高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 8.9 圆锥曲线的综合问题 课时3 定点、定值、探索性问题课件.ppt

第八章平面解析几何 8 9圆锥曲线的综合问题 内容索引 题型一定点问题 题型二定值问题 思想方法感悟提高 练出高分 课时3定点 定值 探索性问题 题型三探索性问题 思想与方法系列 题型一定点问题 定点问题 题型一 解设椭圆的焦距为2c 由题意知b 1 且 2a 2 2b 2 2 2c 2 又a2 b2 c2 所以a2 3 1 求椭圆的标准方程 解析答案 2 若 1 2 3 试证明 直线l过定点并求此定点 解析答案 思维升华 解由题意设p 0 m q x0 0 m x1 y1 n x2 y2 设l方程为x t y m 解析答案 1 2 3 y1y2 m y1 y2 0 由题意知 4m2t4 4 t2 3 t2m2 3 0 代入 得t2m2 3 2m2t2 0 mt 2 1 由题意mt 0 mt 1 满足 得l方程为x ty 1 过定点 1 0 即q为定点 思维升华 圆锥曲线中定点问题的两种解法 1 引进参数法 引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量 再研究变化的量与参数何时没有关系 找到定点 2 特殊到一般法 根据动点或动线的特殊情况探索出定点 再证明该定点与变量无关 思维升华 1 求椭圆c的标准方程 跟踪训练1 跟踪训练1 解析答案 2 求证 线段pq的垂直平分线经过一定点a 解析答案 返回 证明设p x1 y1 q x2 y2 解析答案 2 mf pf qf 解析答案 x1 x2 2 返回 题型二定值问题 1 求椭圆c的方程 定值问题 题型二 解析答案 解析答案 思维升华 解析答案 证明由题意可得a1 2 0 a2 2 0 思维升华 故 de df 为定值3 思维升华 思维升华 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略 1 求代数式为定值 依题意设条件 得出与代数式参数有关的等式 代入代数式 化简即可得出定值 2 求点到直线的距离为定值 利用点到直线的距离公式得出距离的解析式 再利用题设条件化简 变形求得 3 求某线段长度为定值 利用长度公式求得解析式 再依据条件对解析式进行化简 变形即可求得 跟踪训练2 解析答案 1 求动点q的轨迹c的方程 解依题意知 点r是线段fp的中点 且rq fp rq是线段fp的垂直平分线 点q在线段fp的垂直平分线上 pq qf 又 pq 是点q到直线l的距离 故动点q的轨迹是以f为焦点 l为准线的抛物线 其方程为y2 2x x 0 2 设圆m过a 1 0 且圆心m在曲线c上 ts是圆m在y轴上截得的弦 当m运动时 弦长 ts 是否为定值 请说明理由 解析答案 解弦长 ts 为定值 理由如下 取曲线c上点m x0 y0 m到y轴的距离为d x0 x0 返回 题型三探索性问题 探索性问题 题型三 例3 2015 湖北 一种画椭圆的工具如图1所示 o是滑槽ab的中点 短杆on可绕o转动 长杆mn通过n处的铰链与on连接 mn上的栓子d可沿滑槽ab滑动 且dn on 1 mn 3 当栓子d在滑槽ab内作往复运动时 带动n绕o转动 m处的笔尖画出的椭圆记为c 以o为原点 ab所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系 1 求椭圆c的方程 解析答案 2 设动直线l与两定直线l1 x 2y 0和l2 x 2y 0分别交于p q两点 若直线l总与椭圆c有且只有一个公共点 试探究 opq的面积是否存在最小值 若存在 求出该最小值 若不存在 说明理由 解析答案 思维升华 解 当直线l的斜率不存在时 当直线l的斜率存在时 设直线l 解析答案 消去y 可得 1 4k2 x2 8kmx 4m2 16 0 因为直线l总与椭圆c有且只有一个公共点 所以 64k2m2 4 1 4k2 4m2 16 0 即m2 16k2 4 解析答案 解析答案 当且仅当k 0时取等号 所以当k 0时 s opq的最小值为8 综合 可知 当直线l与椭圆c在四个顶点处相切时 opq的面积取得最小值8 思维升华 思维升华 解决探索性问题的注意事项探索性问题 先假设存在 推证满足条件的结论 若结论正确则存在 若结论不正确则不存在 1 当条件和结论不唯一时要分类讨论 2 当给出结论而要推导出存在的条件时 先假设成立 再推出条件 3 当条件和结论都不知 按常规方法解题很难时 要开放思维 采取另外合适的方法 跟踪训练3 解析答案 1 求椭圆e的方程 解析答案 返回 解析答案 解设a x1 y1 b x2 y2 p x1 x2 y1 y2 得 4k2 3 x2 8kmx 4m2 12 0 解析答案 设t t 0 q 4 m 4k 返回 4k2 3 4m2 思想与方法系列 思想与方法系列 21 设而不求 整体代换 思维点拨 解析答案 返回 温馨提醒 解析答案 温馨提醒 2 设p x0 y0 y0 0 温馨提醒 返回 解析答案 温馨提醒 规范解答 所以直线pf1 pf2的方程分别为 解析答案 温馨提醒 pf1 pf2 3 设p x0 y0 y0 0 则直线l的方程为y y0 k x x0 解析答案 温馨提醒 温馨提醒 温馨提醒 对题目涉及的变量巧妙地引进参数 如设动点坐标 动直线方程等 利用题目的条件和圆锥曲线方程组成二元二次方程组 再化为一元二次方程 从而利用根与系数的关系进行整体代换 达到 设而不求 减少计算 的效果 直接得定值 返回 思想方法感悟提高 1 求定值问题常见的方法有两种 1 从特殊入手 求出定值 再证明这个值与变量无关 2 直接推理 计算 并在计算推理的过程中消去变量 从而得到定值 2 定点的探索与证明问题 1 探索直线过定点时 可设出直线方程为y kx b 然后利用条件建立b k等量关系进行消元 借助于直线系的思想找出定点 2 从特殊情况入手 先探求定点 再证明与变量无关 方法与技巧 1 在解决直线与抛物线的位置关系时 要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况 2 中点弦问题 可以利用 点差法 但不要忘记验证 0或说明中点在曲线内部 3 解决定值 定点问题 不要忘记特值法 失误与防范 返回 练出高分 1 2 3 4 5 1 求椭圆e的方程 解由已知 点c d的坐标分别为 0 b 0 b 1 2 3 4 5 解析答案 1 2 3 4 5 解析答案 1 2 3 4 5 解析答案 解当直线ab的斜率存在时 设直线ab的方程为y kx 1 a b的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 其判别式 4k 2 8 2k2 1 0 1 2 3 4 5 解析答案 x1x2 y1y2 x1x2 y1 1 y2 1 1 1 k2 x1x2 k x1 x2 1 1 2 3 4 5 当直线ab斜率不存在时 直线ab即为直线cd 2 1 3 解析答案 1 2 3 4 5 1 求椭圆的方程 解析答案 1 2 3 4 5 解析答案 1 2 3 4 5 当l与y轴平行时 以线段ab为直径的圆的方程为x2 y2 1 故若存在定点q 则q的坐标只可能为q 0 1 下面证明q 0 1 为所求 若直线l的斜率不存在 上述已经证明 解析答案 1 2 3 4 5 144k2 64 9 18k2 0 1 2 3 4 5 3 已知中心在坐标原点o的椭圆c经过点a 2 3 且点f 2 0 为其右焦点 1 求椭圆c的方程 解析答案 1 2 3 4 5 又a2 b2 c2 所以b2 12 2 是否存在平行于oa的直线l 使得直线l与椭圆c有公共点 且直线oa与l的距离等于4 若存在 求出直线l的方程 若不存在 请说明理由 解析答案 1 2 3 4 5 解析答案 1 2 3 4 5 因为直线l与椭圆c有公共点 所以 3t 2 4 3 t2 12 0 1 2 3 4 5 所以符合题意的直线l不存在 1 2 3 4 5 解设椭圆半焦距为c 1 2 3 4 5 1 求椭圆e的方程 解析答案 1 2 3 4 5 2 过圆o上任意一点p作椭圆e的两条切线 若切线都存在斜率 求证两切线斜率之积为定值 解析答案 解析答案 1 2 3 4 5 证明设点p x0 y0 过点p的椭圆e的切线l0的方程为y y0 k x x0 整理得y kx y0 kx0 消去y 得2 kx y0 kx0 2 3x2 6 0 整理得 3 2k2 x2 4k y0 kx0 x 2 kx0 y0 2 6 0 l0与椭圆e相切 4k y0 kx0 2 4 3 2k2 2 kx0 y0 2 6 0 1 2 3 4 5 设满足题意的椭圆e的两条切线的斜率分别为k1 k2 两条切线斜率之积为常数 1 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 解设n x y p x0 y0 由于点p在圆o x2 y2 6上 1 求点n的轨迹c的方程 解