高考数学综合测试 专题3 理.doc

专题三综合测试题(时间：120分钟满分：150分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知圆o的方程是x2y28x2y100，过点m(3,0)的最短弦所在的直线方程是()axy30bxy30c2xy60 d2xy60解析：x2y28x2y100，即(x4)2(y1)27，圆心o(4,1)，设过点m(3,0)的直线为l，则kom1，故kl1，y1(x3)，即xy30.答案：a2过点(1,3)且平行于直线x2y30的直线方程为()ax2y70 b2xy10cx2y50 d2xy50解析：因为直线x2y30的斜率是，故所求直线的方程为y3(x1)，即x2y70.答案：a3曲线y2xx3在横坐标为1的点处的切线为l，则点p(3,2)到直线l的距离为()a. b.c. d.解析：曲线y2xx3在横坐标为1的点处的纵坐标为1，故切点坐标为(1，1)切线斜率为ky|x123(1)21，故切线l的方程为y(1)1x(1)，整理得xy20，由点到直线的距离公式得点p(3,2)到直线l的距离为.答案：a4若曲线x2y22x6y10上相异两点p、q关于直线kx2y40对称，则k的值为()a1 b1c. d2解析：曲线方程可化为(x1)2(y3)29，由题设知直线过圆心，即k(1)2340，k2.故选d.答案：d5直线axy0(a0)与圆x2y29的位置关系是()a相离 b相交c相切 d不确定解析：圆x2y29的圆心为(0,0)，半径为3.由点到直线的距离公式d得该圆圆心(0,0)到直线axy0的距离d，由基本不等式可以知道，从而d10，b0)的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为()a. b.c. d2解析：焦点到渐近线的距离等于实轴长，可得b2a，e215，所以e.答案：c12(2011济南市质量调研)已知点f1、f2分别是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，过点f1且垂直于x轴的直线与双曲线交于a，b两点，若abf2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是()a(1，) b(，2)c(1，) d(1,1)解析：依题意得，0af2f1，故0tanaf2f11，则1，即e2，e22e10，(e1)22，所以1e1，选d.答案：d二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题中的横线上13(2011安徽“江南十校”联考)设f1、f2分别是椭圆1的左、右焦点，p为椭圆上任一点，点m的坐标为(6,4)，则|pm|pf1|的最大值为_解析：由椭圆定义|pm|pf1|pm|25|pf2|，而|pm|pf2|mf2|5，所以|pm|pf1|25515.答案：1514(2011潍坊市高考适应性训练)已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且一条渐近线为直线xy0，则该双曲线的离心率等于_解析：设双曲线方程为1，则，3，3，e2.答案：215(2011潍坊2月模拟)双曲线1的右焦点到渐近线的距离是_解析：双曲线右焦点为(3,0)，渐近线方程为：yx，则由点到直线的距离公式可得距离为.答案：16(2011郑州市质量预测(二)设抛物线x24y的焦点为f，经过点p(1,4)的直线l与抛物线相交于a、b两点，且点p恰为ab的中点，则|_.解析：x24y，p2.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则x1x22，y1y28.|y1，|y2，|y1y2p8210.答案：10三、解答题：本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分12分)(2011陕西)如图，设p是圆x2y225上的动点，点d是p在x轴上的投影，m为pd上一点，且|md|pd|.(1)当p在圆上运动时，求点m的轨迹c的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被c所截线段的长度解：(1)设m的坐标为(x，y)，p的坐标为(xp，yp)，由已知得p在圆上，x2225，即点m的轨迹c的方程为1.(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y(x3)，设直线与c的交点为a(x1，y1)，b(x2，y2)，将直线方程y(x3)代入c的方程，得1，即x23x80.x1，x2.线段ab的长度为|ab| .18(本小题满分12分)(2011广东)设圆c与两圆(x)2y24，(x)2y24中的一个内切，另一个外切(1)求圆c的圆心轨迹l的方程；(2)已知点m，f(，0)且p为l上动点，求|mp|fp|的最大值及此时点p的坐标解：(1)设动圆c的圆心c(x，y)，半径为r.两个定圆半径均为2，圆心分别为f1(，0)，f2(，0)，且|f1f2|2.若c与f1外切与f2内切，则 |cf1|cf2|(r2)(r2)4若c与f1内切与f2外切，则|cf2|cf1|(r2)(r2)4.|cf1|cf2|4且42.动点c的轨迹是以f1，f2为焦点，实轴长为4的双曲线这时a2，c，bc2a21，焦点在x轴上点c轨迹方程为y21.(2)若p在y21的左支上，则|pm|pf|0，点a的坐标为(1,1)，点b在抛物线yx2上运动，点q满足，经过点q与x轴垂直的直线交抛物线于点m，点p满足，求点p的轨迹方程解：由知q，m，p三点在同一条垂直于x轴的直线上，故可设p(x，y)，q(x，y0)，m(x，x2)，则x2y0(yx2)，即y0(1)x2y. 再设b(x1，y1)，由，即(xx1，y0y1)(1x,1y0)，解得 将式代入式，消去y0，得 又点b在抛物线yx2上，所以y1x，再将式代入y1x，得(1)2x2(1)y(1)x2.(1)2x2(1)y(1)2x22(1)x2.2(1)x(1)y(1)0.因0，两边同除以(1)，得2xy10.故所求点p的轨迹方程为y2x1.20(本小题满分12分)(2011天津)在平面直角坐标系xoy中，点p(a，b)(ab0)为动点，f1、f2分别为椭圆1的左、右焦点已知f1pf2为等腰三角形(1)求椭圆的离心率e.(2)设直线pf2与椭圆相交于a，b两点，m是直线pf2上的点，满足2，求点m的轨迹方程解：(1)设f1(c,0)，f2(c,0)(c0)，由题意，可得|pf2|f1f2|，即2c，整理得2210，得1(舍)或，所以e.(2)由(1)知a2c，hc，可得椭圆方程为3x24y212c2.直线pf2方程为y(xc)a，b两点的坐标满足方程组消去y并整理，得5x28cx0，解得x10，x2c，得方程组的解不妨设a，b(0，c)设点m的坐标为(x，y)，则，(x，yc)由y(xc)，得cxy，于是，(x，x)，由2，即xx2，化简得18x216xy150.将y代入cxy，得c0，所以x0.因此，点m的轨迹方程是18x216xy150(x0)21(本小题满分12分)(2011山东)已知动直线l与椭圆c：1交于p(x1，y1)，q(x2，y2)两不同点，且opq的面积sopq，其中o为坐标原点(1)证明xx和yy均为定值；(2)设线段pq的中点为m，求|om|pq|的最大值；(3)椭圆c上是否存在三点d，e，g，使得sodesodgsoeg？若存在，判断deg的形状；若不存在，请说明理由解：(1)证明：当直线l的斜率不存在时，p，q两点关于x轴对称所以x2x1，y2y1，因为p(x1，y1)在椭圆上，因此1. 又因为sopq.所以|x1|y1|. 由得|x1|，|y1|1，此时xx3，yy2.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykxm.由题意知m0，将其代入1得(23k2)x26kmx3(m22)0.其中36k2m212(23k2)(m22)0.即3k22m2. (*)又x1x2，x1x2.所以|pq|.因为点o到直线l的距离为d.所以sopq|pq|d又sopq.整理得3k222m2，且符合(*)式此时，xx(x1x2)22x1x2223.yy(3x)(3x)4(xx)2.综上所述，xx3；yy2，结论成立(2)解法一：当直线l的斜率不存在时由(1)知|om|x1|.|pq|2|y1|2.因此|om|pq|2.当直线l的斜率存在时，由(1)知：.kmm.|om|222.|pq|2(1k2)2.所以|om|2|pq|222.所以|om|pq|，当且仅当32，即m时，等号成立综合(1)(2)得|om|pq|的最大值为.解法二：因为4|om|2|pq|2(x1x2)2(y1y2)2(x2x1)2(y2y1)22(xx)(yy)10.所以2|om|pq|5.即|om|pq|，当且仅当2|om|pq|时等号成立因此|om|pq|的最大值为.(3)椭圆c上不存在三点d，e，g，使得sodesodgsoeg.证明：假设存在d(u，v)，e(x1，y1)，o(x2，y2)满足sodesodgsoeg，由(1)得u2x3，u2x3，xx3，v2y2，v2y2，yy2，解得：u2xx，v2yy1.因此，u，x1，x2只能从中选取，v，y1，y2只能从1中选取，因此d、e、g只能在这四点中选取三个不同点，而这三点的两两连线中必有一条过原点与sodesodgsoeg矛盾所以椭圆c上不存在满足条件的三点d，e，g.22(本小题满分14分)(2011江苏)如图，在平面直角坐标系xoy中，m、n分别是椭圆1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于p，a两点，其中点p在第一象限，过p作x轴的垂线，垂足为c，连接ac，并延长交椭圆于点b，设直线pa的斜率为k.(1)若直线pa平分线段mn，求k的值；(2)当k2时，求点p到直线ab的距离d；(3)对任意的k0，求证：papb.解：(1)由题设知，a2，b，故m(2,0)，n(0，)，所以线段mn中点的坐标为.由于直线pa平分线段mn，故直线pa过线段mn的中点，又直线pa过坐标原点，所以k.(2)直线pa的方程为y2x，代入椭圆方程得1，解得x，因此p，a.于是c，直线ac的斜率为1，故直线ab的方程为xy0.因此，d.(3)证法一：将直线pa的方程ykx代入1，解得x记，则p(，