2019版高考数学复习解析几何课时分层作业五十九8.10圆锥曲线的综合问题理.docx

课时分层作业 五十九圆锥曲线的综合问题一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2018六安模拟)已知双曲线C:-y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2的直线与双曲线C的右支交于P,Q两点,且点P的横坐标为2,则PF1Q的周长为()A.B.5C.D.4【解析】选A.因为c=2,所以F2(2,0).因为点P的横坐标为2,所以PQx轴.由-y2=1,解得y=,所以|PQ|=.因为点P,Q在双曲线C上,所以|PF1|-|PF2|=2,|QF1|-|QF2|=2,所以|PF1|+|QF1|=4+|PF2|+ |QF2|=4+|PQ|=4+=,所以PF1Q的周长为|PF1|+|QF1|+|PQ|=+=.2.已知F1,F2是椭圆+=1的两个焦点,P是该椭圆上的任意一点,则|PF1|PF2| 的最大值是()A.9B.16C.25D.【解析】选C.根据椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=10,根据基本不等式可知|PF1|PF2|=25,所以最大值为25.3.(2018秦皇岛模拟)设P是椭圆+=1上一点,M,N分别是两圆:(x+4)2+y2=1和(x-4)2+y2=1上的点,则|PM|+|PN|的最小值、最大值分别为()A.9,12B.8,11C.8,12D.10,12【解析】选C.如图,由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点,由椭圆定义知|PA|+|PB|=2a=10,连接PA,PB分别与圆相交于M,N两点,此时|PM|+|PN|最小,最小值为|PA|+|PB|-2R=8;连接PA,PB并延长,分别与圆相交于M,N两点,此时|PM|+|PN|最大,最大值为|PA|+|PB|+2R=12,即最小值和最大值分别为8,12.【变式备选】如果方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数m的取值范围是()A.3mC.3mD.m4-m0,所以m4.4.(2018九江模拟)抛物线y2=12x上的点与直线3x-y+5=0的最近距离为()A.B.C.D.【解析】选B.抛物线上的点到直线的距离d=(y-2)2+16=.当且仅当y=2时,等号成立.【一题多解】本题还可以采用以下方法:选B.如图,若将直线3x-y+5=0平移,则移到刚好与抛物线y2=12x相切时,切点到直线的距离最小.设与3x-y+5=0平行的切线为3x-y+t=0,代入抛物线方程得y2-4y+4t=0,=16-16t=0,所以t=1,所以最近距离d=.5.(2018赣州模拟)设F1,F2是椭圆+=1(0b0,b0)的虚轴端点到直线y=a2x的距离为1,则双曲线的离心率的最小值为_.【解析】因为双曲线-=1(a0,b0)的虚轴端点(0,b)或(0,-b)到直线y=a2x的距离为1,所以=1,即b2=1+a4,所以离心率e=,当且仅当a2=,即a=1,b=时取等号.答案:8.(2018长治模拟)已知椭圆+=1和直线l:x-y+9=0,在l上任取一点M,则经过点M且以椭圆的焦点F1,F2为焦点,长轴最短的椭圆的方程为_.【解析】因为F1(-3,0),F2(3,0),易知F1关于l:x-y+9=0的对称点F1(-9,6),所以F1F2的方程为x+2y-3=0.所以得交点M(-5,4),即过M(-5,4)的椭圆,长轴最短.由|MF1|+|MF2|=2a,则2a=6,所以a2=45,又c2=9,所以b2=36.故所求椭圆的方程为+=1.答案:+=1三、解答题(每小题10分,共20分)9.如图,已知F(,0)为椭圆C:+=1(ab0)的右焦点,B1,B2,A为椭圆的下、上、右三个顶点,B2OF与B2OA的面积之比为.(1)求椭圆C的标准方程.(2)试探究在椭圆C上是否存在不同于点B1,B2的一点P满足下列条件:点P在y轴上的投影为Q,PQ的中点为M,直线B2M交直线y+b=0于点N,B1N的中点为R,且MOR的面积为.若不存在,请说明理由;若存在,求出点P的坐标.【解析】(1)由已知得=.又c=,所以a=2,所以b2=a2-c2=1,所以椭圆C的标准方程为+y2=1.(2)假设存在满足条件的点P,设其坐标为P(x0,y0)(x00),则Q(0,y0),且M.又B2(0,1),所以直线B2M的方程为y=x+1.因为x00,所以y01,令y=-1,得N.又B1(0,-1),则R,所以|MR|=.直线MR的方程为y-y0=-,即2yy0+x0x-2=0,所以点O到直线MR的距离为d=1,所以SMOR=|MR|d=1=,解得y0=,又+=1,所以x0=,所以存在满足条件的点P,其坐标为.10.(2018武邑模拟)已知圆F1:(x+1)2+y2=16,定点F2(1,0),A是圆F1上的一动点,线段F2A的垂直平分线交半径F1A于P点. (1)求P点的轨迹C的方程.(2)四边形EFGH的四个顶点都在曲线C上,且对角线EG,FH过原点O,若kEGkFH=-,求证:四边形EFGH的面积为定值,并求出此定值.【解析】(1)因为P在线段F2A的中垂线上,所以|PF2|=|PA|.所以|PF2|+|PF1|=|PA|+|PF1|=|AF1|=4|F1F2|,所以轨迹C是以F1,F2为焦点的椭圆,且c=1,a=2,所以b=,故轨迹C的方程为+=1.(2)不妨设点E,H位于x轴的上方,则直线EH的斜率存在,设EH的方程为y=kx+m,E(x1,y1),H(x2,y2).联立得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,则x1+x2=-,x1x2=.由kEGkFH=-,得=-.由,得2m2-4k2-3=0.设原点到直线EH的距离为d=,|EH|=|x1-x2|=,S四边形EFGH=4SEOH=2|EH|d=,由,得S四边形EFGH=4,故四边形EFGH的面积为定值,且定值为4.1.(5分)已知抛物线y2=2x的弦AB的中点的横坐标为,则|AB|的最大值为()A.1B.2C.3D.4【解析】选D.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=3,利用抛物线的定义可知,|AF|+|BF|=x1+x2+1=4,由图可知|AF|+|BF|AB|,|AB|4,当直线AB过焦点F时,|AB|取得最大值4.【变式备选】(2018西宁模拟)在平面直角坐标系xOy中, P是椭圆+=1上的一个动点,点A,B,则|PA|+|PB|的最大值为()A.5B.4C.3D.2【解析】选A.因为椭圆方程为+=1,所以焦点坐标为B和B,连接PB,AB,根据椭圆的定义,得|PB|+|PB|=2a=4,可得|PB|=4-|PB|,因此|PA|+|PB|=|PA|+=4+, 因为|PA|-|PB|AB|,所以|PA|+|PB|2a+|AB|=4+1=5,当且仅当点P在AB延长线上时,等号成立,综上所述,可得|PA|+|PB|的最大值为5.2.(5分)(2018三明模拟)已知F1,F2是椭圆C:+=1(ab0)的左、右焦点,点P在椭圆C上,线段PF2与圆x2+y2=b2相切于点Q,且点Q为线段PF2的中点,则(其中e为椭圆C的离心率)的最小值为()A.B.C.D.【解析】选C.本题主要考查椭圆的定义与性质、点到直线的距离公式,考查了逻辑推理能力与计算能力.因为点Q为线段PF2的中点,所以OQ是三角形PF1F2的中位线,则|PF1|=2|OQ|=2b,则|PF2|=2a-2b,且PF1与PF2垂直,则4b2+4(a-b)2=4c2,解得2a=3b,e=,所以=,当且仅当a=时,等号成立.3.(5分)设M(x0,y0)为抛物线C:x2=8y上一点,F为抛物线C的焦点,以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交,则y0的取值范围是_.【解析】以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交,则|FM|p,即y0+p,所以y0,即y02.答案:(2,+)4.(12分)已知椭圆C:+=1(ab0)的右焦点为F(1,0),右顶点为A,且|AF|=1.(1)求椭圆C的标准方程.(2)若动直线l:y=kx+m与椭圆C有且只有一个交点P,且与直线x=4交于点Q,问:是否存在一个定点M(t,0),使得=0?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由c=1,a-c=1,得a=2,所以b=.故椭圆C的标准方程为+=1.(2)由得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12)=0,得m2=3+4k2.设P(xP,yP),则xP=-=-,yP=kxP+m=-+m=,即P.因为M(t,0),Q(4,4k+m),所以=,=(4-t,4k+m).所以=(4-t)+(4k+m)=t2-4t+3+(t-1)=0恒成立,所以得t=1.所以存在点M(1,0)符合题意.5.(13分)(2018成都模拟)已知椭圆C:+=1(ab0)的短轴端点到右焦点F(1,0)的距离为2. (1)求椭圆C的方程.(2)过点F的直线交椭圆C于A,B两点,交直线l:x=4于点P,若|PA|=1|AF|,|PB|=2|BF|,求证:1-2为定值.【解析】(1)由题意有:c=1,且=2,所以a=2,b2=a2-c2=3.所以椭圆C的方程为+=1.(2)由题意直线AB过点F(1,0),且斜率存在,设方程为y=k(x-1),将x=4代入得P点坐标为(4,3k).由消元得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则0且方法一:因为|PA|=1|AF|,所以1=,同理2=,且与异号.所以|1-2|=0.所以1-2为定值0.方法二:由题意,当x11x2时,有=1,且=-2,所以(x1-4,y1-3k)=1(1-x1,-y1),且(x2-4,y2-3k)=-2(1-x2,-y2),所以1=,同理2=-,从而1-2=+=-1-1-=-2-=-2+=-2+=0.当x110且因为|PA|=1|AF|,所以1=.同理2=,且与异号,所以|1-2|=0.又当直线AB与x轴重合时,1-2=0,所以1-2为定值0.【变式备选】如图,已知抛物线C:x2=4y,过点M(0,2)任作一直线与C相交于A,B两点,过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点).(1)证明:动点D在定直线上.(2)作C的任意一条切线l(不含x轴),与直线y=2相交于点N1,与(1)中的定直线相交于点N2,证明:|MN2|2-|MN1|2为定值,并求此定值.【解析】(1)因为直线AB过定点M(0,2),由题意知直线AB的斜率一定存在,所以可设直线AB的方程为y=kx+2.由得x2-4kx-8=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=-8.又直线AO的方程为y=x,直线BD的方程为x=