4.5考点：与圆有关的比例线段；相似三角形的性质；弦切角 专题：计算题分析：根据圆的切线和割线，利用切割线定理得到与圆有关的比例线段，代入已知线段的长度求出db的长，根据三角形的两个角对应相等，得到两个三角形全等，对应线段成比例，得到要求的线段的长度解答：解：过点c的切线交ab的延长线于点d，dc是圆的切线，dba是圆的割线，根据切割线定理得到dc2=dbda，ab=5，cd=6，36=db（db+5）db=4，由题意知d=d，bcd=adbcdca，ac=4.5，故答案为：4.5点评：本题考查与圆有关的比例线段，考查三角形的相似的判定定理与性质定理，本题解题的关键是根据圆中的比例式，代入已知线段的长度求出未知的线段的长度，本题是一个基础题三.（坐标系与参数方程选做题）15在极坐标系中，过点作圆=4sin的切线，则切线的极坐标方程是cos=2考点：极坐标系 专题：计算题；转化思想分析：求出极坐标的直角坐标，极坐标方程的直角坐标方程，然后求出切线方程，转化为极坐标方程即可解答：解：的直角坐标为：（2，2），圆=4sin的直角坐标方程为：x2+y24y=0；显然，圆心坐标（0，2），半径为：2；所以过（2，2）与圆相切的直线方程为：x=2，所以切线的极坐标方程是：cos=2故答案为：cos=2点评：本题是基础题，考查极坐标与直角坐标方程的互化，考查计算能力，转化思想三解答题：本大题共6小题，共80分，解答填写出文字说明、证明过程或演算步骤.16（12分）已知函数（）求的值；（）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；正弦函数的单调性 专题：三角函数的图像与性质分析：（i）把x=直接代入函数的解析式，化简求得f（）的值（ii）由cosx0，得 xk+，（kz ）化简函数的解析式为sin（2x+），从而求得f（x）的最小正周期再由2k+2x+2k+，xk+，kz，求得x的范围，即可求得函数的减区间解答：解：（i）由函数的解析式可得 =+=0+=（4分）（ii）cosx0，得 xk+，（kz ） 故f（x）的定义域为x|xk+，（kz ）因为 =sinx（cosxsinx）+=sin2xsin2x+=sin2x+=sin2x+cos2x=sin（2x+），所以f（x）的最小正周期为 t=由2k+2x+2k+，xk+，kz，得 k+xk+，xk+，kz，所以，f（x）的单调递减区间为 （k+，k+ ），（k+，k+ ），kz（13分）点评：本题主要考查二倍角公式、两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性，属于中档题17（12分）为了宣传今年10月在济南市举行的“第十届中国艺术节”，“十艺节”筹委会举办了“十艺节”知识有奖问答活动，随机对市民1565岁的人群抽样n人，回答问题统计结果如图表所示：组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的频率频率分布直方图 第1组15，25）50.5第2组25，35）a0.9第3组35，45）27x第4组45，55）90.36第5组55，65）30.2（1）分别求出a，x的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，“十艺节”筹委会决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图 专题：概率与统计分析：（1）根据频率=该组人数总人数n，即可求得a，x的值（2）依题意第2，3，4组中回答正确的共有54人，所以利用分层抽样在54人中抽取6人，得出每组分别抽取的人数，由此能求出所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率解答：解：（1）由频率表中第1组数据可知，第1组总人数为，再结合频率分布直方图可知（2分）a=1000.020100.9=18，（4分），（6分）（2）第2，3，4组中回答正确的共有54人利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：第2组：人，第3组：人，第4组：人 （8分）设第2组的2人为a1、a2，第3组的3人为b1、b2、b3，第4组的1人为c，则从6人中抽2人所有可能的结果有：（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，c），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，c），（b1，b2），（b1，b3），（b1，c），（b2，b3），（b2，c），（b3，c），共15个基本事件，（10分）其中第2组至少有1人被抽中的有（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，c），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，c）这9个基本事件第2组至少有1人获得幸运奖的概率为（12分）点评：此题把统计和概率结合起来考查，重点考查列举法计算基本事件数及事件发生的概率和计算，以及频率分布直方图18（14分）如图，斜三棱柱a1b1c1abc中，侧面aa1c1c底面abc，底面abc是边长为2的等边三角形，侧面aa1c1c是菱形，a1ac=60，e、f分别是a1c1、ab的中点求证：（1）ec平面abc；（2）求三棱锥a1efc的体积考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积 专题：空间位置关系与距离分析：（1）在平面aa1c1c内，作a1oac，o为垂足易得四边形ocea1为平行四边形，进而可得eca1o，且ec=a1o再由已知和面面垂直的性质可得所以a1o底面abc，进而可得结论；（2）f到平面a1ec的距离等于b点到平面a1ec距离bo的一半，可得bo=，所以，代入数据计算可得解答：证明：（1）在平面aa1c1c内，作a1oac，o为垂足因为，所以，即o为ac的中点，所以oca1e，且oc=a1e（3分）可得四边形ocea1为平行四边形，故eca1o，且ec=a1o因为侧面aa1c1c底面abc，交线为ac，a1oac，所以a1o底面abc所以ec底面abc（6分）（2）f到平面a1ec的距离等于b点到平面a1ec距离bo的一半，而bo=（8分）所以（12分）点评：本题考查直线与平面垂直的判定，涉及三棱锥体积的求解，属中档题19（14分）等比数列cn满足cn+1+cn=104n1（nn*），数列an的前n项和为sn，且an=log2cn（）求an，sn；（）数列的前n项和，是否存在正整数m，k（1mk），使得t1，tm，tk成等比数列？若存在，求出所有m，k的值；若不存在，请说明理由考点：数列递推式；等差数列与等比数列的综合 专题：计算题；等差数列与等比数列分析：（）由已知令n=1，n=2可求，c1+c2，c2+c3，从而可求公比q，及c1，结合等比数列的通项公式可求cn，进而可求an，结合等差数列的求和公式可求sn（）由（）知，利用裂项可求tn，然后结合等比数列的性质可求满足条件的m，k解答：解：（）由已知令n=1，n=2可得，c1+c2=10，c2+c3=40，所以公比q=4（2分）c1+c2=c1+4c1=10得c1=2（4分）所以（5分）由等差数列的求和公式可得，（6分）（）由（）知于是（9分）假设存在正整数m，k（1mk），使得t1，tm，tk成等比数列，则，可得，所以2m2+4m+10从而有，由mn*，m1，得m=2（11分）此时k=12当且仅当m=2，k=12时，t1，tm，tk成等比数列（12分）点评：本题主要考查了等比数列的性质及等比数列的通项公式的简单应用，数列的裂项求和方法的应用20（14分）已知函数f（x）=，g（x）=alnxx（a0）（）求函数f（x）的单调区间；（）求证：当a0时，对于任意x1，x2（0，e，总有g（x1）f（x2）成立考点：利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质 专题：函数的性质及应用；导数的综合应用分析：（i）先求函数f（x）的导数，再对字母a进行分类讨论，根据导数大于0函数单调递增，导数小于0时函数单调递减可得答案（）欲证当a0时，对于任意x1，x2（0，e，总有g（x1）f（x2）成立，只须证明对于任意x1，x2（0，e，总有g（x）maxf（x）min由（）可知，当a0时，f（x）在（0，1）上单调递增，f（x）在（1，e上单调递减，从而有f（x）min=a，同样地利用导数可得，当a0时，g（x）在（0，a）上单调递增，g（x）在（a，e上单调递减，从而g（x）max=g（a）=alnaa，最后利用作差法即可得到g（x）maxf（x）min解答：解：（）函数f（x）的定义域为r，当a0时，当x变化时，f（x），f（x）的变化情况如下表：x（，1）1（1，1）1（1，+）f（x）0+0f（x）当a0时，当x变化时，f（x），f（x）的变化情况如下表：x（，1）1（1，1）1（1，+）f（x）+00+f（x）综上所述，当a0时，f（x）的单调递增区间为（1，1），单调递减区间为（，1），（1，+）；当a0时，f（x）的单调递增区间为（，1），（1，+），单调递减区间为（1，1）（5分）（）由（）可知，当a0时，f（x）在（0，1）上单调递增，f（x）在（1，e上单调递减，又f（0）=a，f（e）=所以f（x）min=a，同样地，当a0时，g（x）在（0，a）上单调递增，g（x）在（a，e上单调递减，所以g（x）max=g（a）=alnaa，因为a（alnaa）=a（2lna）a（2lne）=a0，所以对于任意x1，x2（0，e，总有g（x）max=g（e）=alnaaa=f（x）min所以对于任意x1，x2（0，e，仍有x1，x2（0，e综上所述，对于任意x1，x2（0，e，总有g（x1）f（x2）成立（13分）点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查学生分析解